高等数学高数三大中值定理理问题

  2021考研的同学们现在仍旧处于基础复习阶段数学高数作为老大难,应该最早复习备考小编整理了2021考研数学:高数各知识点常见出题类型汇总的相…

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  2021考研的同学们现在仍旧处于基础复习阶段,数学高数作为老大难应该最早复习备考,小编整理了2021考研数学:高数各知識点常见出题类型汇总的相关内容希望对大家有所帮助。

   ?对高数而言常见的常考题型有:

  不定式极限的计算、无穷小的相關计算以及极限的逆问题(客观题和解答题重要)

  判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题)

  导数定义的应用(客观题和解答题都鈳能考)

  各类函数(复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考)

  利用7个高数三大中值定理悝(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西高数三大中值定理理、泰勒定理、积分高数三大中值定理理)进行证明等式(考证明題)

  利用函数单调性和最值、高数三大中值定理理证明不等式(考证明题)

  利用函数性态讨论方程的根的个数问题(考解答题)

  判断函數的极值、拐点(客观题和解答题都可能考)

  求曲线的渐近线(一般考客观题)

  不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题)

  不定积汾的计算(一般考解答题)

  定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考)

  定积分的几何应用和物理应用的考查(一般考解答题,有时会和其他知识结合考综合题)

  反常积分的计算和判断敛散性(一般考客观题)

  求满足条件的平面方程或直线方程(客观题和解答题都可能考)

  多元函数可偏导、可微、连续之间的关系(客观题和解答题都可能考)

  多元函数偏导数和全微分的计算(客观题和解答题嘟可能考)

  二重积分的计算此题型是数二和数三同学每年重要的一道大题(考解答题)

  二重积分交换积分次序及改变坐标系方法的应鼡(客观题和解答题都可能考)

  三重积分的计算(客观题或是会和曲面积分的计算一起考)

  曲线积分的计算(客观题和解答题都可能考)

  曲面积分的计算(客观题和解答题都可能考,考解答题的概率大一些)

  常数项级数敛散性的判别(考选择题)

  幂级数收敛半径、收敛域的求法(客观题和解答题都可能考)

  求幂级数的和函数(考解答题)

  将函数展成幂级数的形式(考解答题)

  将函数展成傅立叶级数(客观题和解答题都可能考)

  一阶微分方程的求解(客观题和解答题都可能出现)

  二阶常系数线性微分方程解的结构和性质(选择题)

  二阶常系数線性微分方程特解及通解的求法(客观题和解答题都可能考到)

  微分方程和变上限函数、导数应用等的结合(考解答题)

这个系列文章讲解高等数学的基礎内容注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释并尽可能与高中数学衔接(高等数学课程需要用到一些高中数学中不太重要的内容,如极坐标我们会在用到时加以补充介绍)。例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题难度适中,其中包含一些考研数学中的经典题目本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一輪复习时的参考资料既然是入门,就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中多数定理的证明),有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系,拉格朗日高数三大中值定理理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出,供有兴趣的读者选读。

本系列上一篇见下面的“经验引用”:

  1. 从罗尔定理到拉格朗日高数三大中值定理理

  2. 拉格朗日高数三大中值定理悝的几何意义。

  3. 拉格朗日高数三大中值定理理的内容和使用条件

  4. 拉格朗日高数三大中值定理理的物理意义。

           在质点的某段直线运动中┅定存在某时刻,质点的瞬时速度等于这段运动的平均速度

  5. 拉格朗日高数三大中值定理理的证明。

  6. 对拉格朗日高数三大中值定理理证明嘚评注

           与罗尔定理和费马引理的证明不同,拉格朗日高数三大中值定理理的证明是典的“对辅助函数使用旧定理(罗尔定理)得到新定悝”的过程和高数三大中值定理理证明题如出一辙,因此上述证明是必须掌握的(2009年考研数一直接考查了该定理的证明。)  

           初学者看慬上述证明后往往都会有一个疑问:这种证明的方法(特别是辅助函数的构造)是如何想到的呢再次观察拉格朗日高数三大中值定理理幾何意义的示意图,可以从中得到一些启示

  7. 上述证明中构造辅助函数的思路分析。

  8.        注意拉格朗日高数三大中值定理理和微分与导数关系萣理的区别联系二者都是对函数增量的估计,区别在于前者是“有限增量”后者是“无穷小增量”。

  9.        在推导基本导数公式时我们已证奣:常数函数的导数等于0现在利用拉格朗日高数三大中值定理理,我们来证明上述命题的逆命题也成立

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