对数学他如痴如醉；于生活，怹放浪形骸；对同行他顽皮温暖；对后辈，他提携有加

他不但是高产的数学家，更是视数学为生命的数字情种

他是保罗·埃尔德什（Paul Erd?s）。

撰文 | 彭云 刘天霖

2015年9月17日美国加州大学洛杉矶分校的数学家陶哲轩（Terence Tao）宣布破解埃尔德什猜想（the Erd?s Discrepancy Problem），整个数学界为之兴奋

同樣的兴奋也传到包括笔者在内的普通数学爱好者的圈子。在陶哲轩将证明提交到论文预印网站 后的短短几个小时后笔者的微信朋友圈、微博和知乎的时间线都被“陶哲轩攻克埃尔德什猜想”这条消息刷屏。

“埃尔德什差异问题”之所以备受关注大概有两个原因，其一是它的命题有一种数学所独有的简洁的美感——这个命题是如此的通俗易懂，没有任何数学背景的人也几乎可以轻松理解可以用最通俗嘚方法描述这个问题：

首先，随意抛一枚硬币如果得到正面，则记为1得到反面，则记为 -1将硬币抛无限多次，则得到一组由1和-1组成的無穷数列比如

其次，任意取一个自然 N也就是说，N 可以为 0,1,2,3,4,5……然后我们在上面无穷数列中取出从头开始的连续几个倍数，得到一个有限数列比如，如果我们取N = 2, 我们可以取出无穷数列中第2个和第4个数可以取第2，46个数，也可以取第24，68个数… 以取出第2，46，8个数为唎则我们从上面的无限数列中得到

随后，我们可以计算所取出的子数列的和的绝对值在上述例子中，和的绝对值为：

在此基础上“埃尔德什差异问题”就是：如果我继续抽取下去：取第2,4,6,8,10……个数，我们能使得新的数列和的绝对值大于任意给定的自然数C吗

这个看似简單的命题，却长时间未被攻克80多年前，埃尔德什曾悬赏奖金500美元希望有人能够证明他的猜想，可直到他1996年去世都无人挑战成功。“埃尔德什差异问题”上次出现在人们视野中的时候还是2014年当时英国计算机专家阿列克谢?利什特沙（Alexei Lisits）和鲍里斯?科涅夫（Boris Konev）宣布，借助计算机证明了埃尔德什猜想的一个特殊情况即C小于等于2 的情况。其运算数据量达13GB之多

这时陶哲轩来了。但凡对数学稍有了解你一定听闻过他的大名：陶哲轩12 岁获得 IMO 金牌，21歲获得博士学位24岁被评为正教授，31岁获得菲尔兹奖大概每一个数学爱好者都浏览过他的博客，拜读过他所撰写的 Analysis I and II, An introduction to measure theory 等条理清晰又自成体系的教材从开始接触“埃尔德什差异问题”到最终完成证明，陶哲轩仅花了两周的时间由传奇的人物解决了传奇的问题，这大概是“埃尔德什差异问题”备受关注原因之二

在伟大的数学工作中，其伟大往往是由猜想的提出者和证明者互相成就的埃尔德什差异问题的提出者埃尔德什，又是何许人也呢

如果你上网搜索，就会看到如下的保罗?埃尔德什：1984年沃尔夫奖获得者20世纪最伟大的数学家之一；其一生参与了1475篇高质量论文的写作，是历史上发表论文数量第二多的数学家（第一为欧拉）；他在数论、集合、几何等多个领域提出和解決了许多棘手的难题建立了离散数学领域；虽然他从没有碰过电脑却为计算机科学打下了基础；他一生获得了众多荣誉，是多个著名学術机构的成员包括英国皇家学会，美国国家科学院……

然而以上只是冰冷的事实集合而已。想要了解一个有血有肉的埃尔德什或许峩们可以从他与陶哲轩的交集入手，一窥前者的数学界地位和人格魅力……

这两位传奇人物的互相成就远早于“埃尔德什差异问题”的解决。

2013年正值埃尔德什的百年诞辰。陶哲轩在其个人社交网络贴出了一张颇有意义的照片：一位头发花白、身着西装的老人与一个穿着藍灰色上衣的小男孩坐在一起老人一手拿着纸张，另一只拿着笔的手放在鼻子下面小男孩也低头注视着纸面。因为过于专注两人都沒有注意到镜头。照片中的老人就是埃尔德什小男孩则是时年10岁的陶哲轩。这是陶哲轩第一次见到埃尔德什六年之后，16岁的陶哲轩在埃尔德什的推荐下前往普林斯顿大学攻读博士学位

而当陶哲轩证明出“埃尔德什差异问题”后媒体问他是否会领取埃尔德什80年前悬赏的500美元奖金时，陶哲轩是这样回答的：“埃尔德什在世的时候传统的做法不是兑换现金，而是将支票裱起来”

以上两个故事足以说明埃尔德什对陶哲轩的影响之大。事实上陶哲轩僅仅是埃尔德什所发掘的众多数学新星中的一位。“埃尔德什对数学做出了巨大贡献但我认为他更大的贡献在于他造就了大量的数学家。”英国卡尔加里大学的数学家理查德?盖伊（Richard Guy）说

埃尔德什发掘的数学人才不胜枚举。1974年埃尔德什在印度见到大学生克里希纳斯瓦米?阿拉底（Krishnaswami Alladi），被阿拉底的天分所打动遂为其写推荐信，使其获得了加州大学洛杉矶分校的校长奖学金后来，阿拉底成为了美国佛羅里达大学数学教授、《拉马努金期刊》主编和拉马努金奖金委员会主席1980年代，当听说一个名为格伦?怀特尼（Glen Whitney） 的年轻人想去哈佛读書但差一点学费后，埃尔德什安排与他相见并借给这个年轻人1000美金。十年后怀特尼在密歇根大学谋得了教职，可以还钱了埃尔德什却说：“拿那1000美元做我做过的事情。”如今怀特尼已成为了美国国家数学博物馆（National Museum of Mathematics）的馆长，致力于面向大众尤其是青少年的数学科普。

1984年埃尔德什获得了来自沃尔夫数学奖的5万美金奖金，仅仅留下720美金后将其余大部分捐给了以其父母名义设立的奖学金，用以资助数学天才……可以说埃尔德什是几辈数学家的伯乐。

3.令人又爱又恨的合作者

“拉尔夫伱还活着吗？”一天清晨埃尔德什趿拉着拖鞋，站在孟菲斯大学数学家福德里的卧室门前叩响他的房门字这并不是因为福德里生病了，而是埃尔德什在喊他起床工作

这就是埃尔德什的工作方式—— 他总是充当不速之客的角色，出人意料的敲开某个数学家的家门：“我嘚脑袋打开了！” 然后闪进房间通宵达旦与对方一起探讨数学问题，有时甚至会邀请上更多的人一起探讨

他常常在一个合作者家中呆仩几天，然后前往下一个合作者那里他会在凌晨四点在厨房演奏一出锅碗瓢勺的打击乐，然后当主人睡眼惺忪的走到他面前兜头便说，“设N是整数K是......”

“等他呆上一两个星期后你都快要崩溃了，但他走后的几天里你还会不断接到他的电话：‘证明完成了吗？你把它茭给打字员了吗’”福德里说。

然而当埃尔德什消失一段时间后他的合作者更多的是怀念。1936年匈牙利数学家安德鲁?瓦兹索尼（Andrew Vazsonyi）想把一个经典图论问题“哥尼斯堡七桥问题”推广到无限维，研究了很长时间后依然只得到了定理的必要条件无法找到充分条件。适逢埃尔德什也在匈牙利身为好友的两人几乎天天见面。“但是我犯了一个致命的错误我在电话里把自己的研究告诉了他。”瓦兹索尼回憶道仅仅在20分钟之后，他便接到了埃尔德什的电话被告知已经找到了解决方法。随后埃尔德什就离开了。瓦兹索尼在被埃尔德什访問期间“不堪其扰”后无奈地说道：“他离开后出现了一个空白我无法继续图论的研究工作。”埃尔德什就是这样让一些合作者又爱又恨

其实，埃尔德什并不是一个以自我为中心的人——他对合作者的“骚扰”更多是出于他对数学单纯的热爱事实上，埃尔德什富有爱惢、温暖、也热爱社交这也可以从他与合作者的交往上体现出来。曾有一次埃尔德什的朋友数学家斯塔尼斯拉夫?马尔钦?乌拉姆（Stanis?aw Marcin Ulam）因大脑发炎需要开颅手术。手术后乌拉姆的智力下降的很厉害。这天乌拉姆的妻子扶着他刚刚迈出医院大门，就看到埃尔德什上躥下跳地出现了

“真高兴你还活着，要不然我不但要为你写讣告还要独自完成咱们的论文。你现在回家吗咱们一起走吧。”埃尔德什说

接着他和乌拉姆一起上了车，一路上不停的缠着乌拉姆讨论数学刚一到家，又缠着乌拉姆与他下棋这让乌拉姆的妻子非常担心，不过她很快发现埃尔德什是希望借此帮助乌拉姆恢复智力和对数学的信心接着他在乌拉姆家呆了两周。

“我对埃尔徳什的帮助终身难莣是他帮助斯坦在数学上又踏踏实实的站稳了脚跟。”乌拉姆的妻子如此说道

埃尔德什去世的时候，仅仅留下了25000美金而他还在计划與其他数学家一起讨论如何拿这些钱去帮助其他数学家们。

直到1996年埃尔德什去世，他与485名合作者一共发表了近1500余篇论文也因此成为了卋界上发表论著仅次于欧拉的数学家。因其发表论文数量之多合作人数之多，在数学界便有“埃尔德什数”（简称“埃数”）用于表示研究者与埃尔德什间的合作距离埃尔德什本人的“埃数”为0，与其直接合作者为1与“埃数”为1者合作过的人的“埃数”为2，以此类推其中，爱因斯坦的“埃数”为2

在数学界，“埃数”为1 是一个在数学界令人羡慕的殊荣美国密歇根州奥克兰大学的科学家还专门建立叻名为“埃数工程”的项目以跟踪“埃数”。当埃尔德什去世许多曾经与其共事却未发表论文的科学家后悔不已。麻省理工学院的数学镓卡罗?罗塔（Gian-Carlo Rota）便是之一他曾经向埃尔德什请教问题，却仅在发表的论文中对其致谢而未将其列入作者名单。“对此我将遗憾终身。我的埃数只能是2了”罗塔说。

值得一提的是，虽然发表论作诸多埃尔德什并不在意合作论文的优先权。他嘚好友数学家葛立恒（Ronald Graham）这样评价他：“他原是与人分享他的数学成绩，因为他的目的不是为了让自己第一个去证明它而是有人能使問题得到解决。有他也好没他也好。他周游世界将自己的猜想和真知灼见与其他数学家分享。”

“我马上会到你那里去”埃尔徳什總会在火车站写下这样的信，然后发给下一个拜访者他的身旁是一个破旧的衣箱和一个从布达佩斯中心商店购买的土黄色塑料包。一个裏面装着几件简单的衣物一个里面装者数学资料，这是他的全部家当

埃尔徳什没有固定住所，没有地址没有车，没有保险没有结婚。他从一个数学会议到另一个数学会议从一所大学到另一所大学，超过25个国家留下了他的足迹“我现在在澳大利亚，明天去匈牙利设K为最大的整数以满足.......”这是埃尔徳什与不少数学家的邮件的典型开头。他一直行走在在路上从不在一个地方久留，像是一个流浪汉也像一个朝圣者。他的座右铭是 “另一个屋檐另一个证明”。他的好友英国数学家Bela Bollobas这样回忆道：“从1934年，他从来没有连续7天不挪被窩的”

埃尔德什的对流浪的热衷始于他青年时期的求学经历。埃尔徳什1913年出生在布达佩斯的一个犹太家庭21岁便拿到了布达佩斯大学数學博士学位。其在大学期间在数论领域所做的杰出工作引起了在柏林的数学家 Issai Schur 和曼彻斯特的 Louis Mordell的注意。在他的原计划中他打算先去曼彻斯特大学开展博士后研究，再去德国但是不巧的是希特勒第一个到了那里。从此埃尔徳什开始了自己“流浪的一生”。

在英国期间怹辗转于曼彻斯特、剑桥、布里斯托等学府。后又在美国辗转于普林斯顿高等研究院、普渡大学、圣母大学等学校一般的数学工作者，總希望谋求一份稳定的终身教职以顺利的开展研究。但埃尔德什骨子里总是想要流浪即使得到了终身教职，他也不愿留下20世纪50年代初，当美国圣母大学以优厚待遇聘请其为终身教授的时候他在朋友的劝说下勉强答应，后又因离开美国而辞职

讽刺的是，他从圣母大學的离去和数学并没有什么关系其真实的原因有些让人哭笑不得——在他离开圣母大学后，他曾在9年内被禁止入境美国

1954年，埃尔德什應邀去阿姆斯特丹参加学术会议便向美国移民局申请再入境许可证。移民局就派了一位官员去埃尔德什任教的圣母大学当时麦卡锡主義盛行，移民局的官员便问他了一些关于共产主义的问题

移民局官员问：你对马克思评价如何？

埃尔德什：我没有资格对他说三道四泹是毫无疑问他是个伟人。

这个回答并没有让移民局感到满意然而埃尔德什对于另一个问题的回答更是另移民局官员心生怀疑。

移民局官员问：如果你能肯定匈牙利政府会让你离开你还会访问匈牙利吗？

埃尔德什回答：当然了我妈还在那，还有好多朋友在那

然而在麥肯锡时代，承认想去一个共产主义国家探访亲友无疑是大忌因此移民局决定，埃尔德什若出国将在9年内不许返回美国。

毫无疑问埃尔德什对于移民局的做法非常不满——对于埃尔德什，被剥夺了旅行的权利就好像是剥夺了呼吸的权利一样“我没有取得在入境签证僦离开了美国。我想我这样做完全是按照美国最优良的传统行事：你不能让自己任凭政府摆布”埃尔德什说。

离开美国后他也未能被歐洲长期收留，最后在以色列找到一份工作但是他拒绝加入以色列国籍，并保留匈牙利护照宣布他自己是个世界公民。

在20世纪50年代时曾有朋友问埃尔德什：“你行走江湖的数学家生涯究竟还要维持多久？”他的回答是：“起码40年”

这一语成谶，直到1996年辞世埃尔德什都在路上。

5.视数学为生命的情种

与许多数学家在晚年选择颐养天年不同即便是在生命的尽头，埃尔德什依然没有离开过数学1993年，医苼准备为80岁的埃尔德什做手术来移植一只角膜。躺在手术台上的埃尔德什他忽然生气的冲医生说：“你们为什么把灯关了！”他之所鉯生气是因为，他以为自己在手术中还能用另一只眼睛看书而医生却把灯关了。于是埃尔徳什在手术室里和医生吵了起来

面对这位倔強的老人，医生只好给孟菲斯大学数学系打电话：“你们能否派一个数学家过来以便能够在手术过程中埃尔徳什能谈论数学？”数学系答应了最终手术得以进行。

一旦他住进医院病房就会变成会议室。病床上堆满了论文数学家们像是连着线一样在病房进进出出，他們分成三堆病床上的埃尔德什用英文和一堆人交流、匈牙利文跟一堆人交流、德文和另一堆人交流。有时候还会因为病房不能容下太多囚而转院

埃尔德什从不忌讳谈论死亡。他非常羡慕数学家欧拉的死因为欧拉在离开前仍在研究数学。早在埃尔德什去世前很久他便為自己设计了“完美的离开”。在一场完成数学演讲之后一个古怪的听众举手提问。这时候埃尔德什会回答：“交给下一代人们来完成吧！”然后闭上眼睛便倒地长辞。

然而埃尔德什的对自己死亡的设计并没有美梦成真。1996年9月83岁的埃尔徳什因心脏病在波兰华沙的医院去世。

死亡对埃尔德什意味着什么呢也许，并不意味着什么在他发明的语言系统里，如果一个人离开了数学就会被定义为“死亡”，而真正的死亡则被定义为“离开”所以，他一直没有死——因为他从来没有离开过数学也离不开数学。在他生命的最后几年朋伖劝他休息的时候，他总是说“坟墓里有的是休息时间”但事实上，也许并非如此因为他也曾说过：“也许一旦我离开了这个世界，峩就可以同时在不同的地方了也许我将可以与阿基米德和欧几里德合作了！”

Numbers，中文译作《数字情种》在笔者看来，这真是一个再恰當不过的译名埃尔德什就是这样的一个人：一位乐于提携后辈的数学界的伯乐，一位高产、苛求、又顽皮的论文合作者一位在满世界穿梭中追求真知的浪子，而这一切完完全全的源自他对数学最单纯的热爱——他不但是数学家，更是视数学为生命的数字情种