i^n/n收敛性性的判断，求解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-17 00:41 标签： i^n/n收敛性

以下所有题目来自科学出版社 许忝周的《应用泛函分析》

3. 设$(X,d)$是一个距离空间，中心在$x_0$半径为r的开球定义为

（1）证明开球是开集；

（2）开集全体构成的集合是X上的一个拓扑。

（2）显然开集全体构成的集合满足拓扑的定义。

证明：c是完备的距离空间

由距离空间的三角不等式，有

由于$Y$是无限集那么n个開球中一定有一个球包含$Y$的无限子集。(抽屉定理)

10. 如果距离空间$X$是紧的证明$X$是完备的，试说明完备的空间不一定紧

完备的空间不一定紧，例如完备空间$R$无穷序列${1,2,3,\ldots}$没有i^n/n收敛性子列。证毕

11.  举例说明全有界集不一定是列紧集。

证明：先说明一下定义全有界集是指存在有限孓集构成的$\varepsilon$网。列紧集是指集合中的任何序列都有i^n/n收敛性子列并且i^n/n收敛性点在集合内。

因为我们知道列紧=全有界+完备所以我们可以找┅个i^n/n收敛性点不在集合中例子。

12. 在距离空间中举例说明对于紧性而言全有界性是必要的，但不是充分的

14. 举例说明不动点定理的完备性條件是不可缺少的。

欲使上式成立只能是$d(x,x^*)=0$，则$x=x^*$与假设矛盾。证毕

16. 如果$T$是压缩的，证明$T^n$也是压缩的如果$T^n$是压缩的，那么$T$不一定是压縮的

所以$T^n$也是压缩的。

那么$f$是压缩的，由Banach不动点定理存在唯一的i^n/n收敛性点使得x_n=f(x_{n-1}i^n/n收敛性。

证明$T$有唯一的不动点

证明：令$d(x,y)=||x-y||$，根据压缩映射原理可知$T$有唯一的不动点。

所以$T$是一个压缩映射压缩系数最小是$\frac{1}{2}$

(1)证明$T$最多有一个不动点。

(2)说明$T$可能没有不动点

假设存在互异的鈈动点$x,x'$，那么

(1) T是否是一个压缩映射

解：(1)$K<1$时是一个压缩映射。(2)再次使用微分中值定理即可

 证明：利用18题的方法即可。

证明$T$在$X$中有唯一的鈈动点

唯一性：假设存在互异的不动点$x,x'$，那么

2^n一定是发散的随着n值得增加，2^n趨近与无限大(相似的情况就是等比数列aq^n,当q>=1的时

4^n/8^n首先可以化简成为(1/2)n=1/(2^n)，所以原式求极限值为0，是i^n/n收敛性的

=2y-2y^3 这一步带入有的值，得

时间有點急所以没有讨论更多。。

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