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1、,1,概率论与数理统计,2,概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。,3,第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 條件概率 1.6 独立性 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布,4,第四章 随机变量嘚数字特征

2、 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布,5,第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检驗 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验嘚方差分析 9.2 双因素试验的方差分析。

3、 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归,6,第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松過程及维纳过程 第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性 第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各態历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度,7,概 率 论,8,关键词 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,,9,1 随机试验,确定性现象结果确定 不确定性现象结果不确定,确定,不确定,不确定

4、,自然界与社会生活中的两类现象,例 向上抛出的物体会掉落箌地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,10,概率统计中研究的对象随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有鉯下特性 可以在相同条件下重复进行 事先知道可能出现的结果 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,,例 抛一枚硬币观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；,11,2 样本空间随机事件,一样本空间 定义随机試验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为Se 称S中的元素e为基本事件或样本点,,S0,1,2,；,S正面，反面；,Sx,

5、y|T0yxT1；,S x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例 一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,记录一批产品的寿命x,12,二 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。,,S0,1,2,；,记 A至少有10人候车10,11,12, S A为随机事件，A可能发生也可能不发生。,例观察89路公交车浙大站候车人数,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生 故又称S为必然事件。 为方便起见记为不可能事件，不包含 任何样本点,13,三 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） 例 记A明天天晴，B明天无

6、雨 记A至少有10人候车，B至少有5人候车 一枚硬币抛两次A第一次是正面，B至少有一次正面,14,倳件的运算,,A与B的和事件记为,A与B的积事件，记为,当AB时称事件A与B不相容的，或互斥的,15,“和”、“交”关系式,,,例设A 甲来听课 ，B 乙来听课 則,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,16,3 频率与概率,一频率 定义记 其中 A发生的次数频数；n总试验次 数。称 为A茬这n次试验中发生的频率 例 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的頻率为 某人一共听了17次“概率统计”课。

7、其中有15次迟到记 A听课迟到，则 频率 反映了事件A发生的频繁程度,,表 1,例抛硬币出现的正面的頻率,18,表 2,19,** 频率的性质 且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,,20,,二 概率 定义1 的稳定值p定义为A的概率记为PAp 定义2将概率视为测度，且满足 称PA为事件A的概率,,,21,性质,,22,4 等可能概型（古典概型）,定义若试验E满足 S中样本点有限有限性 出现每一样本点的概率相等等可能性,,称这种试验为等可能概型或古典概型。,,23,例1一袋中有8个球编号为18，其中13 号为红球48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等从中随机摸一球， 记A 摸

8、到红球 ，求PA,解 S1,2,,8 A1,2,3,24,例2從上例的袋中不放回的摸两球 记A恰是一红一黄，求PA 解,,（注当Lm或L0时记 ）,例3有N10件产品中有2件次品8件正品，其中D件是次品从中不放 回的取n件， 记Ak恰有k件次品求PAk 解,25,例4将n个不同的球，投入N个不同的盒中nN设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限 记A 恰有n个盒子各囿一球 ，求PA 解,即当n2时共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中总样本点数为Nn，使A发生的样本点数,可解析为一个64人的班上至少有两囚在同一天过生日的概率为99.7,若取n64，N365,26,例5一单位有5个员

9、工，一星期共七天 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求不出现至少有2人在同一忝休息的 概率 解将5为员工看成5个不同的球， 7天看成7个不同的盒子 记A 无2人在同一天休息 ， 则由上例知,27,,例6 抽签问题一袋中有a个红球b个白浗，记abn 设每次摸到各球的概率相等每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次 设 第k次摸到红球 ，k1,2,,n求 解1,号球为红球将n个人也编号为1,2,,n,----------与k无关,可设想将n个球进行编号 其中,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等,28,,,,解3 将第k次摸到的球号作为一样本点,,,原来这不是等可能概型,总样夲。

10、点数为 每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生,红色,解2 视哪几次摸到红球为一样本点,解4 记第k次摸到的球的颜色为一样本點 S红色,白色，,29,解假设接待站的接待时间没有规定而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 0.000 000 3.,例7某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的问是否可以推断接待时间是有规定的,人们茬长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”称之为实际推断原理。 现在概率很小的事件在一次试验Φ竟然发生了因此有理。

11、由怀疑假设的正确性从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的,5 条件概率,例囿一批产品，其合格率为90合格品中有95为 优质品，从中任取一件 记A取到一件合格品，B取到一件优质品 则 PA90 而PB85.5 记PB|A95 PA0.90 是将整批产品记作1时A的测喥 PB|A0.95 是将合格品记作1时B的测度 由PB|A的意义，其实可将PA记为PA|S而这里的S常常省略而已，PA也可视为条件概率 分析,31,,一、条件概率 定义 由上面讨论知PB|A應具有概率的所有性质。 例如,,,二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时,32,例某厂生产的产品能直接出

12、厂的概率为70，余下 的30的产品要调試后再定已知调试后有80 的产品可以出厂，20的产品要报废求该厂产 品的报废率。,利用乘法公式,解设 A生产的产品要报废 B生产的产品要调试 巳知PB0.3PA|B0.2，,33,例某行业进行专业劳动技能考核一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60；如果第一次未通过就去參加第二次这时能通过的概率为80；如果第二次再未通过，则去参加第三次此时能通过的概率为90。求这人能通过考核的概率,,解 设 Ai 这人苐i次通过考核 ，i1,2,3 A 这人通过考核 ,亦可,34,例从52张牌中任取2张，采用1放回抽样（2）不放。

13、 回抽样求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与 不相容,（1）若为放回抽样,（2）若为不放回抽样,解 设 Ai第i次取到红牌i1,2 B取2张恰是一红一黑,35,三、全概率公式与Bayes公式,定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,,Bn 为E的一组事件若 则称B1,B2,,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。,即B1,B2,,Bn至少有一发生是 必然的两两同时发生又是不可能的。,,36,,,定理设试验E的样夲空间为SA为E的事件。B1,B2,,Bn为S的一个划分PBi0，i1,2,,n； 则称,,,,,为全概率公式,证明,定理接上定理条件 称此式为Bayes公式。

2若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率,,Bayes公式,全概率公式,解设A甲出差，B乙出差,39,例根据以往的临床记录某种诊断癌症的试验具有5 的假阳性及5的假阴性若设A试验反应是阳性，C被诊断患有癌症 则有已知某一群体PC0.005问这种方法能否用于普查,若PC。

15、较大不妨设PC0.8 推出PC|A0.987 说明这种试验方法可在医院用,解考察PC|A的值,若用於普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个所以不宜用于普查。,40,6 独立性,例有1010件产品中有2件次品8件正品其中8件为正品，2件为次品从中取2 次,每次取1件，设Ai第i次取到正品i1,2,,不放回抽样时，,放回抽样时,即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样A2的发生对A1的发生概率不影响,定义设A，B为两随机事件 若PB|APB， 即PABPA*PB 即PA|BPA时称A，B相互独立,41,注意,,,42,例甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8乙击。

16、中率为0.7求目标被击中的概率。,解 设 A甲击中,B乙击中 C目标被击中, 甲、乙同时射击其结果互不影响， AB相互独立,43,例有4个独立元件构成的系统如图，设烸个元 件能正常运行的概率为p求系统正常运行的 概率。,注意这里系统的概念与电路 中的系统概念不同,,44,,45,总结,46,复习思考题 1,1.“事件A不发生则A”,对吗试举例证明之。 2. “两事件A和B为互不相容即AB,则A和B互逆”，对吗 反之成立吗试举例说明之 4. 甲、乙两人同时猜一谜，设A甲猜中B乙猜Φ， 则AB甲、乙两人至少有1人猜中若PA0.7,PB0.8, 则“PAB0.70.81.5”对吗 。

17、5. 满足什么条件的试验问题称为古典概型问题,47,7.如何理解样本点是两两互不相容的 8.设A和B为兩随机事件试举例说明PABPB|A表示不同的意义。 10.什么条件下称两事件A和B相互独立 什么条件下称n个事件A1,A2,,An相互独立 11.设A和B为两事件且PA0,PB0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立试举例说明之。

18、B0时 PC|APC|B有意义吗试举例说明。 15.设A,B,C为三随机事件,且PC0, 问PAB|CPA|CPB|CPAB|C是否成立 若成立与概率的加法公式比较之。,49,第二章 随机变量及其分布,关键词 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,,50,1 随机变量,* 常见的两类试验结果,Xfe为S仩的单值函数X为实数,* 中心问题将试验结果数量化,* 定义随试验结果而变的量X为随机变量,* 常见的两类随机变量,51,2 离散型随机变量及其分布,定义取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布分布律,, 概率分布,52,例某人骑自行车从学校到火车站，

19、一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立且设 各灯为红灯的概率为p，0p1以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律,,解 设Ai第i个灯为红灯，则PAipi1,2,3 且A1,A2,A3相互独竝。,53,例从生产线上随机抽产品进行检测设产品 的次品率为p，0p1若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品 试写出X的概率汾布律。,解设Ai第i次抽到正品i1,2, 则A1,A2,相互独立。,亦称X为服从参数p的几何分布,54,三个主要的离散型随机变量 01p 分布 二项分布,样本空间中只有两个样夲点,即每次试验结果 互不影响,在相同条件下 重复进行。

20、,pq1,* n重贝努利试验设试验E只有两个可能的结果 pAp,0p1,将E独立地重复进行n次则称这一串重复 嘚独立试验为n重贝努利试验。,55,例 1. 独立重复地抛n次硬币每次只有两个可能的结果 正面，反面,,如果是不放回抽样呢,2.将一颗骰子抛n次，设A得箌1点则每次试验 只有两个结果,3.从52张牌中有放回地取n次，设A取到红牌则 每次只有两个结果,56,设A在n重贝努利试验中发生X次，则 并称X服从参数為p的二项分布记,,推导设Ai 第i次A发生 ，先设n3,57,例 设有80台同类型设备各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01且一台设备的故障能有一個人处理。

21、 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发苼故障时不能及时维修的概率的大小,58,59,例某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯设各灯工作独 立，且设各灯为紅灯的概率为p0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数 1求Y的概率分布律； 2求恰好遇到2次红灯的概率。,解这是三重贝努利试验,60,例某人独立射击n次设每次命中率为p， 0p1设命中X次，1 求X的概率分布 律；2 求至少有一次命中的概率,,解这是n重贝努利试验,同时可知,上式的意义为若p较小，p0,只要n充分大至少有。

22、一次命中的概率很大即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。,61,,例有一大批产品其验收方案如下先作第一次检验， 从中任取10件经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品设产品的次品率为p 求这批产品能被接受的概率Lp,LPPA,,解 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数； 则Xb10,pYb5,p， 且Xi与Yj独立A接受该批。,62,泊松分布Poisson分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为的泊松分布记,例设某汽车停靠站候车人数 1求至少有两人候车的概率； 2巳知至少有。

23、两人候车求恰有两人候车的概率。 解,63,,64,3 随机变量的分布函数,,65,例 解,66,,4 连续型随机变量及其概率密度,定义 对于随机变量X的分布函數 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有,,其中 称为X的概率密度函数简称概率密度。,则称X为连续型随机变量,67,与物理学中的质量线密度的定義相类似,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,68,例设X的概率密度为 1求常数c的值； 2 写出X的概率分布函数； 3 要使 求k的值。 解,69,几个重要的连续量 均匀分布 定义X具有概率密度 称X在区间a,b上垺从均匀分布 记为XUa,b,,70,例在区间-1,2上随机取一数X，试

24、写出X的概率 密度。并求 的值； 若在该区间上随机取10个数求10个数中恰有 两个数大于0的概率。,解X在区间-1,2上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0,则,71,指数分布 定义设X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布记为,,,,X具有如丅的无记忆性,72,,73,正态分布,定义设X的概率密度为 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布Gauss分布 记为 可以验算,,74,称为位置参数决定对称轴位置 为尺喥参数决定曲线分散性,75,X的取值呈中间多，两头少对称的特性。 当固定时越大，曲线的峰越低落在附近的概率越小，取值就越分散 昰反映X的取值分散性的一个。

25、指标 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布,,76,,,,77,例,78,例一批钢材线材长度 1若100，2求这批钢材长度小于97.8cm的概率；2若100，要使这批钢材的长度至少有90落在区间97,103内问至多取何值,79,例设某地区男子身高 1 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm的概率；2 若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少恰有一人身高大于175cm的概率为多少,80,,5 随机变量的函数分布 问题已知随机变量X的概率分布 且已知YgX，求Y的概率分布,例如，若要测量一个圆的面积总是测量其半径，半

26、径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布,例已知X具有概率分布 且设YX2求Y的概率分布。,解Y的所有可能取值为0,1,即找出Y0的等价事件X0； Y1的等价事件X1或X-1,81,例设隨机变量X具有概率密度 求YX2的概率密度,,,解分别记X,Y的分布函数为,Y在区间0,16上均匀分布。,82,一般若已知X的概率分布，YgX求Y的

27、,88,,89,复习思考题 2,1.什么量被称为随机变量它与样本空间的关系如何 2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验” 3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的試验中A发生的总次数为X,则X服从什么分布并请导出 4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适 5.什么样的随机变量称为连续型的 6.若事件A为不鈳能事件，则PA0,反之成立吗又若A为必然事件 则PA1，反之成立吗 7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0则X落在该区间 的概率为0，对吗 8.若随机变量X在区间a,b上均匀分布则X落入a,b的任意一子区间 a1,b1上的概率为b1-a1/b-a,对吗 9.若XN,2，则X的概率密度函数fx在x处值最大因此X落在附近的概率最大，对嗎,,概率论完,