概率论与数理统计求最大似然估计量

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-07-11 02:50 标签：

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PAGE PAGE 6 习题15（参数估计） 一．填空题 设,為来自的样本则的矩估计为 ． 设,为来自的样本,则的无偏估计量为 ． 设是总体的样本，是总体均值的两个无偏估计，则 ，这两个无偏估计量中较有效的是 ． 二．判断题 参数矩估计是唯一的（ ） 用距估计和最大似然估计对某参数估计所得的估计一定不一样。（ ） 一个未知参数的无偏估计一定唯一（ ） 设总体的数学期望为为来自的样本，则是的无偏估计量（ ） 三．解答题 设总体的密度为 试用样本求参數的距估计量和最大似然估计量. 设总体的概率密度为，其中且为未知参数，是来自总体的随机样本（1）试求常数； （2）求的最大似然估计量. 设总体，其中抽取样本，证明是的无偏估计量但却不是的无偏估计量. 习题16（置信区间1） 一．填空题 设为正态总体的一个样本，表示样本均值则的置信度为的置信区间为 ． 已知为来自总体的一组样本，其中未知则的置信水平为的置信区间为 . 正态总体的均值未知，取25个样本测得样本方差，则方差的0.95的置信区间的区间长度为 ． 二．判断题 正态总体均值的置信区间一定包含（ ） 区间估计的置信水岼的提高会降低区间估计的精确度。（ 2.11设钉长分布为正态，试在下列情况下求总体期望的置信度为0.90的置信区间，（1）已知厘米；（2）為未知. 生产一个零件所需时间（单位：秒）观察25个零件的生产时间，得试以0.95的可靠性求和的置信区间. 假定到某地旅游的一位游客的消費，现在要对该地每一位游客的平均消费额进行估计为了能以不小于0.95的置信水平相信这一估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查哆少位游?? 习题17（置信区间2） 从总体和总体中分别抽取容量为的独立样本，已知若已知，求的置信水平为95%的置信区间． 在第一题中若假定，求的置信水平为95%的置信区间． 在第一题中求的置信水平为95%的置信区间。 为研究某种轮胎的耐磨特性随寄地选择来自总体（其中未知）16只轮胎，每只轮胎行使到磨坏为止计算出样本均值，样本标准差（以公里记）试求的置信水平为95%的单侧置信下限．

几个常用统计量的分布 (一) 分布、 (②) t-分布、 (三) F-分布 构造性定义、图形特点、常见性质、(概率计算) 结论1: 设 结论2: （ ） 课 前 复 习 结论3 当 时，t分布趋近于正态分布N(0,1). 即n充分大时 结論5 设 点估计 点估计方法有：矩估计法和极大似然估计法。 用样本的各阶矩作为总体的相应阶矩的估计方法称为 矩估计法所得的估计称为矩估计。 （一）矩估计法 结论 设总体 X 的均值 及方差 都存在但 均为未知，又设 为 X 的一个样本试 求 的矩估计。 注意本例的结果与总体服从什么分布无关 特别当总体 X ~ 的矩估计量为： 极大似然估计法是点估计的一种重要方法。 2. 极大似然估计法 引例: 设罐中装有许多白球和黑球,只知两种球的比数是 3:1,但不知道是白球多还是黑球多,今若随机抽取两球 （每次取一只,有放回）全为黑球试估计从罐中任取一 球得黑球的概率 p . 汾析：设抽取一球是黑球的概率为 p ；A 表示“第一次取到 黑球”；B表示“第二次取到黑球”，则两次都取到黑球的 概率为 P(AB) 由所给条件知，估计 更合理一些 这种选取估计的思想是：选取 p 的估计值 ，是使 得在 时已经发生的事件的概率要达到最大。 选择使 达最大的 作为未知参數 的真实值的估计这种估计法称为极大似然估计法，即 常称（*）式为对数似然方程 解：似然函数 的一个样本，求 p 的极大似然估计 例1 設 X 的分布律为 因此 p 的极大似然估计为 的一个样本，求 p 的极大似然估计 例1 设 X 的分布律为 解：似然函数 因此 的极大似然估计为 例2 求λ的极大似然估计。 解得。 （通常称上述方程组为（对数）似然方程组） 解：似然函数为 解方程组得， 故 的极大似然估计量为 的极大似然估计 极大姒然估计有如下性质： 若 的极大似然估计 有单值反函数， 则 的极大似然估计 如上例中， 有单值反函数所以 的极大似然估计为 求极大姒然估计的方法除上述解似然方程外,常用的 还有观察法. 例 设总体 X 在 [a, b] 上服从均匀分布， a, b 均为未 知 为来自 X 的一个样本值，试求 a, b 的极大似然估計量 解 先写出似然函数 下面用观察法求 a, b 的极大似然估计量.注意到似然函 数可以写成如下形式: 故知, 要使似然函数达到最大, a, b 应满足: 由此得 a, b 的極大似然估计值为: 于是 a, b 的极大似然估计量为: 本例也表明：同一个参数的矩估计量和极大似然估计量 可能形式上是不同的。 二、估计量的评選标准 1）无偏性 定义 设 若有 则称 的无偏估计量 证 此由 即知。 结论 无论总体 X 的分布如何只要 EX，DX 存在则 样本均值 就是总体均值 的无偏估計，样本方差 S2 就是总体方差 的无偏估计 注 是总体方差 的有偏估计。 事实上 结论

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