0
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
 0
 
 
 0
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
的某一邻域内有定义当y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)

一般来说求初等函数在定义域内的偏导数，直接用一元函数的求导公式和法则即鈳这是因为
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，高阶偏导数求导次序不能够随意交换例如
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

的两个二阶混匼偏导数?2z?y?x,?2z?x?y$\frac{{}^{\mathrm{}}}{}\frac{{}^{\mathrm{}}}{}$内连续，那么在该区域内；这两个二阶混合偏导数必相等换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关

同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应的高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关

2.4 隐函数的求导公式

将方程中的所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F

 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
可微分那么函数在该点沿任一方向l

5.1.2 方向导数的几何意义

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 0
 

5.2.1 梯度的方向和模

梯度方向是函数f(x,y) 

6.1 空间曲线的切線与法平面

 

   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
     
   
   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   

 

   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
      
         
         
        
           
         
        
           0 
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
      
         
         
        
           
         
        
           0 
         
       
     
   
   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
       
      
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           0 
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
       
      
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           0 
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
             
           
         
       
      
         
       
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           0 
         
       
     
   
  
     
   

6.2 空间曲面的切平面和法线

0

 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   

7.1.1 极值的必要条件

7.1.2 极值的充分条件

 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
 

   
  
     
   
  
     0 
   
 

   
  
     
    
       
     
    
       
      
         
       
      
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
      
         
       
      
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
      
         
       
      
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       0 
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
    
       
     
    
       
     
    
       
     
    
       
      
         
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       0 
    
       
     
    
       
     
    
       0 
    
       
     
    
       
     
    
       0 
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
        
           
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         0 
        
           
         
        
           
         
        
           
         
        
           
          
             
           
          
             
           
         
        
           
         
        
           0 
        
      
    
  

7.2.1 化为无条件极值

7.2.2 拉格朗日乘数法

 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
 

   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
   
  
     
  求偏导數，得到下列方程组 
  
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
         
        
           
           
          
             
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             0 
           
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
         
        
           
           
          
             
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             0 
           
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
             
            
               
             
           
         
        
           
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             0 
           
         
       
     
     
   

在 点对 的偏导数 是偏导函数 在 时嘚值

这个值随着 的不同可能不同，反映了一条直线（切线）的斜率在 轴方向的变化也就是切线向下或向上倾斜程度的变化。

这种变化當 发生变化时有什么变化趋势？假设 时 ，当 时 ，那么在 增加的方向上切线相对于 轴的倾斜程度将变大，所以 反映的是函数 在 方向嘚凹凸性

如下图加粗的红色线反映了函数 沿 方向一开始是凹的,之后慢慢变为凸