近世代数环的定义题!求出剩余类环Z8的所有理想和所有极大理想

我冒昧猜测一下题主疑惑的地方可能是觉得极大理想应该包含所有理想?除了这个我的确不知道这个东西有什么特别无法理解的东西

从定义上看,根据zoon’s lemma很容易验证極大理想的存在性就是我们考虑一个理想的升链,偏序是包含关系容易验证把链里的理想并起来还是个理想,然后就说明了有极大元极大元的意义在于没有比这个元素大的元素,换个说法比这个元素大就等于本身。那我们把这个极大元称为极大理想而这里的偏序昰包含,所以一个理想包含极大理想那就只能相等

例子的话,考虑整数环每一个素数(除了1)都生成了极大理想。这由定义是显然的考虑保护这个理想的一个理想,如果是真包含那会有一个元素不是这个素数生成的,那和这个素数互素那组合一下就说明这个理想裏有1了,这是不行的那么很显然4生成的理想不是极大的,当时3生成的理想是极大的但包含不了4生成的理想。

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