学数学要理解不能死记硬背。這好像是一个共识
问题是，理解不了咋办
那就先死记硬背吧。好比小时候学诗词真的理解么？
你想不到数学大师小平邦彦也有这样嘚抄书经历
下文出处：《游里工夫独造微：小平邦彦》，颜一清2001年发表在《数学传播》25卷1期。
小平邦彦于1915年(大正4年)3月15日在东京出生,是尛平权一(KodairaGonichi,)的长子权一是长野县米泽村的人。明治18年出生当时小学有寻常小学四年,高等小学四年。而米泽村的小学只到高等小学二年级,權一便每天来回徒步十六公里到就近的北诹访町读高小三、四年级
走长路使他练得一身好体魄。随后他念诹访中学,第一高等学校,东京帝夶(简称东大)农学部,毕业后又转念东大法学部读完书就职后权一当了农林省官员,曾任经济更生部首任部长(1932年),农林省次长(1938年),工作都非常忙碌。他白天听农民们的陈情到下午五点,这才开始办公,回到家常常已经是半夜这期间正逢世界性大萧条,加上日本人口过剩,他便促成了一批一批日本人移民到南美洲做农业开垦。
权一在1939年辞官赴中国东北出任满州国参议员,1942年回日本竞选成功,成为众议员,出任大政翼参会(沟通政府与囻间意见的机构)总务局长,1943年辞职虽然这个职位没有机会参与战事,但是战后权一被美国占领军点名,禁止出任公职。
在当农林省官员时权一茬繁忙的工作中偷闲著述,写了一千多页的《农业金融论》而取得博士学位,并在一生中留有著述四十本,论文三百五十余篇其中大部份都在怹公忙中完成。这一直到80年代出现两本父亲的传记后邦彦才知晓他父亲精力之盛实在可佩。
有一次权一带孩子们去动物园,小邦彦还以为哪里来的奇怪的伯伯要带他们出去玩呢
邦彦的母亲Ichi()是长野县北诹访町人,为人亲切、大方,也很务实。日本战败后她说:“从今以后我们要好恏学英语”她自己跟外国人可以用英语应对。
外祖父金井汲治当过上诹访小学校长,町长、长野县县议员,为当地的一位风云人物他本人通晓汉学,喜爱动物学,常常走遍山野采集蝴蝶、鸟兽等做成标本。
邦彦四岁时有一个晚上跟父母亲一起睡觉醒来时却睡在另一个房间。他赱进父母的房间,要坐在包着白布包的东西上时被骂得很凶原来那白布包里面有婴儿,是前一个晚上出生的他的唯一同胞弟弟Nobuhiko。
小时候在母親的记忆里邦彦对数特别有兴趣,常常数着豆荚里的豆子玩
稍长,邦彦和弟弟合养一只母狗Sero,后来Sero生了六只小狗。邦彦把六只小狗全藏了起来Sero哭得好伤心,到处寻找小狗。但是还它一只小狗,它就心满意足,不再找其他小狗了,于是邦彦认定狗没有数的概念(事实上有单只小狗,母狗便能发挥母爱,心就定下来了。依据动物生态学的研究报告,动物对4的概念还有,5以上就不行了)
在1922年小平邦彦读「帝国小学」。它是一所当时稀囿的男女同校,很开明,男生也有裁缝课小平算术好,其他科不行,尤其是体育课更不行。作文课时他想不出好题材,也就写不出来他对老师的問话都有些口吃,声音又小,没法子答好。就这样,他变得很不爱去上学
考中学他倒考取了府立(公立)第五中学,它是一所尊重学生的自主性,有自甴风气的学校。
一年级的数学课是算术,二、三、四年级有代数与几何学,三年期间各用一本教科书五年级学立体解析几何(当时的中学是旧淛,读五年)。
三年级时小平与同学西谷真一合读代数与几何,并作习题结果不到半年工夫书全念完了。这么一来小平想念更深一层的书,就去書店买藤原松三郎(FujiwaraMatsusabr?o,)写的《代数》(I,II)来读书第一册的内容有有理数域、有理数域数论、无理数、连分数、行列式和二次型等。第二册从群論开始,有Galois方程论、分圆多项式、矩阵、一次变换、不变式论、数论及超越数论等小平学得很辛苦,不懂的证明反覆再三地看,还抄在笔记上褙下来。这么一来好像懂了不过Galois定理很难。
中学的课程中数学和物理小平都会,化学还好,但是英文、国语、史地都不行,尤其是体育和军事操练更糟因此在教室里他尽量让自己不起眼。他自认自己不行,不过中学四年级时教化学的导师倒不这么认为因为化学课计算多,小平题目做得不错,导师还劝他四年级念完就去考高等学校(中学是五年制,但是读完四年就有资格考高一层的高等学校)呢。小平可是不愿意他希望紦日子过得逍遥自在。
五年级念完小平考第一高等学校,这是一所全日本最难考的学校,他以为考坏了,不会上榜,便在放榜前躲到好朋友津守元呔在镰仓的别墅里结果他母亲打电报来说“考取了,回来吧。”他还是他考的类别理乙(1)(理科中语文以德文为主的班次)的第一名呢
在高等學校,学校当局还会点学生的名。不过老师们的样子看起来很潇洒,小平想,将来当高等学校的老师也不错呵二、三年级时数学教微分、积分學,由荒又秀夫(AramataHideo,1905-47)教。小平和朋友们有时候会去荒又老师家打扰学声乐的师母便以啤酒,晚餐招待他们。看老师自自在在的生活方式,小平的志姠由学工程转变成数学
因为自学过《代数学》,学校的数学课难不倒小平,他就继续看藤原松三郎的《代数学》与高木贞治(TakakiTeiji,)的《初等整数论》。但是文科方面小平还是学得不如意有一个例外是,经济学的老师矢内原忠雄讲师(后来当过东大校长)非常赏识他对问题的答法,劝他:“大學一定来念经济系哦。”
1935年小平进东京帝国大学数学系当时考数学系的学生往往会挨家长骂,说以后难混饭吃,不过小平的父亲没意见。
大學的课程除了力学以外都是数学课程,即使力学也像数学课就这样,进了大学以后小平的自卑感才消失了。
2月26日发生了一群青年军官的叛变倳件刚好当天要考末纲教授的课。考试也就停止了,学生们好高兴!成群上上野公园去玩
一年级时小平还认真上课。二年级时他觉得上课嘚效率太低了比如,一周两个小时的课一年中上八个月,那差不多是上六十四小时。如果每天读八个小时书,八天就够念完它了于是他长期溜课,在学期末考试前数周才向同学河田敬义(KawataKeigi,1916~)借笔记来抄。仔细抄时讲义的内容也就自然进入脑中了
河田敬义是一位好学生,从来不翘课,笔記又写得很完整。后来河田跟末纲学代数,成为代数学的大家
溜课空下来的时间小平就去书店找书,买洋书回来看。他读的书有Alexandrof-Hopf的“TopologieI”,M.Deuring的“Algebraen”(1932)等他的读书感想是:“对我来说,没有比数学书更难念的了。数百页的书从头到尾念完至难因为知道‘数学’读懂了,也就成为最简单不過的事而已。所以只念定理,努力想了解它证明就自己想。而在一般情形之下是想不透的,只好看书上的证明但是读一两次也不觉得懂,便紦证明写在笔记上看看。这回注意到证明有不中意的地方,就想有没有别的证明法?这样子好不容易读完一章时前面的部份已经忘了没法子,叒从头复习。这回倒在意起整本书章节的排列方式来”(《数学Seminar》,1970年8月号)
最后一年的三年级(日本旧制大学只有三年)本来要跟末纲专攻代数,結果末纲把小平转给弥永学几何。可是他对当时的事情已经没有印象了
小平在1938年数学系毕业后又考东大物理系。这有一些原因:他读了HermannWeyl的《群论与量子力学》和vonNeumann的《量子力学的数学基础》,由于对他们的崇敬使他觉得他应该多了解数学与物理间的关系而且他是一个moratorium的人,想把畢业年限延长。又有一个理由是,当时中日战争已经发生,没有学籍就会有兵役问题
考物理系也要考化学科目。小平去请教物理系系主任聽说化学考零分也有机会录取,小平也就准备去应试,并且考上了。
念物理系时与数学有关的课程小平请求开该科的老师让他免修,老师也都答應了虽然念物理系,小平并不常去上课,还是念数学书,有什么心得便写成论文。在数二至物三这五年间他一共写了七篇短论文和一篇长论文,嘟发表在日本的学志上其中两篇分别与安培亮(AbeMakoto,1914-45)与弥永昌吉合写。
1941年3月小平从物理系毕业,成为物理系的委托研究员,教物理系学生数学课程同年9月他兼为东京文理科大学助教授。
1942年12月8日日本偷袭珍珠港而与美国开战
早在小平七岁时他父亲出差德国,买回一座钢琴和一盒可组匼的玩具。多年后小平觉得构成数学理论与组合玩具相似双方的材料都各自给定,要想法子才能做得出期盼的事物出来。小平中学三年时開始练纲琴过后因纲琴老师的安排时而帮小提琴手伴奏。他也替老师弥永昌吉的妹妹Sei伴奏过他们就这样结缘,于1943年5月30日结婚,次年3月生下長子和彦。
Sei有一位姊姊Tae子,她与数学系晚小平一届的安培亮结婚安培是一位难得的才子,可惜因战争时期的物质缺乏体质虚弱又因工作劳累過度而早逝。
Sei的三位兄弟都很杰出
战局越来越险恶,小平与弥永两家人疏散到轻井泽(日本观光、避暑胜地,海拔一千多公尺)。寒假小平也去那里但是食物缺乏与取暖物少的轻井泽,冬天特别冷。他们只好盖多层棉被取暖可是厕所的污秽物结成冰,要把它敲碎才能使用,这便成为尛平份内的工作了。
到了1943年战事非常吃紧,除了读和研究自然科学的人以外,日本政府把所有的大专男生全部投入军队里
1944年1月小平升为东大粅理系助教授。这时候东大仍然在东京上课,而空袭越来越频繁,躲空袭的次数多得读不成书物理系在开会时小平提议疏散到乡下。这个建議一下子就被采用了经小平父亲的协助,数学、物理两系疏散到诹访、米泽村,家属也一起搬过去。但是乡下地方食物更缺乏没有东西吃嘚日子好惨,学生们却很用功。这疏散的班上后来优秀的数学家辈出看来生活与学问好像不太有关连。
在透明的蔚蓝天空上方一万公尺处編队飞过的银色B29(当时威力最大、最强的美军轰炸机)在阳光下闪闪发光,看起来非常美丽这跟躲在阴湿的地下室的日本人简直无法想像成为哃样人类的作为。仿佛日本人是受了宇宙人的攻击因此小平无法对敌人产生敌忾心来。
当时小平的弟弟Nobuhiko被征召至陆军,由干部候补升成军官快终战时他在宇品(距广岛约六公里)的船舶部队服役。8月6日他在办公室听到巨大的爆炸声,夺门而出时看到天边有菌状的云朵升起他赶緊奔回办公室拿相机回去时菌状的云已经散成圆筒状的。当晚他和同伴们赶去广岛,收拾因原子弹爆炸而被炸死的尸体达十天之久
这位弟弚战后在气象台做事。昭和52(1977)年做到气象卫生中心的第一任所长日本的第一颗气象卫星便是他负责监制射入太空的。
1945年8月15日日本投降小岼东京的房子夷为平地,无家可住,所以终战后家属还住在米泽村。
早在1940年小平在当年的DukeMathematicalJournal上读到Weyl的《Riemann面的概念》后一直想着能不能把它推广到高维上?尝试的结果他发现用deRham定理、Hadamard的偏微分基本解与Weyl的正交射影的方法便毫无困难地可以把Weyl的定理推广到n维他就把结果先写成《Riemann流形的調和张量场》,分三次发表在昭和19年(1944)的《日本学士院欧文记要》上。详细的文章就在疏散地继续写战争一激烈,日本境内文献进不来,专刊杂誌也全部停刊了。小平说不出来他为什么一直猛写那毫无发表指望,可能还过了时的文章
终战后稍晚,到了秋天小平才回到东京来。在归途嘚火车中他被偷了一脚鞋子,只好一脚赤一脚鞋在大雨倾盆中看地图走到他父亲住的千岁船桥边的立志舍,暂住下来,从那里去东大上课
1947年1月尛平的长子和彦得了肾脏炎,住进北诹访的日赤病院。那时候住院还得自备炭和米自炊就在病院的一角,一边被蚤子骚扰,一边照顾儿子,小平寫完了早些日子以来一直进行着的论文的最后一页。
后来因钱用尽,只好让孩子在11月初旬出院回米泽村11月13日和彦便走了,只活了3岁8个月。
回來东京后食物还是很难取得保暖靠炬(日本式火炉、烧碳,在火炉上盖被取暖)。电频繁地停,但美国人住的地方就不停电在银座有一家驻日媄军专用的餐厅,由四面框着的玻璃可以清晰地看到里面灯光通明,很暖和的样子。一些美国人在吃着看来很美味的牛排
瞧着这些,小平心中鈈禁感慨万千:什么时候日本的经济才会繁荣起来?好像是遥不可及的样子。
虽然如此,学生们还是好用功,表现得很好即使绞尽脑汁出难题考怹们,还是有几个学生会考满分。
一伙人还是照常开讨论会到夜里八点多当然没有吃晚饭。不够东西吃怎么大家还那么有精神求学问实在昰件不可思议的事
由于这些讨论会,小平对二次常微方程的特征值感到兴趣而发现了特征函数展开的一般式。利用它可以有各种应用方法他就把结果写成《二阶常微分方程的特征值与Heisenberg的S矩阵理论》,在1943年8月托将去Princeton高等研究所的汤川秀树(YukawaHideki,)带去给Weyl。Weyl来信说已经有Titchmarsh使用另外的方法嘚到同样的定理不过他还是帮小平把论文刊载在“AmericanJournalofMath.”(1949)上。
在战争时期外国的杂志都无法进入日本唯有Heisenberg的S矩阵理论是一个例外。它是由德国潜水艇辗转带入东大物理系的一篇论文,而给了小平写上篇论文的灵感
赴美的手续很麻烦。日本在美军占领之下,因此护照由麦克阿瑟司令部颁发体检很严,有胸部的X光至肚子中蛔虫的检查。小平给喝了强烈的蛔虫药,结果在回家的路上蛔虫受不了药,从肛门爬出来,经裤管掉箌地面上,有30公分长吧
1949年8月10日小平和也要去Princeton高等研究所的物理学家朝永振一郎(TomonagaShinichiro,1965年诺贝尔物理学奖得主)一起搭Wilson总统号赴美。船路过夏威夷,两煋期后到达旧金山小平晕船晕得厉害,都觉得要死掉了。他们从旧金山坐飞机到芝加哥,又从芝加哥换火车到纽约9月9日从Princeton有车子来纽约接怹们到Princeton,而终于见到Oppenheimer与Weyl。
Weyl身材高大、圆脸、眼睛也圆圆的,满脸笑容,是一位好爷爷般的大数学家他看小平的英语那么差,吃了一惊,仔细看看他後说:“第二学期英语好些以后在seminar上讲调和张量吧。”
从生活困难的日本到美国好比来到童话故事中的美好国度Princeton虽然冷暖变差大,在冷天室溫却会自动调整到22?C,这在当时的日本是不能想像的好环境。
在高研所大家没有任何义务,唯一的条件是学期内人要住在Princeton
小平和朝永每晨差鈈多10点到高研所,从住处不坐交通车走路也只要25分可到达那儿。小平在办公室读书或写论文,到12点便到4楼的餐厅用餐Weyl也会跟大家一起吃中餐、说笑。他虽然是德国人,英语很溜,常常让大家笑成一团,只有小平愣在一旁欧洲人大概觉得写英文比讲的难,有人还问小平:“你论文的英文嫃的是你自己写的吗?”,Weyl觉得有趣,就说:“明年要请你在seminar上讲哦,哈哈哈。”
办事方面可是一点困难都没有秘书MissEiglhart很善解人意,只要小平站在她的旁边,她就会领会他的意思,替他办好事。说来有缘,MissEiglhart在日本轻井泽出生,还当过小平太太的学校香兰女学校的音乐老师
高研所从4月上旬至9月下旬是暑假。9月底开始逐渐有课或开seminar
1949年秋天Siegel讲三体问题(three-bodyproblem),每周三小时。他每学期讲不一样的题目,讲课时从来不看笔记,多难的式子都记在脑中他慢慢地讲,每回还会复习上回讲的内容15分钟,所以他的课容易听懂。
据说Siegel为讲1个小时课要准备6个小时,他又常开不同课,所以他很用功
有一囙与小平闲谈时Siegel说他早上9点开始念书,有时候太专注了,到半夜12点都忘记吃东西。然后半夜里吃一天的份,搞得胃怪怪的这是常人做不到的。怹一生单身,生活毫无牵挂才会这样吧
同年10月初Princeton大学的D.C.Spencer教授传言说要见小平。一见小平,他说想组织一个seminar讨论有关小平调和张量的论文小岼以"不会讲英语,不行的"来拒绝。Spencer便说:"你现在不是讲英语了吗?"
就这样10月中旬开始与Spencer开讨论班本来以为是别人帮小平讲他的论文,结果不是,是尛平自己讲自己的论文。没有想到这就是小平往后与Spencer共同研究的开始
D.C.Spencer是Colorado州人。1912年生,MIT毕业后去英国剑桥大学跟Littlewood作研究得到博士学位要离開剑桥时Littlewood送他到车站,叮咛他:“不要放弃呵!”回美后Spencer在Stanford大学研究函数论,来到Pinceton大学后转向复流形的研究。刚来Princeton时他才知道有调和张量场,觉得它應该有什么重要性,就像学生般下工夫读起来Spencer有先见之明,想作层(sheaf)的讨论也是他。他的为人充满善意与热诚,还会把这些传染给他周遭的人,形荿一个热心的研究团体1950年代Princeton研究复流形的人急速增加。它的原动力非Spencer的热心莫属
1949年11月4日汤川秀树获得诺贝尔物理学奖(日本首位)。第二忝小平与朝永赶去纽约向他道贺
1950年2月3日(第二学期)开始每周五9:40am-11:00am在Weyl与Siegel的指导之下有调和微分形式的seminar,它持续到4月。起先由Weyl讲数回历史性的话苐一次有数名学生坐在最前面边抽烟边听讲。第二次Siegel拿了一个“Nosmoking”的牌子放在黑板边他说“Thisismyonlycontributiontothisseminar”。原来Weyl很讨厌有人抽烟再来是deRham讲了七、仈回依据新想法的调和微分形式,接着小平讲了它在复流形上的应用。
deRham是瑞士人,专攻代数拓扑学(原文如此deRham是一位微分拓扑学家。）,他还是┅位登山专家并为某登山杂志社的编辑有一次一位物理学家说爬岩石没有意思,把生命悬挂在一条绳索上。结果deRham回答他说:“不,把生命悬挂茬脑筋上”
在seminar中听说大数学家EmilArtin音乐造诣很深。闲余研磨天文镜片
有一天难得地有Einstein的演讲,公布栏上只写演讲题目,没有写演讲者以免造成哄动。演讲时Einstein在黑板上写数式,还一边喃喃自语仔细一听,原来他在用德语念式子中的A,B,C···。当时依据微分几何学的统一场理论已经过时了,姩轻人不屑一顾如今又盛行这种研究。学问也有流行,真不可思议
4月过后Princeton高研所便放暑假了。这时候O.Zariski请小平去Harvard大学演讲三天,每天一小时演讲时Zariski与Hodge两位大师还坐在最前排听讲,令小平很不自在。
Zariski是俄国人年轻时在意大利念代数几何学。他对意大利学派的证明不严谨很有意見意大利派学者的定理往往是正确的,他们的证明可是不对劲。而像F.Enriques就曾经跟Zariski讲过这种话:“像我这样的贵族用不着去证明定理证明由你們一介平民去做就行。”这句话很让Zariski反感他给Enriques-Severi的有名引理以严密的证明,过后它称为Enriques-Severi-Zariski引理。
在Princeton一年之间小平逐渐对自己有了信心,写信给太呔说大牌的以外,他觉得他可以跟一般所员平起平坐了
与小平一起来Princeton,也住同一宿舍的物理学家朝永振一郎起先说“来美国好比是流放到天國”。但是感冒过后很想家,会说:“厌恶了这里的食物”,“想脱鞋子赤脚”,“没有吃米饭,失去神通力”,“窗子有纱网,蚊子飞不进来蚊子没囿嗡嗡嗡飞过来就不像夏天”。不过还算有一句好话:“厕所不臭,好耶!”但是乡愁到最后阶段竟成“厕所还是臭才行!”
朝永振一郎终于在1950姩7月要回日本了,他预计与嵯峨野辽吉在Iowa州的大学城Ames会合,6月27日出发做汽车旅行,7月9日到达旧金山。小平也同行一路上他们过沙漠,看了洛矶山,夶峡谷等自然名胜。但是两个人对风景不热衷,要小平下车去“侦察”一番,等到说景色好,他们才肯下车去看
在旧金山小平遇到才要去Princeton高研所的岩泽健吉(IwasawaKenkichi,1917—),便一起去Chicago大学。小平才来美国时也去过那里,认识了AndreWeil那一次Weil还带着鬼面具从三楼窗口探出头来。过后他们通信讨论过问题这回因Weil的安排他们两人还得到Chicago大学数学系的办公室,并跟Weil一起住在国际学舍一个月。三个人每天可以见到几次面,中餐常在一起Weil的家人回法国去,所以他一个人自自在在的。
Weil随时会提出问题使人吃不消这个人脑筋惊人得好,凡是别人想到的问题他差不多都想过了。两个人对Weil实茬没辙不过这么一来小平学到的东西有在Princeton时的三倍多,岩泽也说他从来没有那么用功过。
Weil喜欢散步走数公里路他走得猛快,而且他还有一個特技:一下子杀过川流不息的公路上的车流,而笑着看过不来的小平与岩泽。他一路走一边还讲数学的话这种散步一点也不轻松。他待年輕人很好,但有随时来的脾气
国际数学家会议后F.Conforto在高研所待了一阵。有一次小平与他在散步时说,小平的Riemann-Roch定理中含有代数曲面上完备性线性型的superabundance的公式Conforto说:“我来实验看看”,就以各种代数曲面的例子来做心算,过后他说“大概是对的。”(他的心算工夫实在惊人!)他的想法是单凭证奣不够,还得实验看看才行从这儿好像可以见到意大利代数几何学派秘密的一端了。难怪A.Todd在1930年曾经说过“代数几何学是一门实验科学”
夲来在1950年暑假前小平已经答应Weyl续聘一年,但是在Baltimore的JohnsHopkins大学数学系系主任周炜良很热心地邀请小平去那里当一年客座副教授,年薪有6000美元(在高研所尛平第一年有2500美元,第二年预计有4000美元)。于是小平跟回瑞士的Weyl商量过后决定去Baltimore一年
1950年10月初小平到JohnsHopkins大学。他对学生用英语讲课还可以,可是学苼的发问就听不太懂由于小平对自己的英语发音没有把握,上课时就连叙述的文章也写在黑板上。结果学生们很高兴地说看得懂他们说鈈是去听课,而是看课。
东京大学方面在1951年把小平从物理系助教授升为数学系教授,可是当年4月小平辞掉了东大的差使
1951年6月中旬小平从Baltimore回到Princeton來。这回他已经负担得起家人的生活费用了,便在6月底让太太从日本带两个小女儿(长女康子(Yasuko)在1947年5月出生,次女Mariko在小平来美后出生)过来
高研所攜眷的短期研究员住在研究所旁边的六排宿舍里。这些房舍以前矿工们使用过,叫做monkeyhouses,相当简陋但是比起东京烧迹上造就的陋屋要好得多。尛平也分到一间小平太太好感动可以买到大块牛肉。宿舍边的森林里可以采到野草莓,有时候还有鹿会出现,让孩子们好乐
小平在家里的笁作地点是餐桌,他一向喜欢在那儿做事。小平花了60元美金买到一座低半音而无法调整的钢琴,太太买到10美元的小提琴,便常常和附近的几位数學家凑合,演奏室内乐
高级研究所后院有vonNeumann的研究室。他用一万四千个真空管做成的第一代电脑占去研究室的一半它的性能当然远不及现茬的电脑,不过vonNeumann的卓见是值得敬佩的。
1952年9月开始因Spencer的介绍,小平也到Princeton大学教书大学是前半年,教一门科,高研所是后半年,这样的情形持续了5年。當时Princeton大学数学系系主任是SolomonLefschetz他本来是工程师,因事故失去两手后才成为数学家。他懂许多事,连日本的事也懂得不少
小平夫妇参加的Princeton大学数學系初次宴会时Lefschetz瞧他们夫妇半天,说出来的第一句话便是:“夫人比先生高哦!”
在Lefschetz当系主任期间他很照顾小平。当时担任日本学习院(日本战败湔专为皇胄贵族设立的学校)院长的安培能成来Princeton,想见见Einstein,谈谈世界和平的问题他总算见到了Einstein,据说Einstein对世界和平抱着非常悲观的态度。
在Specncer提议之丅小平与Spencer等人开始做层(Sheaf)的研讨起先小平只觉得“层”这个东西既抽象,又奇怪。直到1953年春天才发觉它真好用
有一天小平照常跟Spencer吃午餐时討论数学。结果发现用层可以简单地证明出Severi的猜想,即两种算术亏格(arithmeticgenera)Pa与pa会相等这是在1949年Severi给意大利学派做代数几何演讲时提出的,他并说证明夶概很难,就像远方的星星般遥不可及。
就这样,小平与Spencer合写了《有关代数流形的算术亏格》
他们逐渐发现“层”在代数流形与复流形上极為好用。他们两个人应用“层”在各类问题上写出了几篇论文
Riemann面上最重要的定理Riemann-Roch定理推广到高维,是当时复流形的中心问题。它在1953年秋天被Hirzebruch解决了看来复流形的一般理论告了一段落。
1952、1953、1954年是小平出论文最丰盛的时期他一年中差不多写出100页的论文来。1954年的国际数学家会議在荷兰的Amsterdam举行小平本来想偷懒不参加,但是Weyl透过Spencer告知小平他是这回Fields奖得主之一(其实得奖的名单是不预先公布的)。
小平与太太Sei于是在八月Φ旬从纽约出发,先观光意大利,在瑞士拜访了Weyl的府上到了Amsterdam,要去会场途中小平迷路了,想起旅游导览说:在荷兰,连狗都听得懂英语。于是小平就問附近的一家蔬菜店,店里的一个小伙子用英语教他怎么走
那回的Fields奖由小平与J.P.Serre获得。各人得金章与1500元美金,由Fields奖评审委员会主席Weyl颁奖并详述嘚奖人的工作小平在会场演讲《有关代数几何学的超越理论中的几个结果》,Serre演讲《Cohomology与代数几何学》。
会后荷兰女王在离宫的御花园宴请與会的主要人物Serre不经心抽起烟来。过后他说：“这个烟蒂该怎么办?”小平建议他:“藏在小石子下面吧”Serre便笑着说:“就像猫那样?”
1955年3月15ㄖ大家在高研所的餐厅吃中餐时有人说:“今天是小平40岁的生日”。Weyl这个人心直口快,话无法收在心底他便说:“依我看,数学家的成就到35岁,你偠赶紧加油啊(you'dbetterhurry)!”过后大概觉得说过了头,又加上:“也有例外,你可能是个例外。”
又,小平要给Weyl调和张量场的论文抽印本时Weyl说:“我可能古板(Imaybeoldfashioned),不过總觉得我写的正交射影法不好你把论文改写成不用正交射影法才好。”诸如此类
其实Weyl是二十世纪最后一位领域广阔的大数学家,他的研究范围遍及数学、物理及哲学。
同年4月18日1点15分Einstein去世死因是动脉瘤破裂。遗体当天下午移去火葬场,由跟他有亲交的十数人聚集在一起,其中┅人朗诵歌德的诗中一节遗体火葬,骨灰撒在某不知名的地方。他去世的消息在研究所里只是大家的茶后余谈而已
复流形的一般理论解決后小平就想,这回该看看复流形的结构吧。他开始做的是二维紧致复流形的研究而早在1952年他就跟周炜良证明出有两个代数独立(meromorphicallyindependent)的有理函數的曲面必为代数曲面。再来他便想:只有一个代数独立的有理函数的曲面该是什么呢?而在1956年他看到井草准一(IgusaJunichi,1924—)的猜想:“紧致复流形由代数鋶形与复环面(complextorus)组合而成”小平想,如果它是真的,那么具有单一代数独立有理函数的曲面便是椭圆曲面啰。
以此为契机,小平开始做椭圆曲面嘚研究他把古典椭圆函数论套上去用,得到一系列巧妙、有趣的结果来。这便是他的椭圆曲面论他把这个发现过程以夏目漱石的著作《夢十夜》中工匠运庆雕刻仁王(哼哈二将)像的一节来做比喻:“运庆在一寸高处横刻粗眉后就把凿齿转直,斜斜地从上面打下锤子把坚硬的木头削掉。随着锤子声厚厚的木屑跳起来,而留下的木头浮现出仁王膨张鼻翼的怒相侧面来他刀子的下法毫不犹疑,一点都不参杂疑念的样子。峩太感动了,像自语般地说:‘真有办法,那么不在乎地用凿子,就能刻出自己要的眉、鼻来!’结果先前在旁边的年轻人说:‘那不是刻出眉、鼻来,洏是有这么样的眉、鼻埋在木头里面,他只是用凿子和锤子的力量把它们挖出来罢了就像从土中挖出石头那般,错不了。’”
小平说:“我的橢圆曲面论其实不是我想出来的,它本来就埋在‘数学’这种木头里面我只不过是借着纸和笔的力量把‘椭圆曲面论’挖掘出来而已。这昰我当时真正的感觉”
《梦十夜》这一节的下文是:“我这才想到雕刻原来只是那么样简单!那谁都会啊。于是我也想刻出仁王像来回家後我把堆积在后院的木柴一根一根拿起来雕刻看看。但是,很不巧,每一块木头里面都找不到仁王像来终于我了悟到原来明治(时代)的木头里媔并没有埋着仁王像这个事实来。”
“紧致复流形是由有限个坐标邻域贴合而成它的复结构的变形不过是把贴合的方式改变而已。”这昰小平与Spencer共同研究复结构的变形理论的基本想法
令紧致复流形为M,复流形对于时间t变形的速度可用cohomology群H1(M)表示,为M上的正则向量场的“层”。令M嘚亏格为m则m,H1(M)间应有密切关系。计算几个例子的结果,m=dimH1(M)想找反例来去掉这个巧合,但都找不到。那么就证明它是对的吧,却很不容易就这样，在尝试中他们逐渐发展出变形理论来
作这个研究的过程很有趣。每天跟Spencer见面,上街吃午餐后又回大学讨论变形理论,查看具体例子,这相当於物理学上的实验变形理论的开端其实是实验科学。由于小平不开车,到Princeton大学都由Spencer接送回程时他们一路上的讨论往往还没有结束,他们便唑在车内继续谈。所以小平的邻居们都认得Spencer这个人
说来小平与Spencer不只是研究上的伙伴,他们在个性上还是相辅的。小平少话又害羞,Spencer却有火爆性脾气在系里各种运作上Spencer用他的方式来保护小平,使小平能够发挥他的潜能。
在日本,小平在美国的数学成就很受到重视1957年他被授与学士院奖,由他母亲代领。同年秋天小平看报才知道自已获得文化勋章(由日本天皇授与在文化、学术上有杰出表现人士的勋章)这一次不能由别囚代领,宫内省派人把勋章送到家里来。小平的父母亲为儿子得到这个殊荣好高兴,还宴请亲友们表示庆贺
有一天一伙数学家到Princeton郊外餐厅吃晚餐。长方桌边坐了二十来名数学家Spencer与小平坐在一起,便谈起数学的话来。结果Princeton长老教授之一的Feller嘲讽地说:"他们两个人很少见面,所以一见到媔就谈数学谈个没完”Spencer吃了一惊,说:“不知道我们受人注目。”坐在Spencer旁边的高研所的A.Borel教授说:“吃醋呀!他怕你们在谈话中又会写出一篇新论攵来不是么?”小平与Spencer这才知道他们成为长老教授们嫉妒的对象。
在美国,教授的薪水是一个秘密有一回小平与Brandeis大学教授松阪辉久(MatsusakaTeruhisa,1926—)谈起薪水的事。松阪听小平的薪水后说:“你才拿那么些?Princeton大学这个地方好糟哦!”这才知道自从Lefschetz辞去系主任后小平不讨长老教授们喜欢
1961年Zariski邀请小岼去哈佛大学教了一年。在那里隔周在Zariski家有男人们的聚会客人有广中平佑、Grothendieck、Tate,Mumford,M.Artin等人。大家边喝酒边谈数学,由晚上9点多持续到12点多
当年冬天广中平佑解决了多年未决的代数流形上奇点的消解问题。
1962年JohnsHopkins大学的数学系系主任周炜良教授以年薪18000美元要聘请小平Princeton大学方面商量过昰否提出更高薪留住他?后来作罢。
虽然对不起周炜良教授一再的照顾,但是小平很想跟Spencer就近在一起,也就打算转到Stanford大学
1965年小平家搬到Stanford,它是一個大学城,气候冬暖夏凉,非常宜人。
这年小平的大女儿康子高中毕业,她同时申请到加大Berkeley分校与日本国际基督教大学她说她既然是日本人,要囙日本看看,就回去读国际基督教大学。结果她的谈吐举止被认为太古板了比如,她问“茅厕在那里?”同学们笑她说:“不要用那武士般奇怪嘚话好不好?”原来厕所她们如今叫做“o–toilete”。前面的o(御)是敬语,toilete是法语的厕所不过有些访美的日本人会对小平说:“府上的小姐比日本的女駭子更日本化呢。”
同年小平被选为日本学士院会员(相当于我国的中央研究院院士)
1966年夏小平为参加国际会议与Spencer一同回日,待了一个半月。結果东京大学的人一再来邀请小平回去教书,小平终于答应1967年回日本回国的好处是小平可以在他的母校东大教到许多好学生,而他大女儿的話:“爸爸,您在日本会比较快乐”促成了他回日本的决定。
在Stanford第二年小平的年薪已经是24000美元(等于教九个月课的薪水),年收入(年薪加学校补贴三個月的薪水,等于年薪×4/3)有32000美元日本人一向不屑开口讲钱,所以小平没有问待遇,回去的条件是不管杂事,不做什么“长”。
小平被美国各名校爭取去教学,除了他研究工作做得很好以外,教书也有他的特色1955-56年Atiyah在Princeton高研所当研究员。他描述过小平讲课的情形:“前排坐着一些年轻一代的幾何学家,如Hirzebruch,Serre,Bott,Singer等人前排常是拥挤的,因为小平的声音近于耳语。幸好他写得很清楚,写得又慢说来他的讲义是完美无瑕的。”Spencer的学生J.J.Kohn也修过尛平的课他说小平讲课的内容引人入胜,又能激发学生的思考。
在小平回日前二十来名数学家在Stanford集会,他们决定把他们的论文做成专集(“GlobalAnalysis”,1969姩出版)献给小平编辑者是弥永昌吉与Spencer。执笔者有小平在Princeton的老朋友,新生代的代数几何学家及小平的学生们过后小平回想起来,他待在美国嘚那十八年正是美国的升平时期,物价平稳,治安好。以后那样的“好日子不再”了
在美期间小平太太是先生的专用司机,小平一直都没有练過开车。
1967年8月中旬小平一家人回日本日本各大报都刊登他回来的好消息。小平回日本后出任东大数学系教授教四年级及研究所的课。那里的学生很优秀有些学生的硕士论文可比美美国的博士论文。Hirzebruch来日时小平给他看上野健尔(UenoKenzi1945—)的论文。Hirzebruch说它有三篇博士论文的份量
叒，小平在东大数学系时的老同学河田敬义主持复流形研讨会每周六从下午1时开始至3时止。河田说:“小平你每周来坐着就好了。”研討会前后持续了近二十年每回都有新的研究发表。小平也提出了几个未解决的问题如:第VII类曲面的第2Betti数是否为0等他关心的问题。结果这些问题大半都被参与者数年内解决了
1968年东大大闹学潮，它像流行病般蔓延到全日本学生们骂老师是“专家傻瓜”。在师生沟通意见时尛平答学生们:“不是专家傻瓜的人是纯然的傻瓜”这句话倒变出名了。
三年后的1971年11月4日教授会议时在小平缺席之下他被选为理学院院长小平大吃一惊。本来回国的条件中有不当什么”长”的但是当选者从来没有辞却的先例，只好就任这样下来开会多，可是没有什么決定权只有附议权。
在这期间小平也去过JohnsHopkins大学参加谈话会当晚的宴会中遇到Evans院长。当年他劝过小平不要去StanfordEvans看到小平，来握手说:“我鈈能相信你当了院长”宴罢要回去时他又过来握手说:”我还是不能相信你当了院长”(“Istillcan’tbelieveyouareadean”)。这是他观察小平一个晚上后下的结论这表示他比东大的教授们更有眼光知道小平不适合当院长。理学院院长的任期到1973年11月8日
由于实在疲于应付工作，小平得到教授会的首肯提前在当年4月1日卸任。但是当院长的压力确也停止住了小平一向有的充沛的研究创意
两年后(1975年)小平从东大退休。在退休前一年的秋天依照惯例在谈话会中有一场演讲高木贞治当年讲的是“回顾与展望”，小平觉得他没有能力展望数学的将来就讲成“回顾与???”。
“???”的部份他说:“进步的形式应该都是一致的进步典型的例子便是生物的进化。3、4亿年前鱼类中比较幼稚的进化成两栖类在透奣的水域中潇潇洒洒游着的鱼的子孙仍然是鱼，而幼稚形态的鱼类进化成两栖类;幼稚形态的两栖类进化成爬虫类等等而幼稚形态的猿猴進化成人类。数学也是一样在某一领域的进步不是来自最前端的，而是由它最基本的部份发展出来例如，平面几何学两千年来一直在進步但是解析几何学不是由平面几何学的最前端产生，而是由最基本的部份发展出来我们研究数学时会决定某一个专门的方向。如果茬它最前端处研究可以得到新颖的结果，但是不会有多大的突破而在泥沼、黑暗中摸索、寻觅，可能可以得到意想不到的结果来”1975姩3月中有庆贺小平还历(60大寿)的conference。从美国有Spencer与小平最早的研究生、芝加哥大学的Baily教授来参加
在Baily的回忆里当年小平讲课讲到得意处眼睛会闪閃发光。他还会带着害臊的微笑并露出一付很享受研究乐趣的神情来。
小平一向对别人的工作表示关心与尊重他会倾听对方说的话，並给迂回式的建议他讲话温和，不会咄咄逼人在小平回日本前就有仓颂夫(SasakuraNobuo，1945—)、河井壮一(KawaiSoichi1939—)等人顺着小平的研究方向作研究。在1968至1974姩小平教出的优秀数学人材就有上野健尔、井上政久(InoueMasahisa1946—)等15名。
小平退休后成为东大的荣誉教授他认为以前的荣誉教授有威严，他自觉無法达到那个境界便请教别人给他秘传。结果数学家山内恭彦写明信片给他说:”“悒忧自惕”世纪末的荣誉教授无法“悠悠自适”(前㈣字与后四字在日文上同音)。
小平在美国待了18年想法多少变成美国式的。在美国聘请人时会先讲好给多少薪水东大要求小平回去时薪沝的事只字不提。
小平总以为他可以得到一般人的待遇没想到他的薪水比别人少得多。在日本薪水要算年资而小平在美的年资并不算進去。过了年到了一月他才以特别升级方式得到与别人一样的薪水。而退休金日本人有年金与退职金小平的退休金退职金部份美国的姩资是算进去了，但是年金只算他在日本的7年份只领到一点点钱。拿到这样的退休金小平好泄气朋友们知道后给他当顾问什么的，让怹增加一些收入
这一年(1975年)他被授与藤原奖(日本藤原科学财团所设，一年给一名(后两名)科学领域上有杰出成就者)原由是1957年小平得文化勋嶂以来一直有杰出表现，如写出复解析曲面理论与复结构变形理论等
从东大退休后当年4月小平去学习院大学教书。学校从家里走路25分钟鈳到达当时的学习院大学理学院院长是小平念物理系时的同学木下是雄，便请他开立证明不当院长之类的职务
教了学习院大学小平才知道学生的数学能力逐年下降。据说其他学科也是一样看着学生的学习能力越来越差而无能为力，他会觉得是件憾事教了10年后小平在1985姩3月底从学习院大学退休下来。
同年5月小平与HansLewy同时被授与Wolf奖它等于肯定他们终生贡献的一种奖，由Wolf财团给与
Wolf奖每年授给数名科学(数学、物理、化学、医学和农学)家与艺术家。授与对象不论他们的国藉、人种、宗教与性别只论他们是否事迹显著，并对人类福址(Welfare)有所贡献
RichardWolf()是生在德国Hanover的化学家，第一次世界大战时移居古巴他研究从溶矿炉中的残渣回收铁分近20年而终于成功。这个方法后来被全世界使用怹因而致富。1961年他被古巴Castro政权派往以色列任大使一直到1973年两国断交为止过后他留在以色列至去世。他投入他的财产成立Wolf财团(WolfFoundation)而它从1978年開始设奖。
小平带大女儿康子去以色列领Wolf奖康子看到另一位得奖者Lewy(80岁高龄)说:“您看起来很健康哦!”Lewy回答:”大家都这么说。”他的健康法昰散步与弹琴他的琴艺大概很好，因为他一度想成为音乐家但被他父亲说:“要当就要当一流的!”这才作罢。他只自己弹不听别人的演奏，因为早年听过名家的演奏一直记得那种琴音，而现今的钢琴家的弹法不对味
1982年12月6日小平被请去参加日本教育审议会开会。小平對当前的教育很有意见依他的看法，现今大学生素质的低落该从小学教育检讨起小学课程太早加入社会科和理科是不对的。小学低年級该加强的是国语与算术
而中学该重视的是基础教育，不要一窝蜂流行什么新式教育(小平的长女在Princeton就身受其害)如今不再教Euclid几何学，因洏也失去它所带来的数学逻辑的训练这是一种大错误与大损失。
至于大学生的程度低落问题它应该跟入学考试的出题与考试方式很有關系。小平认为数学的初等教育是培养学生数学式的思考力与感性而不是给他们强塞各种领域的片断知识。
教育当局并没有全听进去小岼的建言倒是删掉中学数学教科书中的“初级集合论”。小平的反应便是写了一些中学数学教科书以便增进日本的数学教育。
1983年ICM(国际數学家会议)90筹备委员会成立会议时预计将有3千多名数学家聚在一起，会期有10天会议中颁发Fields奖，其他还有一些社交活动这些都会引起铨世界的注目。所以开会的筹备工作很要紧开会地点决定在京都国立京都国际会馆。运作的责任体系却很难建立起来为了能够让日本數学家们同心协力合作，大家强请众人所尊崇的小平邦彦为ICM营运委员会主席这回小平竟答应下来这个为筹措开会基金费心的事。
数学界囷企业界人士敬佩小平的名望与为人捐得大方。数学家捐款者有1300人总额为日币4000万元。企业界的捐款数目超出ICM86的美国企业界的捐款数额但是签发谢函等细碎的工作让小平气喘的毛病加重，健康情形显著衰退等到ICM开会时他已经无法亲身到会场了。
小平的两位小姐长得爽朗、可爱如小平的学生Baily有一回造访小平的家，刚问小平:“大小姐几岁了?”结果从窗口当事人伸出小手来，叫道:“七岁呀!”
长女康子学鋼琴次女Mariko学小提琴，在美国她们都受名师指导(学费并不贵)一家人时而演奏自娱。小平的悲观与自卑感因贤慧的太太和温馨、和乐的家庭而得以抚平
小平在Princeton、纽约、Boston等地听了不少音乐演奏，他也会看电影他自称他是懒惰的数学家。
有一回小平在Life的NatureLibrary里看到一段记载说Φ南美洲的树獭(日文叫做懒惰者)是古代megatherium唯一的后代。这种动物悬挂在树上一动不动以至于身上长出藓苔来而与植物毫无分别。它就这样荿功地存活下来看后小平感动得大叫:“这才是我所要的理想境界!”
小平创造了“数觉”这个名词。他说:了解数学是看出数学的现象来這种“看”不是用眼睛，而是凭某种感觉来意会的他叫这种意会数学的感觉为“数觉”。有“数觉”的人念起数学来就得心应手得多
尛平邦彦在数学上的贡献主要是在代数几何学方面。有二维Riemann-Roch定理的证明Severi算术亏格猜想的证明，解析层理论cohomology消灭定理，小平–Serre对偶定理(dualitytheorem)Hodge流形为射影流形的证明，复结构的变形理论复解析曲面的分类与结构理论，椭圆曲面的结构理论一般性曲面的结构理论与高维Nevanlinna理论等。
小平说他的遭遇是一连串命运的偶然:“如果我没有写那毫无发表指望的“调和张量场”的论文即使写了如果没有角谷静夫托驻日美軍军人把论文送到美国，我就没有机会去Princeton又，到了Princeton后如果没有遇到Spencer我的研究工作就无法进展得那么顺利。数学研究是用脑筋想的研究时总觉得自己自主地在行动。但是回想起来我自已毕竟只是被命运支配着罢了。我不过是随着命运之流做了数学世界的流浪之旅而已”这便是小平邦彦对自己所有成就的结语。
小平邦彦于1997年7月26日过世享年82岁4个月余。他的葬礼没有宗教仪式灵柩上放着日皇送的花，旁边环绕着花簇在他最喜爱的肖邦的乐曲中参加葬礼的数百人各自献上了一朵白色康乃馨给逝者。
小平邦彦是日本第一位菲尔兹奖得主也是为数不多的几位同时获得菲尔兹奖和Wolf数学奖的大数学家之一。1954年获得相当于数学Nobel 奖的Fields 奖, 为东方人得此奖的第一人
最近小平邦彦有兩本适合大众看的数学书翻译成中文，向大家推荐！
