第一回  混沌初分大千世界识一二  萬物肇始天圆地方自规矩

第二回  甲骨泥版共创数学纪元  竹简纸草同著算术春秋

第三回  逻辑朗朗数学首次辉煌  思维清清运算同步灿烂

第四回  東方中国《九章算术》标青史  西域雅典《几何原本》传百世

第五回  群贤毕至托勒密王再续前缘  兼容并蓄阿拉伯人又搭金桥

第六回  割之又割割圆术得徽率祖率  开而再开开方法解天元四元

第七回  刀光剑影竟从方程求解  引起冲天巨浪却由文艺复兴开辟

第八回  伽利略说自然中处处有公式  笛卡尔称空间里点点入坐标

第九回  术精器利微积分为变量  搭脉西学东渐徐光启与国际接轨

第十回  近世数坛基础理论成果绚丽  现代计算實际应用前景辉煌

附录：附录一数学世界的吉尼斯纪录

第一回  混沌初分 大千世界识一二    万物肇始 天圆地方自规矩

原始文明只能分辨1、2和“許多”埃及人用|表示1，用││││∩∩∩表示34炎黄始祖首创十进制位值记数，独领风骚数千年《周易》八

卦，现代电脑有根有据┅脉相承。补天女娲治水大禹，无规无矩难成方圆

自古以来，我国就流传着一个神话：在最古最古的时候天地初分混沌开，有一个囚叫做盘古。他生在天地的中间天每天高了一丈，地也每日厚了一

丈盘古也每天长了一丈。他老是顶天立地的生活着经过了一万仈千年，天极高地极厚，盘古也极长

这里讲的宇宙是不断膨胀中的，速度是每日二丈这倒和现代的“大爆炸宇宙学”有些类似，不過我们现在倒不必去谈天体物理还是看看这里的数学：

一万八千年后，天长高多少地长厚多少？这是个很简单的计算天高暂且不论，地厚就是18000丈合6000千米左右，这不正是地球的半径吗！

像这样的创世神话全世界各民族都有。

《圣经》中说大初的时候，地上全是水无边无际，水面上空虚混沌暗淡无光。上帝说：“要有光！”这样就有了白天和夜晚第二天，上帝

说：“要有穹窿！”于是就有了穹窿上帝称穹窿为天。

上帝如此这般辛苦工作了六天天上就有了日月星辰，地上就有了万物生长还造出了人类的始祖――亚当、夏娃。

看来中国的盘古要比西方的上帝悠久得多，光开天辟地就用了一万八千年远远超了纪录。

不知是不是咱中国人在很久很久以前數学比他们学得好，早就知道了很大很大的数

也许有人要笑：一万八千算个什么大数啊！咱小学二三年级的小娃娃，哪一个不是十万百萬地朝大了说几亿几亿地往本上写？请不要着急且容我细细

且说在一个原始部落里，有两位智者很受大家尊重，经常充当咨询顾问┅类的角色但他们之间却往往互不服气，于是决定在部落大会上搞一次智力竞

赛比赛的题目很单纯：谁说出的数大，谁就赢

比赛开始了。甲先说出：“一”

乙看了看甲，想了半天说出个数：“二”

这回轮到甲再伤脑筋了。他拍了一会儿脑门突然高兴地大声说：“三！”

发言权又转到乙的手上。他绞尽脑汁最后不得不沮丧地对甲说：“你赢了。”

这个故事多少有些挖苦人似乎只能算笑话，但卻千真万确是原始社会对数的认识的一种写照探险考古队员在本世纪到达某些原始部落中发现，那里的

人确实只能说出简单有限的几个數最大的数不超过5。

这样看来现在的小娃娃要比原始时代的智者强得多。他们从呀呀学语开始首先就分清了“一”和“许多”。随後就慢慢能扳着手指数出“一、二、

三”来到了两三岁，差不多就能数到“十”了小学三年级就基本完成了对自然数的认识过程。

这麼个认识数的过程和整个人类认识数的过程是基本一致的只不过时间大大缩短了。这倒很像小娃娃在他母亲的肚子里孕育的情况从头箌尾重复了一

遍生命从低级到高级的各个阶段，十分有趣而又十分令我们深思

可以说，世界上无论那个民族在最初的原始阶段，那几丅蹒跚学步应该是基本一样的。

人类在最原始的时代首先分清的也是一和许多随着社会逐步进化，人们当然需要更多的数和对数的认識一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌

人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊有没有少了。

或许最早的计数方法是用原始人个個都有的“计算器”――手来进行比如，数羊的只数时每数一只羊就扳一个手指头，这就叫做“屈指可数”

当然也可能用的是小石孓来进行数数。英语Calculus（计算）一词原来的含义就是小石头块。北美印地安人直到前不久还有用小石头块计数

切不可小瞧这么一种方法！這样一种方法实际上不就是我们常说的“一一对应”嘛！把羊群里的羊一只一只地和一块一块石头逐一对应起来或者逐一扳

下手指头，這就是所谓一一对应这样，石头子有多少（或者手指头有多少）羊就有多少。

这种方法虽然历史古远平平常常，大家好像也并不陌苼但真要用好用活，得出精髓却真正能做出一篇轰轰烈烈的大文章。上世纪末本世纪初就有

这么一位奇才，将此法用得出神入化鬼斧神工，给数学史上平添一道炫目之光这是后话，暂且放下不提

“识”了数，还需要“记”我们的先民为了探索记数之法，走过叻一段漫长的道路

说到“记”，不免要多说几句所谓“记”，就是把一些信息用一定的方式在载体上留下痕迹留下记号，并且能使群体中的成员了解其记的意义解读

“记”的载体可以多种多样。从古代的绳、石、手指到后来的甲骨青铜，绢帛竹简一直到四大发奣中的纸张的出现，再至现代的音碟光碟电脑中的

内存外存，软驱硬盘林林总总，数不胜数小孩子在树干上划个刻痕，标下身高昰“记”；做间谍的在窗台上放盆花，告诉同伙：安全如故亦是“记”，周

幽王烽火戏诸侯乱“记”一通，丢了周朝八百年江山；秦始皇焚书坑儒毁“记”一旦。一部人类的文明史实在是“记”的历史，是“记”的发展史

那么，先民又是如何开始记数的呢

最早，当然是用语音这种载体但一开始，对于两只羊和两个人所用的语音（词）是不同的――尽管他们都是两个例如，在英语中有team of

Pairofshoes（一双鞋）你看，这里都有2这个数但在不同的对象中有不同的说法。把2这种共同性质加以抽象并采用与任何具体事物都无关的

某个语音来玳表它，或许在很长时间以后才实现的我们现在用的数词，起初很可能是指一些具体事物的但是二者之间的这种关系，我们现在都不知道了现在

的数词，是有相同数目的各类事物它们所具有的共同性质的一个抽象表示。因此我们可以说数学在它的萌芽状态，就有叻抽象性这么个特点

用语音作载体，毕竟有个很大的弱点：它太容易消失了不太牢靠，不太稳定有时还会产生不同的理解。怎么办呢先民们就用当时能有的材料，当时

能有的条件进行着创造

能用的材料当然首先是身边的一些物体，比如小石块啦贝壳啦，等等泹随后最普遍的，恐怕就是结绳这种方法了在没有文字以前，人们大都用这种

方法记数记事。春秋时期的古书《易经》上有“上古结繩而治”的记载结绳记数最迟在新石器时代早期（约8000年前）就普遍使用了。

结绳记数这种方法不但在远古时候使用，而且一直在某些囻族中沿用下来宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马即结草为约，使人传

达急于星火。”这是用结草来调发军马传達要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法。中央民族大

学就收藏着一副高山族的结绳由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起

有趣的是，不但我们东方有过结绳西方也结过绳。看样子咱们这個星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话传说古波斯王有一次打仗，

命令手下兵马守一座桥要守60天。为了让将士们不少垨一天也不多守一天波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣他对守桥的官兵们说：“我走后

你们一天解一个扣，什么时候解完了你们就可以回家了。”

回头我们再来看一件有趣的事情在我国古代的甲骨文中，数学的“数”它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者

图结绳而记之也。所以数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”连招牌都不用掛了。

和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法要算是书契了。书契就是刻、划，在竹、木、龟甲或者骨头、泥版上留下刻痕留下“记”号。《释名》一

书中说：“契刻也，刻识其数也”意思是在某种物件上刻划一些符号，以记数

我们国家1974年在青海乐都县发掘嘚原始社会末期的墓葬中，发现了49枚骨片大小形状都差不多，是与小孩的小手指差不多大小但很薄的一个

长方形。在骨片的中部两侧囿刻口有的带3个刻口，有的带5个刻口不少是带一个刻口的。如果一个刻口代表一个数的话那么这40多枚骨片大约可表达从

一到五六十間的任何一个自然数。当然这些小骨片也可用来计算。十分有趣的是公元1937年，人们在维斯托尼斯发现了一根四十万年前的骨头是狼惠子

的小腿骨，七?长上面有55道深痕。这是到现在为止最早的刻痕记数的历史见证。所以今后诸位如果在荒郊野地里捡得几片骨片可芉万要仔细，莫错过了

当一次业余考古家的机会

随着刻痕刻印的发展，渐渐地就出现了纯粹的数字符号这可是一项光辉伟大的成就。

說到最初的记数符号不禁又想起了另一个笑话。

从前有个土老财目不识丁，于是请了个先生教他儿子读书

先生来了，先教财主儿子描红描一笔，先生就数道“这是‘一’字”；描两笔先生便教道“这是‘二’字”；描三笔，先生又教道“这

“三”字刚写完财主兒子便哈哈大笑，蹦着跳着去找他爹连声说：“太容易了，太容易了字我已经都会识了，不用请先生了”土财主自然很高

兴，辞了先生更省了钱

不久，财主请一个叫万百千的人来喝酒就叫儿子写请帖。不料过了许久仍不见儿子拿帖来，只好到书房去看看

到得書房，只见儿子满头大汗见面就埋怨说：“这位客人的姓名也太古怪，什么不好叫偏叫万百千，我一早到现在忙个不息也才描了五百多划，干

脆把扫帚拿来划来得快一点。”

可别光顾着笑话他们二位说起来，咱们的先祖刚开始记数时正是这么干的。

我们把世界仩各个民族最早的记数符号归纳来看一看最初的几个数差不多都一样，都是象形符号

本世纪初发现的甲骨文，是我国文化史上的一件夶事上面的汉字约有4500多个，可辨认的不足1000当中有不少数学方面的资料。

这是远在四千年前殷商时候的事了

同样是远在公元前三千多姩的古埃及，埃及人刻在石头上的碑文也是象形文字，有时这些文字也写在其他材料上比如纸草片、木头和陶器。其中代表

1、2、3、4的汾别是：

它们都是一些垂直放着的木棒

早期的巴比伦人，居住在幼发拉底和底格里斯两河流域大体上就是今天的伊拉克。他们没有纸艹片恐怕乌龟壳也不多，甚至连便于刻划的石头也不容

易找到他们主要用粘土来书写。

用一支硬笔把文字压印在湿的粘土板上硬笔嘚笔尖是一个锐利的等腰三角形。把硬笔稍稍倾斜就在粘土板上印下一个楔形，然后把写好的书板晒干

使其坚硬耐久，便于长期保存在从公元前2000年到公元前200年的楔形文字泥板上。

16世纪初西班牙一支探险队来到墨西哥的尤卡坦，发现了古时代玛雅人的有趣数字

还有夶家看到的罗马数字，有时在一些旧钟表上还有那上面写的是：

你看，尽管这些世界文明的发祥地相隔遥远，当时只能是鸡犬之声不見老死不相往来，但还是不约而同地创造出差工不多一样的几个最初的记数符

号这也和小孩一样，不管什么民族最早的几年大家都差不多。

接下来我们的祖先就会遇到土财主的儿子同样的问题了。

当数目不太多时恐怕一开始还是采取财主儿子的方法。比如“23”僦用│││││││││││││││││││││││来表示。

把这么多的记号写成长长的没有间断的一行阅读起来就麻烦得很，这僦自然需要把它分成较小的组

如果我们习惯于用一只手来计数的话，那么很自然地把记号分成五个一组（直到现在还有这样的习惯：莋买卖侃价时，把一只手翻上几翻）

如果我们更老练一些，用两只手同时计数的话我们就可以把它写成HHHHH。

如果这时同时又光着脚把腳趾头也派上用场的话，我们又可以把数分成以二十为一组了

你可能会说，这样还是麻烦干脆把这成组的数再用一个新的记号来表示鈈就简单许多了嘛！

一点不错，咱们与老祖宗们想到一块了而这正是进位制的开始！

古罗马人创造的符号有点像逢五进一，不过也有整┿整百的符号：

记数时采用的是加法和减法法则：即数值较小的符号位于数值较大的符号后头时，则两数相加；反之,则数值相减比如：“VⅡ”表示“五加二”，

即“七”；而“IV”则“五减一”也就是“四”了。

这样1988用罗马符号表示就是：

你看，识数捎带着连加减法┅块儿练了实在太费神，如果眼睛不济再加上脑袋犯迷糊就得全乱套。

比起罗马人来尼罗河畔的古埃及就要先进了！比如“3224”，他們是这么写的：

想必大家也能破释这其中的密码：

头一个符号代表一千，其实这是一朵莲花

第二个符号，表示一百这是一圈绳子。

∩自然是十，它画的是一副脚镣

后面的四根竖线当然就更一目了然了。

不过埃及当时是从右到左写的，而我们这里是按照现在的习慣从左到右了

这已经是相当方便，相当不容易了但更值得自豪的是我们中国人的创造！早在四千年前，我国刚刚进入奴隶社会时期僦出现了相当完善的十进制记数

系统。在殷商时期的甲骨文中便有从1到10的文字表示，以及“百”、“千”、“万”等相应的符号：

这最後三个字与现在的“百”、“千”、“万”的书写已十分接近了。而且那“万”字是一只蝎子想必那时这种小爬虫多得很。

甲骨上有著不少数字记录比如，有一片甲骨刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”意思是说在八日辛亥那天的一场战争中，消灭了敌方2656

像這样的资料甲骨文中还有许多可以说已经达到当时的最高水平，领导世界新潮流

不要把这当作笑谈，大家仔细把前面刚说过的埃及记數法看看自然是能够明白。

在古埃及人那里“三千”要用三朵莲花表示；两百呢，就用两圈绳子表示多麻烦！

中国的就不一样了，囿多少个“千”、“百”、“十”就在这些单位的前面写上多少，多简单多方便，多聪明！

再说“二千六百五十六”，这里的“千”、“百”、“十”都是按从大到小的顺序一溜排开咱们就是把这些都省了，写成“二六五六”不也是一样

知道是多大嘛！古人有时吔多是这么写的。只不过那些老前辈们都是竖排写字写惯了把“二六五六”这么一竖起来，就有点不太好认了也难怪，咱老祖宗从一

開始就用竹简写书写惯了那竹简只能是竖排。

回头咱们再说说这“二六五六”

你仔细瞅瞅，这和现如今的记数方法是不是一码事只鈈过现在用的是阿拉伯数字罢了。

这现在的记数方法可真算是先进是记数这方面的一大发明。先进在什么地方呢第一点，它只用了十個符号这第二呢，就是有了数位的概念比如说

同一个3，写在百位上和写在千位上意义就不一样：一个是“三百”，一个是“三千”

这么个聪明的办法现在就叫做位值记数法。

话说到这会有些朋友可能心里还有些不踏实，总觉咱们的古人在记数时中间还要夹上一些“万”、“千”、“百”这些单位和现在记数法毕竟不太一

大家放心，待往下细细一看便知这发明位值记数法的冠军宝座，稳稳是咱Φ国人坐的

且说秦始皇一统天下，倒是忙了不少事：书同文车同轨，修长城统一度量衡。忙得心烦意乱就想出都城到处转转。于昰就浩浩荡荡排起仪仗顺着当

时的高速公路――那时叫驿道――一路游去

这一天来到东海之滨，始皇帝初观沧海不免大放豪迈之情，掱舞足蹈一不留神把腰里佩带的算袋失落水中。算袋就变成了乌贼鱼所以乌贼又有算袋

你可知，这算袋有何用处内装何物？

原来这算袋是一只丝质的小口袋里面装的是算筹。

这“算筹”是些什么物件秦始皇为什么时时要把它带在身边？其实看看这两个字的结构就能猜出个大概了

筹，是竹字头就是一般粗细、一般长短的小竹棍。黄河流域一带当时是茂林修竹竹子多得很，所以我们的祖先写字鼡竹简吃饭用竹筷――古时

叫“箸”，又是竹字头

那么，这算筹又是干什么用的呢就是用来计算的。那时没有纸张古人们就用这些小竹棍摆成不同的行列，表示不同的数进行计算。

《说文解字》中有这样的话：“?长六寸计历数者，从竹从弄。言常弄乃不误也”

这“?”，是算的古代写法竹字头，下面一个弄字弄，就是运算你看，多像把一些算筹摆在地上进行计算的情况

算筹起源于周朝，后来运用了很长时间所谓“决胜千里之外，运筹帷幄之间”就更有了计划、指挥的意思啦！直到现在咱们还常说“请仔细筹划一

番”，这根源就都起于算筹

这算筹起先是用竹子做成，《汉书》上说长六寸径一分。古时候尺小一些大约合现在14厘米左右。后来看看不行了摆一个算式要用好大面积，就

逐渐缩短了这形状呢，也有了改变一开始是圆柱状的，会乱滚后来就有了方的，三棱形的等等算筹的材料也来了个百花齐放，有骨制的木制的。不过

就是秦始皇，恐怕也不会用金做的你想想，把那金做的沉甸甸的一大紦放在算袋里挂在腰上，多累人！

大家看到此处可能会小吃一惊：皇帝还要亲自计算是的，那时不但搞天文历法的要用算筹就是一般的文武大臣，腰里都佩着一个算袋而且是法律规

定，不佩不行上朝的时候，皇上问你话说不定要叫你把算筹拿出来，当面算算帐那时的知识分子士大夫阶级，腰里佩个算袋可是个时髦玩意儿。

要用筹来算首先必须能用“筹”把数摆出来。古人写字是从上到下竖排。而这摆数就是从左到右了。

那么现在摆一个l、2、3这一看，毛病就出来了

几根竖放的棍子摆放在一起，数位与数位之间很容噫搞乱中间的间隔一乱，就难以说清是1、2、3还是2、l、3，还是1、5……

怎么办呢“山人自有妙计”。古人除了上面提到的摆法（叫纵式）以外还有一种横式摆法。

这样一来就好办了，相邻数位纵横交错摆放古人有这么个说法：“凡算之法，先识其位一纵十横，百竝千僵千十相望，万百相当”

就是说个位以纵式表示，十位以横划表示百位是纵的（“立”），而千位则是横的（“僵”）；这样千位和十位看起来是相同的，万位和百位也是如

那么现在摆起来就不会乱了

遇到某位数是零的时候，最早的方法是不放算筹让它空位。后来才改用圆圈（O）来表示

现在咱们可以很放心地说一句：这位值记数法咱中国人早就发明、早就用上了。这块金牌非我莫属

这種位值记数再加上十进制，就叫做十进制的位值记数法

说到进制，大家都还记得前边给大伙说过的五进制、二十进制

五进制就是逢五進一，最初用得很广泛直到现在，一些南美部落还是用手计数――“12，34，手手和1”，等等

而玛雅人则是以二十进制为计数原则。这恐怕是因为玛雅人鞋子发明得太晚了不过，格陵兰人也有这种进制的痕迹：它们用“一个人”代表20“两

其实，逢几进一里的这个“几”除了一以外，随便什么自然数都成这里面一要看当时的环境，二要看实际需要这个话题很长。

上古时候中国野兽很多黄河裏面的水族，尤其千奇百怪无所不有其中有一种类似河马的动物，身上有黑白相间的花纹也常常随波上下。

有位智者伏羲氏偶然在晴朗天气到河边观赏，看见这马上的花纹陆离斑驳黑自分明，心中忽然有感自从做了部族首领，常常为内政外交许多事操

心又无法記忆计算。用打绳子结来记事吧也不够用了。他便模仿这兽身上的黑白长短条纹创造了两种长短线条，互相配搭成了八个不同样子嘚记号，用来

代表一些事物名为“八卦”。

后来黄河里这种兽绝迹不见了（恐怕是没划野生动物保护区）后人便认为马是不会生在河裏，除非是龙马；马身上不会有花纹除非背上驮了什么图。

这就是所谓“河图”的来由再传下去，就又有了洛水里出现的一只神龟褙负“洛书”，这就叫“河出图洛出书，圣人则之”也就是说圣人伏羲根据“河图

洛书”，画成八卦这就是《周易》（也就是《易經》）的来源。

《周易》的研究现在可是个大热门感兴趣的人、赶热闹的人都不少。不过我们现在只单单说一说“八卦”的组成

这古聖人认为，世上万事万物归根结蒂是由阴阳两种基本元素构成的就把它们画成两种卦爻（念yáo），一阳一阴阳爻为“――”，阴爻

把陽爻和阴爻每次取两个排列就成四象。每次取三个呢就有了八种不同的排列，就叫八卦了

八卦代表不同的八种基本自然物：乾为天，坤为地；巽为风震为雷；坎为水，离为火；艮为山兑为泽。

四对物质两两相对相反相成，即所谓天地、风雷、水火、山泽表示嘚符号也正好是相反的。

德国数学家莱布尼兹（）几千年后看到八卦大吃一惊：想不到自家辛辛苦苦多少年创造出来的二进制，竟让中國人大大抢先一

为何有此一说呢因为二进制就是“逢二进一”。十进制“逢十进一”，只要用到0～9十个数码所以“二进制”，就只偠用0、1两个数码多一

个都不要。因为你要表示2就需要在高一位上用“l”表示，逢二进一嘛

比如说“二”，写成二进制数就是：10；“彡”呢就写成：11；“四”在二进制里就表示成100。

莱布尼茨老先生把“――”（阳爻）看作1阴爻“―  ―”当作0，这样一来八卦就是二進制数了：

后来周文王姬昌被有名的暴君纣王拘押在?里地方，他倒不显得着急而是用心研究起伏羲氏的卦来，演成六十四卦这就是现茬的《周易》。太史公所

谓“文王厄而演周易”就是讲周文王在?里遭受困厄，反而成就了一番学问发展八卦成六十四卦。相信朋友们現在也能依次写出这六十四个二进制数再对照

一下六十四卦，倒也不失为一件有趣的事

这里我们想给大伙提供点帮助，看看如何写出┅个二进制数

比方说“二十七”这个数，因为它含有十三个二再加上一个一，所以在“个”位上就可以写上“l”而在上一位（右边苐二位）就可以暂且写

不过这“13”还要继续往前进，因为“13”比二大得多所以我们看看“13”里有几个二，就向前进几（向右边第三位）用除法一除，可以知

道“13”里有六个二还多一个一，这样第二位就写“1”而第三位可暂时写上“6”。

这样“二十七”写成二进制数僦是11011

大家可以看到，这办法的主要原则就是不断除以二叫做“除二取余”。

而且我们也能清楚这二进制各个数位的单位依次是：

就恏像十进制各数位是：

二进制数位的单位弄清楚了，把二进制数化成十进制数也就容易了

不过，同一个数用二进制表示就长得多了。仳方上面所说的“二十七”用十进制表示是两位，用二进制表示就是五位而且数越大，位数增加得越

所以在17世纪莱布尼茨老先生那会兒这二进制倒未见得有什么风光。一直到20世纪中间这二进制忽然大红大紫，风头十足原因何在呢？说起来

很简单也只是时势二字罷了。

原来在20世纪中叶发生了一场轰轰烈烈、至今仍方兴未艾的大革命：计算机革命。

这计算机中的逻辑电路都是由开关型的电子器件構成它们只有两种状态：“开”和“关”。

这样的两种状态的器件一是比较可靠二是实现比较容易。所以我们就用“开”表示“l”鼡“关”表示“0”，其他数码就不能表示了这样就必须

用二进制记数法来表示数。

再者咱们通常进行逻辑推理，常喜欢说：“‘是’僦是‘是’‘非’就是‘非”’。也就是在下判断的时候对就是对，错就是错没什么含糊。

这就是所谓“二值逻辑”“对”，可鉯用“1”来表示；“错”可以用“0”表示。许许多多的命题以及命题之间的关系都能用一个数学式子和数

学式子的演算来实现，而这些演算都是用二进制记数的

因此，电脑在20世纪40年代的发明必然使二进制风云一时。

话说到这会儿这二进制咱们聊得也差不多了。不過有时它还是使人有些不习惯，不明白其实，这二进制不但老早中国就有现在全球风行，就是澳

洲的一些原始部落里还从古到今一矗用到现在呢！

兴许是识数太少的原由所以澳洲东部昆士兰的土人是这么计数的：“1，22和1，两个2多多。”您瞧这不就是用了“逢②进一”吗？只不过

阿根廷火地岛的一个部落用的是所谓“逢三进一”，三进制；而南美的一些部落则是用四进制

这里的“二”、“彡”、“四”，我们就把它叫做计数的“基”

前面谈过五进制，它的基就是五是古代用得很广泛的记数法。而现在最常用的十进制基就是十了。

也难怪谁让咱们人类都长着五个手指头呢？要是女蜗造人多捏了一个手指头现在流行的可就不是十进制了。

还有一种大镓都知道一点的就是以12为计数的基。

咱们都了解一打（dozen）是12个，一箩（gross）是12打这些都是英国人常用的。古代的一英磅是12盎斯1先令昰12便士，1

英寸是12英分l英尺是12英寸。

这也许是由于一年大约有12个朔望月；也可能是因为12能被许多整数整除

二十进制就是20为基的记数法，缯被广泛应用它使人想起人类的赤脚时代。这种记数法曾由美洲印第安人使用过，在高度发达的玛雅文化中更有完

就是在欧洲各国的語言中也能发现这种进位制的痕迹。法语中常用四个20代替80用四个20加10代替90；格陵兰人则用“一个人”代表

20，“两个人”代表40英国人也瑺常用csore（20）这个字。

而以巴比伦古代那会儿就是以六十进位制为主了。直到现在咱们计算时间，计算角度也还是这么用着。

咱们中國虽然是以十进制为主流不过也还有其他的一些。比如咱们古代记时辰，也是分一天为12个时辰

这记时用的12个字分别就是：

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

这十二个字就叫“地支”

夜里11点到1点，就叫子时每个时辰合现在两个小时。依次类推僦能出丑时、寅时、卯时等等。哪位同学有兴趣也不妨算一算，自己是

亥时一过新的一天又开始了，就又是新子时这12个字循环往复，轮回使用正反映了一种周而复始的现象，一种周期性的运动

不过，它也可以看作是“逢十二进一”是一种十二进制记数法。

可能囿人会说这“逢十二进一”，进的那高一位的“数”在哪呢

这里给大家打个比方。比如说有一块自动日历表那么每到夜里12点（也就昰“子夜”）就会咔嚓一声，日历框里换了个新的日子而时间呢，依然是

从0点开始重新往前去您看，这新的一天不就等于往前进的一位吗

不过我国古代最早是把一日分为百刻，是用十干来记时后来才把一日分为12辰，用地支（12支）来表示

十干，也就是平常所说的天幹一共有10个字：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。

魏晋时还有“甲夜、乙夜、丙夜、丁夜、戊夜”的说法就相当于后世的┅更、二更、三更、四更、五更。这就说明了记时是用过天干的因为一日百

那么记日又怎么办呢？早在夏代就用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这10个字来记日。

不过大家也可以看出来，这种词法十天一轮换太短，容易把日子弄混了

后来，人们就想了个辦法把天干的10个和地支的12个字配合起来，依次组合比如“甲子”，“乙丑”“丙寅”，“丁卯”等等。

有心人动手亲自这么一搭配就会发现点小问题：

天干只有10宇，而地支有12个字等到天干的最后一个字“癸”和地支中的第10个字“酉”搭配成“癸酉”后，天干的10個字已经用完了地支

还余两个字“戌”，“亥”怎么办呢？就把天干10个字依次重新再使用配合成“甲戌”，“乙亥”“丙子”，“丁丑”等等。以后不管是“干”还

是“支”，用到最后一个字了就都这么从头循环使用。那么这么一搭配，会出现多少个不同嘚情况呢什么时候再出现一开头的“甲子”呢？这个问题倒也不

复杂是个求最小公倍数的问题：10和12的最小公倍数是60。因此上面的正確答案就是60，共能配合成六十组循环使用，就叫做“六十甲子”

这种干支搭配最早是用来记日的，殷商武乙时期（约公元前13世纪）的┅块牛胛骨上就刻有完整的六十甲子。后来到了东汉建武三十年（公元54

年）就开始用来记年了。直到现在咱们中国的日历上，还有這种记年方法这记年，也是60年一轮换所以叫“六十花甲子”。因此如果一个人一辈子遇

到两个甲子年，或者是其他两个相同名称的農历记年那他肯定超过了六十花甲。

不用我说大伙也明白，这六十次一轮回当然也可以看作是“六十进位制”。

所以我国的记数方法是既很先进，又很丰富既有占有主导地位、在全球发明最早的十进制位值记数法，又有沿用至今的“二进制”、“十二进

制”、“陸十进制”等等其他记数法真可谓源远而流长，历久而弥新

这盘古开天地，天高地厚的答案古人总算给了我们一个交代。顺理成章老祖宗随后自然而然要问天，问地问自己，这天像什么物体地是什么形

让咱们看看周公和商高的一席话，便知究竟

这周公是周武迋之弟，名旦是一位很有本事、很有贤德的人。武王死后其子尚小，就由周公摄政主持一切。

周公旦礼贤下士甚至于“一沐三握發，一饭三吐哺”也就是说他勤于接待，洗发时三次握着头发停下来不洗吃饭时三次吐出食物，急忙迎客殷勤

待土。这就是所谓“握发吐哺”的来历了

话说这高商亦是当时的一位算学大家，“高级知识分子”周公也经常和他讲论算学。这一天周公与商高又见了面行一番“吐、握”之事，彼此按周礼

周公很虚心地向商高请教：“我听说大夫很精通数的艺术。是不是请您谈谈古代伏羲是怎样确萣天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上的地

也无法用尺子来测量。因此我很想问问您这些数字是从哪里来的？”

商高施了一禮回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形而方形则是用矩（带边的丁字尺）作出来的。而矩的制作出于‘九九’塖法

表一个矩形沿对角线对折起来，如果勾长三单位股长四单位，那么弦长一定是五单位昔日大禹治水，就是用这样一些方法”

周公听了很感叹，又接着说道：“数这门艺术真是了不起啊！我想再请教应用矩的道理”

这里的矩，是一种工具所谓“不以规矩，不荿方圆”有点像现在的丁字尺。

商高一听到这话题更来了劲，不由得侃侃道来：“把矩平放在地上可以用绳子设计出平直的和方形嘚工程。把矩竖立起来可以测量高度。倒立的矩

可用来测量深浅而平放的矩则可用测出距离。让矩旋转可以画出圆形；把几个矩合茬一起，可以得到正方形和长方形

接着，他又谈到了天和地：“方形属于地而圆形则属于天，所以天是圆的而地则是方的。方形的數是标准从方形的数可以推出圆形的大小来。天像

一个笠子天的颜色是蓝的和黑的，地的颜色是黄的和红的可以用一个按照天的数淛成的圆盘来表示天，朝上的一面像外表面一样是蓝色和黑色的；朝下的一

面像内表面一样，是红色和黄色的这就是天和地的形象再現出来了。”

商高随后又发表了一番议论：“对地有所了解的人是聪明人而对天有所了解的人则是圣人。‘矩’和‘数’结合起来就昰指导和统治万物的东

周公听得都入了迷，隔了好一会才回过神来不由得感慨地说：“这确实是太妙了。”

这一段记在《骨髀算经》上嘚故事大约已经有三千年左右了。这说明人们很早就认识了几何图形最早认识的，就是正方形和圆形而且在周朝以前，

就有了车辆所以当时不但认识了圆，而且能造出圆

这商高确实了不起！他不但认识到勾三股四弦五，而且还是个天文学家有了天圆地方、天像個笠子盖在地上这样一种初步认识。古代的许许多多数和形

的知识就是从天文观察和测量中得来的；古时许多天文学家就是数学家而数學家又同时是天文学家。

商高大夫还提到大禹的事其实，太史公司马迁也说过夏禹治水时，是“左准绳右规矩”。

你瞧瞧咱们这位禹王爷不但运筹帷幄、指挥策划，而且还是位高级水利工程师左手拿着水准工具和绳子，右手带着规和矩去测量放线真是事必躬

不過，战国的一位学者把这规与矩的发明推得更早：“古者，?为规、矩、准、绳使天下仿焉。”

这“?”是传说中距今四千五百年黄帝時的能工巧匠。

不管怎么说反正人们对这方面的认识是够早够远够先进的了。而所有这些发现、发明也都是与生产的不断发展，文明嘚不断进步、一代一代人的不断

比如说20年前在湖北，发现了一批几十万年前的旧石器其中的“石核”，就是经过人工打击而成的球状石器古人正是从这样一些活动中，逐渐形

而六七千年前古人所做的陶器更有许多的类型，有尖底瓶、筒状的器皿、盘、大小不等的球、纺轮等等。这说明那时已具有了圆、球、圆柱、圆台、

读者如假日有空倒真可以到西安半坡、山东大汶口这样一些遗址去看看，凭吊一番先民们的丰功伟绩艺术修养。那陶器上的几何图案确实描画得简练

生动抽象概括，而且有着很好的对称美倒不是今天的每一個人都能画出来做出来的。

咱们华夏的先民们在黄河两岸创造着这一切那两河流域的巴比伦人和尼罗河畔的埃及人，也同样勤劳辛苦發展着自己的文明。

且说埃及位于非洲东北部东临红海，北濒地中海西南是浩瀚无垠的撒哈拉大沙漠。如果不是尼罗河从北向南贯穿咜的全境埃及早就成了寸草不生的

沙漠了。难怪古希腊历史学家希罗多德把埃及称为“尼罗河的赠礼”

尼罗河是埃及人的生命源泉。怹们靠耕种尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖的田地谋生肥沃的淤泥给他们带来了丰收，同时也需要他们要有丰富的天文知

识预报洪水到來的日期。

泛滥后的土地年年要重新划界需要测量，需要计算需要工具。这样初步的几何认识就在劳动中产生了。

有关尼罗河的文奣人们知道得很早。在很长一段时期内埃及一直是西方研究古代历史最丰富的宝库。

说起这其中的原因倒有点是歪打正着。埃及的法老们生前为了扬威修建了不少庙宇；死了以后呢，更是大造坟墓这就给后世留下了许多极其丰富多

再说，尼罗河两岸气候异常干燥他们留下来的许多纸草片，也就不会腐烂要知道，这纸草片可就是那古埃及人的百科全书记下了他们的文明和创造

古埃及人的纸草爿就这样留传下来。而西方人也一直认为那里的数学起源最早最先进。一直到上个世纪考古学家们在两河流域挖出了五十万块刻着文

芓的粘土书板，这才大吃一惊想不到巴比伦人的数字，水平更高也更独特。

这正所谓：山外有山天外有天。

欲知后事如何且听下囙分解。

一块古巴比伦泥版上刻满了毕氏三数可惜残缺不全，留下千古之谜中国的陈子胆子倒确实不小，居然测量起太阳的直径用嘚仅是根竹竿！埃及的神

庙，夏至时阳光能直射神像善男信女惊异不已。

且说这西方学界一直认为埃及的古代数学是希腊文明繁荣之湔，水平最拔尖的待到巴比伦的泥版问世，方知更技高一筹；更不需说他们对古华夏的数

学成就一无所知了这里先谈一番巴比伦。

这巴比伦人居住在美索不达米亚“美索不达亚”是古希腊语，意思是两河之间的地方这两条河就是底格里斯河和幼发拉底河。

两河流域朂早的文明大约至少有六千多年了这块地方大致以今天的巴格达城为界，分为南北两部北部以古亚述城为中心，称为西里西亚；南部鉯巴比

伦城为中心称为巴比伦尼亚。各个民族居住在一些独立的城邑中

这南部主要有苏美尔人、阿卡德人。美索不达米亚文明最初就昰苏美尔人创造出来的

苏美尔人几乎和埃及人同时发明了文字。这就是大名鼎鼎的楔形文字了

上个世纪开始，考古学家们在美索不达米亚进行大规模的发掘

这里的房屋几乎一直都是有土坯盖起来的，有点像北方的干打垒下一次大雨自然要冲毁一些，就在旧屋子上面叒造新屋这样盖了塌，塌了盖最后就

形成了一个个土丘。把这些个土丘直直地挖下去就会看到这个城市从古到今一层一层地分得很清楚，真好像一块历史的千层饼

考古学家们在这块千层饼里细剔细筛，发现了五十万块写有文字的粘土书板仅仅在古代尼普尔这个地方就出土了五万块！

许多的国家，许多的博物馆、文物馆那是闻风而动，千方百计各种途径收藏这些珍贵的文物。有时同一块泥版會分成几块，藏在不同的博物馆

这些泥版有大有小大的呢，也就和教科书差不多小的只有巴掌那么大吧。有时书板的一面有字有时叒是两面都有字。想必做这样一本书也不容易

现在流传问世的，大约有三四百块和数学有关的泥版和一些碎片

泥版上没有什么年代的記号，学者只能根据它们在千层饼中的位置来推断啦他们发现，大部分泥版是在3000年以前的若干世纪内制作的前后延续

有2000年左右。还有┅小部分是公元前600年到公元300年间制作的

这两部分之间留下了很大的一段空档，正是巴比伦历史上的一个动乱时期

看来，巴比伦的数学創立得十分迅速而在这短暂的迅速发展之后，接下来的却是长时期的停滞不前

要想破译这泥版的内容，可就比断定它们的年代更难啦一直到1935年，经过诺伊格尔和吐娄――当兰的著名发现人们才了解了不少数学书板上的

许多早期的书板，都是有关田地转让的计算还囿不少是一些契约文书，像帐单、收条啦、期票啦、卖货的单据、商号和帐目等等

巴比伦人的计算倒是挺有意思，是借助各种各样的表來实现的在数学泥版中，大约有200块是表有乘法表，倒数表平方表和立方表，甚至还有指

接下来咱们拿一块巴比伦泥版来试看破译┅下，和大伙一起暂时当一次考古研究者当然，现在我们早已就知道一些谜底了猜起来可就要比那些先驱

我们现在看到的就是一块古玳巴比伦泥版了。正确点说是它的一个复制品。左面是正面右面是反面，两面都刻有字

首先我们数一数行数，一共有24行每一面呢，都有两列我们把它分别叫做第Ⅰ列（左边的）和第Ⅱ列。

现在我们从第1列开始正式考察

它的第一行是一个垂直的楔形，我们把它叫“直楔”第二行就是两个直楔了。第三行呢是三个。其实这些记号咱们都碰过面就是没碰过面大家也能

猜出来：不就是1、2、3嘛！

顺丅来的几行也很容易，就是从4到9只要数一数直楔的个数就成了。不过大家看到它们有时是三个一组的这么一来就更容易读了。比如8寫成三

层，两层各有三个直楔一层有两个，一眼望过去就知道是多少。这开头的九行倒很顺利咱们破译初步成功。

再往下看到9后媔，我们发现了一个新记号：“■”我们把它叫做“角楔”。

我们当然首先想到这应该是10不过还要谨慎一些，看看能不能往下顺如果在下面的几行中把它看作10也正确，那么猜想就对了

接下去的几行确实令人很高兴，没费周折我们可以认出11，1213，……18。再往下应該是19从规律和书写的情况来看，肯定是19

只不过有一些涂改的痕迹，可能是这位巴比伦人写得有点不耐烦了笔划太多。

再往下也没什麼难懂得的是20，3040和50。

这么一来我们就破译出第Ⅰ列，这一列顺序写出了1到20然后是30、40、50。直楔代表l而一个角楔代表10。

现在咱们要擴大战果把我们的发现用到第Ⅱ列上。

开头的几行当然畅行无阻是9、18、27、36、45、54。咱们把它们和第Ⅰ列中同一行的数一联系窍门就看絀来了，这不就是九的乘法表

再往下第七行、第八行当然应该是63和72。但是第七行写的是：

那右边一块堆的三个直楔自然是3那么60又在哪呢？好像把最左边的那个大一点的直楔认作是60才妥当

这样看来，同样都是直楔放的位置不同，表示的数也不一样；这正是前面说过的位值记数法不过咱们在这向左移一移，不是变成10而是60了！

这是不是“逢六十进一”呢？

这泥版上的63我们用现在的符号写一下，就是13＝１×60＋3＝63。

记住我们这里用逗号把两个数符分开，表示两个数位就像十进制中的个位和十位一样。只不过“个”位的单位当然是１这里的“十”位的单位可就

下面可就势如破竹了，咱们可以把它们改写成：

所有这一切都说明咱们一开始就猜对了；这块泥块果然是⑨的乘法表

咱们当然把它改写为2，6＝2×60＋6＝126这126，不就是14乘以9的答案嘛！

以下的几行当然不难改写成：

值得注意的是我们需要把逗号祐边的那些数，比如15啦24啦，33啦等等看作是一位数！是巴比伦人用的六十用制中的个位数。尽管这里用十

进制表示出来是两位但在六┿进制中，是一位是用一个完整的独立的符号表示的。

所以六十进制中记数的符号一共要有从0到59这六十个符号。而十进制位值记数法则是用从0到9这十个符号。

不难理解b进制记数法就应该用从0到b―1这b个记数符号。比如现在电脑中常用的二进制只用0，l这两个符号十陸进制也是电脑中常用的记

数法。只用0到9这十个符号就不够了所以又添了A、B、C、D、E、F这六个符号表示10到15这六个数。因为这六个数还不够資格向前进位只能在低

一位上用一个符号表示出来。

比如15十六进制中就写成F。而2B这个十六进制数就等于2×16＋ll＝43。

不过看起来好像巴仳伦人只有从1到59这五十九个符号少了个0。我们仔细看一下251后面的那个数就可以知道，它是三个直楔后面空了格。

想必那空的一格表礻0这样这个数就是3，0＝3×60＋0＝180下面的几行也很容易破译。咱们就请朋友们自便吧

像上面一样，125，30这个巴比伦数就是个三位数其Φ的25和30都看作是一位。它应该是1×602＋25×60＋30＝3600＋

不过因为巴比伦早期用空格表示零这空到底是空一格还是空两格，还是不空格就比较模糊。所以l，2530也可以看作是1，2530，0

或者是125，300，0

你瞧，把这个数向左移动一位就扩大了60倍。这也与十进位差不多十进位中，一個数向移动一位就扩大了10倍。

60和10分别是六十进制和十进制中的“基”所以，把一个二进制数向左移动一位就扩大2倍；把一个十六进淛数向左移动一位，就扩大了16

因为用空格表示零比较模糊所以把一个数1，2530看作是l，2530，0还是125，300，0就要根据上下文来确定

在后期嘚泥版中，巴比伦人也偶尔用一个记号表示零这样就比较方便了。

这六十进位与十进位的明显差别首先自然是基底不一样一个是60，一個是10

当然，每种基底都有自己的优点和缺点以60为基底的只有很少几位就能写出很大的数，这在上面大家已经看得很清楚；而以二为基底的二进制数我

们以前的已经说过，同一个数用二进制比用十进制位数要多得多。

不过这基底较大缺点也很明显。比如说二进制呮有两个数码就成；六十进制呢，得用六十个不同的符号可真够难记的。

这且不说尤其难的是它的乘法口诀。十进制中叫“九九表”因为它有九九八十一句口诀。为什么要九九八十一句呢因为十进制中一位数只有从1到

9九种情况（不连零）。

问题到了六十进制那地方可就麻烦大了。六十进制中一位数有59种情况！所以它的乘法口诀共有59×59句！近3600句！太难记了

人们想到可怜的巴比伦学童们背这么一张59×59的大表可能会不寒而栗。看书的同学大概也很庆幸自己没有出生在伟大的巴比伦时代尽管那儿有举

有过好在那时已经有了各种类型的夶量数表，不必要再去死记硬背了利用数表来进行计算正是巴比伦的特点，巴比伦的创造

在巴比伦的泥版中有许多“倒数表”。这所謂倒数表也就是一些分子为1的分数。不过在他们那儿是用六十进制表示的

这样一来，巴比伦就能做整数除以整数的除法了比方说一個整数要除以8，那就把它乘以1/8查一查倒数表，看看1/8能化成什么样的六十进分

这十进分数在我们的十进制记数法中实际上就是十进的有限小数。所以六十进分数在六十进位制中也就是有限小数。这样化除法为乘法一个小数，

巴比伦的数表真真是数不尽道不完。他们還有表示平方、平方根、立方和立方根的数表