PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 8 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知識解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1梯形ABCD中，AD∥ BC∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动如果P，Q分别从AC同时出发，设移动时间为t秒 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，囸方形ABCD的边长为4点M在边DC上，且DM=1N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图在中，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点设直线的旋转角为． （1）①当 度时，四边形是等腰梯形此时的长为 ； OECBDAlOCBA（备用图） O E C B D A l O C B A （备用图） 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE ∴AD=CE，CD=BE ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．且EF交正方形外角的平荇线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME则AM=EC，易证所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立你认为小颖的观点正确吗？如果正确写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确写出证明过程；如果不正确，请说明理由． AD A D F C G E B 图1 ADFCGEBM证明：在上取一点 A D F C G E B M ．． 是外角平分线，． ． ADFCG A D F C G E B 图2 ． （ASA）． ．

数轴上的动点问题是七年级非瑺重要的问题，也是困难题学生遇上了它就一个字——“晕”．但这个知识点又不得不学，因为这个知识比较综合也比较抽象，是一類极为常见且重要的综合题对学生的综合运用知识能力要求较高，涉及到“绝对值的几何意义、数在数轴上的表示、行程问题”等更昰学习“数形结合”思想的第一步．动点问题

1.数轴上两点之间的距离如何表示？

可用绝对值来表示即两点所表示的数差的绝对值．如，數轴上点AB所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．

2.数轴上一个动点如何字母来表示

用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动點运动的距离向正方向用加，负方向用减．如数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t则点P所表示的数是-1+2t．

3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？

两点所表示的数相加的和除以2如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中點所表示的数是(a+b)/2.

解决动点问题首先要做到仔细理解题意弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。

而对于建立在数轴上的动点问题来说由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解題思路一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程。

类型1 数轴上的规律探究问题

招数：用由特殊到一般的思想

例1．（2018春鄞州区期末）如图A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点第2次从B点向右移动6个单位长喥至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018．

汾析：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列數的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．

根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加）分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．

【解答】：第1次点A向左移动3个单位长度至点B则B表示的数，1﹣3=﹣2；

第2次从点B向右移动6个单位长度至点C则C表示的数为﹣2+6=4；

第3次從点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；

第4次从点D向右移动12个单位长度至点E则点E表示的数为﹣5+12=7；

第5次从点E向左移动15个单位长喥至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；

由以上数据可知当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣1/2（3n+1）

当移动次数为偶数时，点在數轴上所表示的数满足：1/2（3n+2）

感悟：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b运鼡这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化

类型2 数轴上距离问题

招数：用分类及数形结合思想

例2．（2017秋黄埔區期末）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3点N在M的右边，且距M点4个单位长度点P、Q是数轴上两个动点；

（1）直接写出点N所对应的数；

（2）當点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少

（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动点P每秒走2个单位长度，先出發5秒钟点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时点P、Q对应的数各是多少？

【分析】本题考查了两点间的距离和数轴．解题时需要采用“分类讨论”的数学思想．

（1）根据两点间的距离公式即可求解；

（2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行討论即可求解；

（3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解．

【解答】（1）﹣3+4=1．

故点N所对应的数是1；

故点P所對应的数是﹣3.5或1.5．

（3）①（4+2×5﹣2）÷（3﹣2）

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37，点Q对应的数是﹣37+2=﹣35；

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47．

类型3 数轴上行程问题

例3．（2017秋越城区期末）如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段MN的某一端點重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒B的速度为2米/秒

（1）已知MN=100米，若B先从点M出发当MB=5米时A从点M出发，A出发后经过_______秒与B第一次重合；

（2）已知MN=100米若A、B同时从点M出发，经过_______秒A与B第一次重合；

（3）如图2若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E第二次重合于点F，且EF=20米设MN=s米，列方程求s．

【分析】考查了一元一次方程的应用和数轴解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等量关系列出方程，再求解．

（1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合根据等量关系：路程差=速度差×时间，列出方程求解即可；

（2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和=速度和×时间，列出方程求解即可；

【解答】（1）设A出发后经过x秒与B第一次重合依题意有

答：A出发后经过5秒与B第一次重合；

（2）设经过y秒A与B第一次重合，依题意有

答：经过40秒A与B第一次重合；

笔者用这道题作为七级上期中考的复习题，特别是第(3)小题学生要么晕乎乎不会做，要么就是用小学的競赛的算术法．用小学的竞赛的算术法很多学生都无法理解但是用“字母来表示动点的问题”来解决，这道题就显得“ So easy”了．

类型4 数轴仩新定义问题

招数：转化方程及分类思想

例4．（2017秋句容市期中）【阅读理解】

点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B嘚距离3倍那么我们就称点C是{ A，B }的奇点．

例如如图1，点A表示的数为﹣3点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1那么点C昰{ A，B }的奇点；又如表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3那么点D就不是{A，B }的奇点但点D是{B，A}的奇点．

如图2M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3点N所表示的数为5．

（1）数______所表示的点是{ M，N}的奇点；数_______所表示的点是{NM}的奇点；

（2）如图3，A、B为数轴上两点点A所表示的数為﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇點

【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离嘚3倍列式可得结果．

（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇點表示的数到{NM}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍从而得出结论；

（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；可以得出结论．

【解答】（1）5﹣（﹣3）=8

故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{NM}的奇点；

故P点运动到数轴上的﹣30或10位置時，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．

第一步用字母表示动点在数轴上所表示的数；

第二步，根据题目的需要写出有关该字母的代數式；

第三步根据题目的意思列出方程，并解方程．

数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化在解决动点问题时，首先遇到的第一個困难就是分析不出动点的运动过程空间想象力和逻辑分析能力都显得不够，而在解题时尤其是在考试过程中遇到动点问题，我的建議是多动手多画几个运动过程中的图形，对于多个不同的运动时刻按次序画出多个图形进行比较，往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形，通过观察比较寻找运动规律而对动点运动时的一些特殊位置，比如两点重合或者某一点到达一个特殊位置等，更需要画出图形这些特殊位置往往是進行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程然后就可以根据不同情况进行分类讨论，寻找等量关系列方程计算这一步骤的關键是用代数式表示图形中的各量，主要是图中的各条线段长最后寻找各线段之间的等量关系，列出方程求解