等分线需要全等吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-10-25 19:35 标签：

角平分线的作法（尺规作图）

为圓心任意长为半径画弧，交

长为半径画弧两弧交于点

）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何表达：（角嘚平分线上的点到角的两边的距离相等）

）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

几何表达：（到角的两边的距離相等的点在角的平分线上．）

）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合垂直平分线是线段的一条对称轴。垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点到线段两端点嘚距离相等。

经过某一条线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线又称“中垂线”。

1.垂直平分线垂直且平汾其所在线段

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心并且这一点到彡个顶点的距离相等。

1.利用定义：经过某一条线段的中点并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

2.到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

遇到角平分线如何添加辅助线

a、對称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等

图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行線，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看

如图1-1，∠AOC=∠BOC如取OE=OF，并连接DE、DF则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创慥了条件

简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。此题的证明吔可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明自已试一试。

分析：此题的条件中还有角的平分线在证明中还要用到构造全等三角形，此题还昰证明线段的和差倍分问题用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段来证明。试试看可否把短的延长来证明呢

二、角汾线上点向角两边作垂线构全等

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角

分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE则构造出全等三角形，從而得证此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法

分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可也就是证P到AB、AC的距离相等。

三、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形垂足为底边仩的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线嘚线段则延长该线段与角的另一边相交）。

分析：延长CD交AB于点E则可得全等三角形。问题可证

分析：给出了角平分线给出了边上的一點作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交近而构造出等腰三角形。

已知：如图3-3在△ABC中AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B莋BN垂直AD,交AD的延长线于F连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME

分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等

分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=1/2 EC另外由求证的结果AM=1/2 （AB+AC），即2AM=AB+AC也可尝试作△ACM关於CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可

四、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线從而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示

五、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

如图ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°BD平分∠ABC交AC

证明：延长BA，CE交于点F在ΔBEF和ΔBEC中，

注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线

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