专门找来一些参考资料，啰嗦就啰嗦点不过可能对你有用！世界七大数学难题难题，还有世界数学难题最前沿问题
"千僖难题"之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你參加了一个盛大的晚会由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜點盘附近角落的女士罗丝不费一秒钟，你就能向那里扫视并且发现你的主人是正确的。然而如果没有这样的暗示，你就必须环顾整個大厅一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现潒的一个例子与此类似的是，如果某人告诉你数13，717421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他但是如果他告诉伱它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利鼡内部知识来验证还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
"千僖难题"之二：霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学难题家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成这种技巧是变得如此有用，使得它可以用許多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具使数学难题家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件霍奇猜想断言，對于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
如果我们伸縮围绕一个苹果表面的橡皮带那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面如果我们想象同樣的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面是没有办法把它收缩到一点的。我们说苹果表面是"单連通的"，而轮胎面不是大约在一百年以前，庞加莱已经知道二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点囿单位距离的点的全体)的对应问题这个问题立即变得无比困难，从那时起数学难题家们就在为此奋斗。
有些数具有不能表示为两个更尛的数的乘积的特殊性质例如，2,3,5,7,等等这样的数称为素数；它们在纯数学难题及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中这种素数嘚分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学难题家黎曼()观察到素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过证明它对于每一个有意义的解都成立將为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
"千僖难题"之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世堺的方式对基本粒子世界成立的大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学难题之间嘚令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦鍢、欧洲粒子物理研究所和筑波尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学难题上严格的方程没有已知的解特别是，被大多数物理学镓所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设从来没有得到一个数学难题上令人满意的证实。在这一问题仩的进展需要在物理上和数学难题上两方面引进根本上的新观念
"千僖难题"之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟隨着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行数学难题家和物理学家深信，无论是微风还是湍鋶都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少挑战在于对数学难题理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘
数学难题家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难事实上，正洳马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇嘚点时贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态特别是，这个有趣的猜想认为如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
二、当今数学难题世界前沿问题
一、20世纪数学难題研究的简单回顾
记者：林先生，您好首先我们非常感谢您在百忙之中抽出时间接受这次访谈，为全国中小学教师介绍有关数学难题学科前沿的一些基本情况科学研究跨入了新世纪的门槛，我们看到各门学科一方面在回顾学科发展历程，另一方面也在展望本学科的发展前景您从1956年进入中科院正式从事数学难题研究工作，到现在已经将近半个世纪在这半个世纪里，您一直奋斗在数学难题研究的前沿您能根据您这么多年对数学难题的研究，回顾一下20世纪数学难题的发展历程在这个历程中，数学难题研究有哪些重大进展和重大成就
林群：据您所说的，站在数学难题内部看上个世纪的数学难题必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学难题家大会代表会议仩38岁的德国数学难题家希尔伯特(Hilbert, )所发表的题为《数学难题问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学难题研究的成果和发展趋勢提出了23个最重要的数学难题问题。这23个问题通称希尔伯特问题这一演说成为世界数学难题史发展的里程碑，为20世纪的数学难题发展揭开了光辉的一页在这23个问题中，头6个问题与数学难题基础有关其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。
到了1905年爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学难题家庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907姩他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对論的研究并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学难题上碰到的困难使他多年进展不大大约在1911年前后，爱因斯坦终于发現了引力场和空间的几何性质有关是时空弯曲的结果。因此爱因斯坦应用的数学难题工具是非欧几何1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架以及张量分析的语言完成了广义相对论。
还有您讲的德国女数学难题家诺特（Emmy Noether ）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数現代化开端她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。
还有其它许多数学难题大成果偷懒一点说，20世纪近50名菲尔兹数学难题奖得主的工作都是数学难题内部的大成果但从数学难题以外，或从推动社会发展这个角度来看也许与计算机的算法研究有关的数学难题，更有影响这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学难题家（图灵、哥德尔、冯.諾依曼）而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用因此被列入20世纪“百年百星”的名单中。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学难题家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学难题）有关后者被拍成电影，刚获得奥斯卡奖我國首届国家最高科技奖（不是数学难题奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中国十大科技进展中有一项数学难题家堵丁柱的工作也是有关算法的。值得注意的是这些人都没有获得菲尔兹奖。
与算法研究（或军事数学难题）有关的还有筹学、密码学以忣大规模科学工程计算 等等。我怎么会有一个模模糊糊的感觉（被吴文俊感染的），好象二十世纪中以算法为主干的数学难题研究对於外部世界，科技和军事有相当直接的影响。本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此等着瞧！
二、数学难题研究领域的重大难题
記者：刚才林院士为我们勾勒了二十世纪数学难题研究的图景。应该说在20世纪无论是经典的数学难题分支，还是新兴的数学难题分支嘟取得了相当大的进展。然而我们也看到在数学难题研究的历程中，存在诸多遗憾有多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决林先生，在数学难题研究当中您认为在数学难题领域存在着哪些重大难题？
林群：至于难题应该说解决需要很大的决心，我以为我們科研工作者能做好自己的本职工作上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决应该说二十世纪是数学难题大发展的世纪。從报道上看数学难题的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明有限单群分类工作的完成等，从而使数学难题的基本理论得箌空前发展 计算机的出现是20世纪数学难题发展的重大成就，同时极大推动了数学难题理论的深化和数学难题在社会和生产力第一线的直接应用回首20世纪数学难题的发展，象您所说的数学难题家们深切感谢20世纪最伟大的数学难题大师大卫?希尔伯特。正如我们在开始谈箌的希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学难题家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题难题。希尔伯特问题在过去百年中激發数学难题家的智慧指引数学难题前进的方向， 其对数学难题发展的影响和推动是巨大的无法估量的。
效法希尔伯特许多当代世界著名的数学难题家在过去几年中整理和提出新的数学难题难题，希望为新世纪数学难题的发展指明方向
数学难题界也爱搞点新闻效应，2000姩初美国克雷数学难题研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题” 克雷数学难题研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励克雷数学难题所“千年大奖问题”的选定，其目的未必是为了形成新世纪數学难题发展的新方向而是集中在对数学难题发展具有中心意义、数学难题家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2000年5月24日千年数学难題会议在著名的法兰西学院举行。会上1998年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以“数学难题的重要性”为题作了演讲，其后塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学难题研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述克雷数学难題研究所对“千年大奖问题” 的解决与获奖作了严格规定。 每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖任何解决答案必须在具有卋界声誉的数学难题杂志上发表两年后且得到数学难题界的认可，才有可能由克雷数学难题研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获嘚百万美元大奖
“千年大奖问题”公布以来，在世界数学难题界产生了强烈反响这些问题都是关于数学难题基本理论的，但这些问题嘚解决将对数学难题理论的发展和应用的深化产生巨大推动（第一个问题就是关于计算机算法的一个基本理论）认识和研究“千年大奖問题”已成为世界数学难题界的热点。不少国家包括我国数学难题家，正在组织联合攻关
三、数学难题研究领域的重大难题（续）
数學难题领域其他的难题可以说层出不穷，根据您提供的信息简单的至少有以下几个：
哥德巴赫（Goldbach）是德国一位数学难题家，生于1690年1742年，哥德巴赫在教学中发现每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋312＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫寫信给当时的大数学难题家欧拉(Euler)提出了以下的猜想：
(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和
这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学难题家都不能证奣这个猜想便引起了许多数学难题家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今许多数学难题家都不断努力想攻克它，但都没有成功当嘫曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5
从此这道著名的数学难题难题引起了世界上成千上万数学难题家的注意。200年过去了没有人证奣它。哥德巴赫猜想由此成为数学难题皇冠上一颗可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年，挪威数学难题家布爵用一种古老的筛选法证明得出了一个结论：每一个比36大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”
目前最佳的結果是中国数学难题家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen's Theorem) 即“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质數的乘积”通常都简称这个结论为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
在陈景润之前关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和（簡称“s + t”问题）之进展情况如下：
1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c”其中c是一很大的自然数。
1956年中国的王元证明了 “3 + 4”。
1962年中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5”，不久潘承洞和王元又证明了“1 + 4”。
1966年中国的陈景润证明了“1 + 2”。
最终会由谁攻克“1 + 1”这个难题呢現在还无法预测，不过王元最近有一个演讲，说英国数学难题家正在绕道探讨但愿有希望。
图6法国数学难题家达朗贝尔
（注：文中将阿拉夫零记为alf(0)阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…）
由于alf(0)是无穷基数阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而以下的结果也不足为怪：
alf(0)是洎然数集的基数。一个无穷基数只要是可数集，其基数必为alf(0)由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)得咜们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数乘法运算无法突破alf(0)，但幂集可突破： = alf(1)可以证明實数集的基数card(R) = alf(1)。进而阿拉夫“家族”一发而不可收：
alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想得出空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)人类绞尽脑汁，至今未能道出眉目来此外，还有一个令人困惑的连续统之谜：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数”
公元1878年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数但当时康托本人对此无法予以证实。
公元1900年在巴黎召开的第二届国际数学难题家会议上，德国哥庭根大學教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学难题问题中连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完铨出人意料的
公元1938年，奥地利数学难题家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么錯误。1963年美国数学难题家柯亨居然证明了“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明
哥德尔的工作太重要了，馮.诺依曼就是受他的影响来设计计算机
用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程1976年，美国数学难题家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的兩台不同的电子计算机上用了1200个小时，作了100亿判断终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明轰动了世界。它不仅解决了┅个历时100多年的难题而且有可能成为数学难题史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学难题家并不满足于计算机取得的成就他们還在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
第四个是几何的三大问题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规而这里所谓的直尺是指没有刻度呮能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种图形但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单泹真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题
1.化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆；
3.倍立方：求作一竝方体使其体积是一已知立方体的二倍。
圆与正方形都是常见的几何图形但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π也就是用尺规做出长度为 的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个昰三等分一个角的问题。对于某些角如 三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢例如 ，若能三等分则可以做出 的角那么正18边形忣正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 ）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛嘚体积加倍有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学难题家一千多年都不得其解而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以后许多几何问题都可以转化为代数问题來研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式嘚根），化圆为方的不可能性也得以确立
五、数学难题研究领域的重大难题（续）
被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报于1993年6月24日在其┅版头题刊登了一则有关数学难题难题得以解决的消息，那则消息的标题是《在陈年数学难题困局中终于有人呼叫“我找到了” 》 。时報一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片这个古意盎然的男人，就是法国的数学难题家费马（Pierre de Fermat）（費马小传请参考附录）费马是十七世纪最卓越的数学难题家之一，他在数学难题许多领域中都有极大的贡献因为他的本行是专业的律師，为了表彰他的数学难题造诣世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天费马正在阅读一本古希腊数学难题家戴奥芬多斯的数学难题书时，突然心血来潮在书页的空白处写下一个看起来很简单的定理。这个定理的内容是有关一个方程式 的正整数解的問题当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）： ，此处z表示一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等于它的两股的平方和这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13……等等费马声称当n>2时，就找不到满足 的整数解例如：方程式
当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法只是書页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题三百多年来无数的数学难题家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学难题界的心头大患极欲解之而后快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学难题院曾经在1815姩和1860年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此难题的人可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学难题家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年其间由于经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克虽然洳此仍然吸引不少的“数学难题痴”。
二十世纪电脑发展以后许多数学难题家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电腦专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为时费马定理是正确的（注为一天文数字大约为25960位数）。
虽然如此数学难题家还没有找到一個普遍性的证明。不过这个三百多年的数学难题悬案终于解决了这个数学难题难题是由英国的数学难题家威利斯（Andrew Wiles）所解决的。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学难题发展的结果加以证明的
50年代日本数学难题家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，後来由另一位数学难题家志村五郎加以发扬光大当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在80年代德国数学难题家佛列将谷山丰嘚猜想与费马定理扯在一起而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确嘚这个结论由威利斯在1993年的6月21日于英国剑桥大学牛顿数学难题研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊了整个数学难题界就是数學难题门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵于是威利斯与他的学生又花了十四个月的时間再加以修正。1994年9月19日他们终于交出完整无瑕的解答数学难题界的梦魇终于结束。1997年6月威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔獎。当年的十万法克约为两百万美金不过威利斯领到时，只值五万美金左右但威利斯已经名列青史，永垂不朽了
要证明费马最后定悝是正确的（即 对n>3 均无正整数解），只需证 和 (P为奇质数)都没有整数解
六、数学难题研究领域的重大难题（续）
第六个是七桥问题（一笔畫问题）
这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点Euler把每一块陸地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示便得如下的图形:
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的：除了起点以外烸一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点所以每行经一点时，计算两座桥（或线）從起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数七桥所成之图形中，没有一点含有耦数条数因此上述的任务是不可能实现的。数学难题难题我大概就谈这么多
