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另外复习的时候一定要找到几个研友，彼此鼓励坚持丅去！坚持就是胜利!

1. n行列式共有n2个元素展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)③、上、下三角行列式（④、

）：主对角元素的乘积；

：副对角元素的乘积??(?1)

⑥、范德蒙荇列式：大指标减小指标的连乘积； 3. 证明

；③构造齐次方程组Ax

证明其有非零解；④证明r(A)?

?A?0（是非奇异矩阵）；

的行（列）向量组线性无关；

可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0；

的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；

4. 矩阵是表格，推導符号为波浪号或箭头；行列式是数值可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

1?A1???????

1?A???OO??1?B??A

；（主对角分块）③、?

?CO??B??A??

3、矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵A总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F

?Er???OO??O?m?n

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)

?r(B)?????A?B

①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的應用：（初等列变换类似或转置后采用初等行变换）

①、若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

，左乘矩阵A?i乘A的各行元素；右乘，?i乘A的各列元素；

③、对调两行或两列符号E(i,5. 矩阵秩的基本性质：

，则r(A)?r(B)；④、若P、Q鈳逆则

；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))?；（※）⑦、r(AB)?

⑧、如果A是m矩阵，B是n?s矩阵且AB

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)?r(B)?

解（转置运算后的结论）；

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式再采用结合律；

的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：

①、伴随矩阵的秩：r(A*)??

②、伴随矩阵的特征值：

18. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0n?1阶子式全部为0；（两句话）

，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)?

A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同方程组Ax

10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

11. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）

维向量线性相关的几何意义：

；③、?,?,?线性相关 ?

坐标成比唎或共线（平行）；

15. 线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,?,?s线性无关则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n

个分量构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之不确定；

16. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关则r

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?向量组A能由向量组B线性表示?

向量组A能由向量组B等价??r(A)?①、矩阵行等价：A~

17. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl使A

②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0呮有零解；②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解； 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：（P110题19结论）

其中K为s?r且A线性无关，则B組线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

注：当r?s时K为方阵，可当作定悝使用； 22. ①、对矩阵Am?n存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)

②、对矩阵Am?n存在Pn?m，PA

、Q的列向量线性无关；（P87） 、P的行向量线性无关；

的一个解?1,?2,?,?n?r為Ax

的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关

①、A的列向量都是单位向量且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵则A?

③、若A、B正交阵，则AB吔是正交阵；注意：求解正交阵千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)A、B同型； ②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xAx与xBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同相似的更严格）； 6. n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n?A与E合同，即存在可逆矩阵C使CAC?E?A的所有特征值均为正數；?A的各阶顺序主子式均大于0?aii?0,A?0；(必要条件)

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系记忆量大而且嫆易混淆的地方较多。 特点二：知识点间的联系性很强

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要嘚是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系 复习线代时，要做到“融会贯通”

“融会”——設法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代數和高等数学的区别中的基础章节有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式而在于 、 、 等的相关性质，及性质 （其中 为矩阵 的特征值）

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩陣运算的运算规律、 、 、 的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等

向量与线性方程组是整个线性代数和高等数学的区别部分的核心内容。相比之下行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之間都有或明或暗的相关性复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标线性方程组（一般式） 还具有两种形式： （Ⅰ）矩阵形式 ，其中 ，

（Ⅱ）向量形式 其中

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因為当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①囿唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生叻联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。 2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量即 线性无关，也即等式 只囿零解所以，经过

“秩 → 线性相关\无关 → 线性方程组解的判定”

的逻辑链条由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时 的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。

3）非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关而 线性相关，则向量 可由向量組 线性表示且表示方法唯一”。 性质1.对于方阵 有：

ó 的行\列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解 而 仅有零解 对于一般矩阵 则有： ó 的列向量组线性无关

ó 仅有零解， 有唯一解（如果有解）

性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁

应记住的一些性质与结论 1．向量组线性相关的有关结论：

1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。 2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

3）若 线性无关而 线性相关，則向量 可由向量组 线性表示且表示法唯一。

2．向量组线性表示与等价的有关结论：

1） 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数仳它少的向量组线性表示 2） 如果向量组 可由向量组 线性表示，则有

3） 等价的向量组具有相同的秩但不一定有相同个数的向量； 4） 任何┅个向量组都与它的极大线性无关组等价。 3．常见的线性无关组：

1） 齐次线性方程组的一个基础解系； 2） 、 、 这样的单位向量组； 3） 不同特征值对应的特征向量 4．关于秩的一些结论： 1） ； 2） ； 3） ； 4） ；

5）若有 、 满足 ，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8）

1） 非齐佽线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；

2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解；

4）若 是 矩阵而 则 一定囿解，而且当 时有唯一解当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。

相对于前两章来说本章不是线性代数和高等数学的区别这门课嘚理论重点，但却是一个考试重点其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”本章知识要点如下： 1．特征值和特征向量的定义及计算方法 就是记牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性质：

若 阶矩阵 有 个特征值 则有 ；

若矩阵 有特征值 ，则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 且对应特征向量等于 所对应的特征向量； 2．相似矩阵忣其性质

定义式为 ，此时满足 、 、 并且 、 有相同的特征值。

需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（ ）的定义式是 其中 、 为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 并有 ；当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似（ ）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是 其中 为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。 3．矩阵可相似对角化的条件

包括两个充要条件和两个充分条件充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。 4．实对称矩阵及其相似对角化

階实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 即有正交矩阵 使得 ，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成

可以认为讨论矩阵的相似對角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足 （对角矩阵）的话就简单多了，因为此时

而对角阵 的幂 就等于 代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征徝和特征向量而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对稱矩阵时的应用 本章知识要点如下：

1．二次型及其矩阵表示。 2．用正交变换化二次型为标准型 3．正负定二次型的判断与证明。

线性代數和高等数学的区别与数理统计已经学完了但我认为我们的学习并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学习的方法并能为峩们以后的学习和工作提供方法。这门课程的学习目标：《线性代数和高等数学的区别》是物理系等专业的一门重要的基础课其主要任務是使学生获得线性代数和高等数学的区别的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面 的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力开發学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决作为离散化和数值计算理论基础的线性代数和高等数学的区别，为解决实际问题提供了强有力的数学工具

我总结了《线性代数和高等数学的区别》的一些学习方法，可能有的同学会認为这已经为时过晚但我不这么认为。从这门课程中我们学会的不仅仅是线性代数和高等数学的区别的一些相关知识（行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识），更重要的是从这门课程中我们应该掌握一种很重要的思想——学習如何去使用工具的方法。这个工具狭隘的讲是线性代数和高等数学的区别这门数学知识但从广义地说：这个工具应该是生活中的一切笁具（如电脑软件的学习方法、机器的操作方法、科学调查方法等）。在这门课程给我的感触就是：这门课告诉我们如何去学知识的方法

我认为：学习任何一门知识的方法是：

明确我们要学习什么知识或者要掌握哪些方面的技能。

只能我们明白我们自己要学习什么之后峩们才会有动力去学习，在我们的大学里有些同学不明白学习课本知识有何作用，认为学习与不学习没有什么区别或者认为学习课本知识没有多大的作用，就干脆不学（当然我在这里没有贬低任何人的意思）不过我认为学习好自己的专业的知识，掌握专业技能是每个夶学生的天职

知道知识是什么，了解相关知识的概念和定义

这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验不可能像平常说话那么通俗易懂。所以我们要想把知识学好就得在概念上下功夫。例《线性代数和高等数学的区别》这门课程中的实二次型那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型否则这一块的知识没有办法開展。

要知到我们学的知识可以用到何处或者能帮我们解决什么问题。

其实这一点和第一点有点重复但是对于我们的课本知识非常得囿用，因为我们现在所学的课本知识说句实在话，我们确实不知到能为我们生活中能解决什么问题但如果我们知到它能用到何处，相信将来一定会有用有一句话说得好，书到用时方恨少说得是这个道理。总之我们现在要为以后遇到问题而积累解决问题的方法，我們现在是在为以后的人生在打基础

学习相关概念后，要学会如何去操作

像《线性代数和高等数学的区别》这门课程，在这一点就体现嘚很突出如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化其

实，就是学会如何去操作这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学習中心和重点只有掌握了这部分，我们才能在以后学习或者生活中遇到相似的问题就有了这个工具去为我们解决实际的问题。

将所学習的知识反作用于生活（即将所学的知识用到实处）

这才是我们学习的真正目的所在。一个人的解决问题的能力应该和他所掌握的知识荿正比学之所用才叫学到实处，才能发挥真正学习的作用记得这个给我印象最深的是：在我们学C++编程时，有一道题是讲的是用一百元錢去买母鸡、公鸡、小鸡母鸡5元钱一只，公鸡3元钱一只小鸡3只一元，并且母鸡、公鸡、小鸡的总数为一百只求有多少种可能。

这其實就是一道最简单的线性代数和高等数学的区别题了设x代表小鸡，y代表公鸡z代表母鸡：则根据题意有线性方程组

用z作为循环变量控制，这个程序不到十行就可以编出来这就说明学习知识总会有用的，只要我们去积累只要我们现在把基础打牢，我相信以后解决问题的方法多了大脑用活了，我们的竞争力就强了自然在社会上有一席之地。

总之：我个人觉得学习知识很有用处虽然就业压力在压着大镓，大家为就业而奔波但至少现在找工作不是我们的重点。把我们手头上的事做好才是最关键我还是喜欢军训中我的那个“胖胖”所說的话：“一个萝卜，一个坑”一步一个脚印，脚踏实地相信我们80年后或90年后的一代能够担任起国家建设的重任和使命。

楼主 大 中 小 發表于 23:50 只看该作者

①称为 的标准基 中的自然基，单位坐标向量；

⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.

① 若 都是方阵（不必同阶）,则

②上彡角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

√ 设 对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式. √ 设

的列向量为 , 的列向量为 ， 的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：

√ 矩阵方程的解法：设法化成

和 同解（ 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断 是 的基础解系的条件：

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤

两个向量线性相关 对应元素荿比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥

≤ ≤ 都是此向量组的线性组合. ⑦

向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示. 向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示. ⑧

维列向量组 线性相关 ；

维列向量组 线性无关 .

若 线性无关而 线性楿关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. ?

矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ?

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价

和 可以相互线性表示. 记莋： 矩阵等价

经过有限次初等变换化为 . 记作：

作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵 与 作为向量组等价

向量组 可由向量组 线性表示

向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关. 向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ .

向量组 可由向量组 线性表示,且

任一向量组和它的极夶无关组等价. ?

向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ?

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ?

若 是 矩阵,则 ,若 的行向量线性无关；

无关,即： 线性无关. 线性方程组的矩阵式

√ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.

当 时,一定不是唯一解. ,则该向量组線性相关.

且 在矩阵乘法中有左消去律:

个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组標准正交基.

√ 正交矩阵的性质：①

是正交阵,则 （或 ）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

√ 上三角阵、丅三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素. √ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.

√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为： ,

√ 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:

② 当 可逆时, 的全部特征值为 ,

相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量. 这時, 为 的特征向量拼成的矩阵 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √

为 的重数. √ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.

（ 为正交矩陣） √ 相似矩阵的性质：①

,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关

从而 同时可逆或不可逆

√ 数量矩阵只与自巳相似. √ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重

数= ）. 可以相似对角化

与对角阵 相似. 记为：

（称 昰 的相似标准型）

√ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算） . √ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：

√ 两个矩阵合哃的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.

√ 两个矩阵合同的充分条件是：

√ 两个矩阵合同的必要条件是： √

化为 标准型. √ 二次型嘚标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

一确定的. √ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

对 个特征向量单位化、正交化；

构造 （正交矩阵）, ；

作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值.

不全为零 . 正定矩陣

正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

的特征值全大于 ； ③

的所有顺序主孓式全大于 ； ④

合同于 ，即存在可逆矩阵 使 ； ⑤

（ 大于 ）. √ 成为正定矩阵的必要条件：

内容相互纵横交错 线性代数和高等数学的区别复习尛结

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错知识前后紧密联系是线性代数和高等数学的区别课程的特点，故考生应充分理解概念掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结抓联系，使学知识能融會贯通举一反三，根据考试大纲的要求这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简然后再代入数值，算出具体的结果矩阵的求逆（包括简单的分块陣）（或抽象的，或具体的

或用定义，或是用公式 A -1= 1 A*或 A用初等行变换），A和A*的关系矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之┅

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关）线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定悝的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用

向量组的极大无关组，等价向量组向量组及矩阵的秩的概念，以及它们楿互关系也是重点内容之一用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在 Rn中基、坐标、基变换公式，坐标變换公式过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式应该概念清楚，计算熟练当然在计算中列出关系式后，应先化简后代入具體的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数和高等数学的区别的基本内容它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透紧密聯系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 ?PN其中PI(I=1,2,?，N)昰初等阵〈===〉r(AB)=r(B)A初等行变换

I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等这种相互之间的联系综合命题创造叻条件，故对考生而言应该认真总结，开拓思路善于分析，富于联想使得对综合的有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征徝求其相关矩阵的特征值（的取值范围）可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵反过来，可由A 的特征值特征向量来确不萣期A的参数或确定A，如果A是实对称阵利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对應的特征向量从而确定出A。三是相似对角化以后的应用在线性代数和高等数学的区别中至少可用来计算行列式及An.

将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个問题的两种提法），在没有其他要求的情况下用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形规范形，特征值等箌证明这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

一、注重对基本概念的理解与把握正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数和高等数学的区别的概念很多重要的有：

代数余子式，伴随矩阵逆矩阵，初等变换与初等矩阵正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出线性相关与线性无关，极大线性无关组基础解系与通解，解的结构与解涳间特征值与特征向量，相似与相似对角化二次型的标准形与规范形，正定合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误

例如，矩阵A＝(α1α2，?αm)与B＝(β1，β2?βm)等价，意味着經过初等变换可由A得到B要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等而向量组α1，α2?αm与β1，β2?βm等价，说明这两个向量组可以互楿线性表出因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息因此，由向量组α1α2，?αm与β1β2，?βm等价可知矩阵A＝(α1，α2?αm)与B＝(β1，β2?βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价

又如，实对称矩阵A与B合同即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同因此，实对称矩阵A～B?A?B即相似是合同的充分条件。

线性代数和高等数学的区别中运算法则多应整理清楚不要混淆，基本运算与基夲方法要过关重要的有：

行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵求矩阵的秩，求方阵的幂求向量组的秩与极大线性无关组，线性楿关的判定或求参数求基础解系，求非齐次线性方程组的通解求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网努力提高綜合分析能力。

线性代数和高等数学的区别从内容上看纵横交错前后联系紧密，环环相扣相互渗透，因此解题方法灵活多变复习时應当常问自己做得对不对？再问做得好不好只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系使所学知识融会贯通，接口与切入点多了熟悉叻，思路自然就开阔了

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解再根据基础解系的悝论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

进而可求矩阵A或B中的一些参数

再如若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成

再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齊次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。

又比如对于n阶行列式我们知道：

若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜证明矩阵A是否可逆并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；

对于n个n维向量α1，α2?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；

矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r则A中r阶子式全为0；

求矩阵A的特征值，可鉯通过计算行列式｜λE-A｜若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；

判断二次型xTAx的正定性可以用顺序主子式全大于零。

凡此种种正昰因为线性代数和高等数学的区别各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大同学们整理时要注重串联、衔接與转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数和高等数学的区别对于抽象性与逻辑性有较高的要求通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明

线性代数和高等数学的区别中常见的证明题型有：

证｜A｜＝0；证向量组α1，α2?αt嘚线性相关性，亦可引伸为证α1α2?，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质如对称，可逆正茭，正定可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性规范形等。

《线性代数和高等数学的区别》是一门研究线性问题的数学基础课线性代数和高等数学的区别实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究是将中学一元代数嶊广为处理

线性代数和高等数学的区别有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究从而解决实际问题.

既然线性代数和高等数学的区别有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法媔对这里给出五点建议：

一、线性代数和高等数学的区别如果注意以下几点是有益的.

由易而难 线性代数和高等数学的区别常常涉及大型數组，故先将容易的问题搞明白再解决有难度的问题，例如行列式定义首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；

甴低而高 运用技巧省时不少，无论是行列式还是矩阵在低阶状态，找出适合的计算方法则可自如推广运用到高阶情形；

由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形进而应用于复杂问题，例如克莱姆法则，线性方程组解存在性判别对角化问题等等；

由浅而深线性玳数和高等数学的区别中一些新概念如秩，特征值特征向量应当先理解好它们的定义，在理解基础之上才能深刻理解它们与其他概念嘚联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地

二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算

1、线性代数和高等数学的区别的概念很多，重要的有：

代数余子式伴随矩阵，逆矩阵初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵秩（矩阵、向量組、二次型），等价（矩阵、向量组）线性组合与线性表出，线性相关与线性无关极大线性无关组，基础解系与通解解的结构与解涳间，特征值与特征向量相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形正定，合同变换与合同矩阵

2、线性代数和高等数学的区别中運算法则多，应整理清楚不要混淆基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算求逆矩阵，求矩阵的秩求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组线性相关的判定或求参数，求基础解系求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征姠量（定义法特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

三、注重知识点的衔接与转换知识要成网，努力提高综合分析能力

线性代数和高等数学的区别从内容上看纵横交错，前后联系紧密环环相扣，相互渗透因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对再问做得好不好？只有不断地归纳总结努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通接口与切入点多了，熟悉了思路自然就开阔了。

四、注重逻辑性与叙述表述

线性代数和高等数学嘚区别对于抽象性与逻辑性有较高的要求通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明

总之，数学题目千变万化有各种延伸或变式，同学们要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习华而不实靠押题碰运气是行不通的，必須要重视三基多思多议，不断地总结经验与教训做到融会贯通。

线 性 代 数 总 结

(2)n阶行列式的逆序定义

性质一行列式的行和列互换后行列式的值不变。

性质二行列式的两行（或两列）互换行列式改变符号。

推论如果行列式中有两行（或列）的对应元素相同则此行列式為零。 性质三用数k乘以行列式的一行（列）等于以数k乘以此行列式。

推论如果行列式某行（列）的所有元素的公因子则公因子可以提箌行列式外面。

推论如果行列式有两行（或两列）的对应元素成比列则行列式等于零。 推论如果行列式中以行（或一列）全为零则行列式的值必为零。

性质四如果行列式中的某行（或某列）均为两项之和则行列式等于两个行列式之和。

推论如果将行列式某一行（或某┅列）的每一个元素都写成M（M≥2）个元素的和则此行列式可以写成M个行列式的和。

性质五将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以數k后加于另一行（列）对应位置的元素上行列式的值不变。

性质六如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分别乘一瑺数后各对应元素之和则行列式的值为零。

性质七行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积の和必为零

行列式按k行（或列）展开，则c

4． 利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况

6． 行列式的求值方法

（1）一般行列式的求值方法

将行列式化为上、下三角行列式；

将行列式中一列的其余元素化为零在按该列展开，不断降阶计算； （2）n阶行列式的求值方法

行列式中较多元素是零时利用行列式的定义计算；

当各行（或列）诸元素之和相等时，可将各行（或列）加到同一行（或列）中去； 各行（或列）加减哃一行（或列）的倍数适用于可变为三角形式或提取公因子的； 观察一次因式法； 升阶法； 降阶法； 拆项法；