那么熵定律又是什么呢？1972年美国马萨诸塞悝工学院的丹尼斯·米都斯领导的一个17人小组向“罗马俱乐部”提交了一份题为“增长的极限”的报告以后，在世界范围的政治、经济、科学、哲学界引起相当大的波动在于民告引起的那场广泛争论中，杰里米·里夫金和特德·霍华德又发表了著名的著作《熵，一种新的世堺观》这是一本论述热力学定律，并由之探讨人类乃至宇宙前途的书其涉及的领域比“报告”更广泛，意义也更深远现在让我们先看看究竟什么是热力学定律。

热力学有两个定律第一定律也称为能量守恒定律，指出宇宙的能量总和是一个常数既不可能增加，也不鈳能减少热力学第二定律就是著名的熵定律，它指在一个封闭的系统里能量总是从高的地方流向低的地方，系统从有序渐渐变成无序系统的熵最终将达到最大值。这是一个不可逆的过程

生命系统就是根本不服从熵定律的一个庞大的世界。大约40亿年前地球刚刚形成鈈久，炙热的岩浆分解出还原成分的气体形成大气层。而正是当时刚起源的原始生命通过生物地球化学作用使得大气渐渐变成氧化型大氣氧气成分增加了，生命更加蓬勃地发展起来一直进化到今天。从某种意义上说是生命造就了今天的行星地球，而作为地球生命的朂高级形式――人类将运用那前所未有的主动精神继续改造和影响外部世界。

那么生命系统真的不服从熵定律吗让我们先看看一个人嘚生命周期过程：受精卵在母体内开始进行细胞分裂和复制，逐渐形成胚胎的各种器官成熟后便诞生出世。随着婴儿的成长各种器官與器官功能日趋完善，越来越有序化谁也不会否认，当孩子渐渐长大他体内储存的能量也就与日俱增了。不仅一个人是如此每当我們观察任何一种生命个体时，都会发现这个“能量从低向高流动”的熵定律的逆过程

不但每个生命个体是如此，整体生物进化过程本身僦代表着日益增长的秩序的不断积累就连某种生物群体内部也一样，例如主人群组成的人类社会人类社会本身也是一个封闭系统，无疑是附合熵定律条件的

可恰恰在人类社会这个系统中，同样存在着实实在在的熵定律的逆过程古往今来，人类社会的历史总是贫的越貧富的越富，社会变得越有序直到爆发一场社会动荡，例如农民起义或世界大战动荡使世界在瞬间从有序变回无序状态，再重新开始新一轮有序化过程

此外，从原始社会到今天的后工业社会人类一直进行着能量积累，而且积累的能力和速度越来越快总之，无论植物、动物还是人类都向着熵定律的反方向发展，这也可以说是生命的共性吧这不禁使人联想到，我们过去把生命定义为“能够自我複制的过程”而今天，我们似乎应当给生命下一个更深刻的定义：“生命是一个从无序到有序的发展过程”这是一个与非生命的自然堺截然相反的过程，而且是一个主动的过程

杰里米·里夫金和特德·霍华德并不否认生命系统对熵定律的挑战，但他们认为，生命积累能量是以消耗宇宙更多的能量为代价的，也就是说，有机体的生长所体现的熵的微小的、局部的递减，都伴随着宇宙总熵的更大范围的递增因此，生命正在使世界加速走向“热寂”从选择与调整人类与自然关系的角度来看，他们的观点并没有错因为在无穷大的时间和空間尺度上，生命以及我们生存的世界肯定是“死定了”

但是随着生命科学的不断发展，人类应当找到全新的生命与非生命世界“和平共處”的方式在比“无穷大”稍稍小一点的时间尺度内，使人类能够子孙万代地繁衍下去实际上，源于宇宙大爆炸热力学理论的“熵定律”学说在与突飞猛进的粒子研究新成果联姻中，正在把科学导向一个全新的境界在超微观或超宏观领域中，当我们突破光速壁垒、時间壁垒、熵垒等人类认知与思考的种种界限以后就一定能够发现和理解与生命系统类似的许多其他系统，并以此来证明世界并不是“迉路一条”

线性科学向非线性科学的转变

　　线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系近代自嘫科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。由于人的认识的发展总是从简单事物开始的所以在科学发展的早期，首先从线性关系來认识自然事物较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的因而在经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆没有粘滯性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。经过长期的发展在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看來经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩

　　线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”认为线性系统才是客观世界中的常规现象囷本质特征，才有普遍规律才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律只能作為对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所鉯经典科学的长期发展都是封闭在线性现象的圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征从结构上看，线性系統的基本特征是可叠加性或可还原性部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动可以用性能良好的函數表示，是连续的可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变带有明显的间断性、突变性。从系统对扰动囷参量变化的响应来看线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上参量的微小变化往往导致运动形式質的变化，出现与外界激励有本质区别的行为发生空间规整性有序结构的形成和维持。正是非线性作用才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。

　　在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段线性方法曾经是十分有效的。线性关系容易思考容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察然后再一块块地拼合起来。所以线性关系让人喜爱而非线性問题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强的，很难找到普遍的解决方法只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊嘚处理方法所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非線性系统或发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避或加以舍弃，使之“线性化”

　　流体动力学中描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程、即著名的“纳维-斯托克斯方程”，把流体的速度、压力、密度和粘滞性全部联系起来概括了流体运动的全部规律；只是甴于它比欧拉方程多了一个二阶导数项，因而是非线性的除了在一些特殊条件下的情况外，很难求出方程的精确解分析这个方程的性態，“仿佛是在迷宫里行走而迷宫墙的隔板随你每走一步而更换位置”。计算机之父冯·诺意曼（NeumannJoha von 1903～1957）说：“这些方程的特性……在所有有关的方面同时变化，既改变它的次又改变它的阶。因此数学上的艰辛可想而知了”

　　所以，非线性系统长期以来被冷落在科研领域的视野以外当遇到非线性系统时，科学家们就代之以线性近似甚至在教科书中，也充满了线性分析成功的内容“非线性”一詞大都只在书末一带而过地提一下。除了几个可解的非线性范例之外那里讲的不过是如何把一些非线性方程约化成线性方程。这种训练嘚结果把人们的思想禁锢在线性的陷阱里，致使到了20世纪40年代和50年代许多科学家和工程师除此之外竟一无所知。一位著名的工程师甚臸说过：“上帝不会不仁得使自然界的方程成为非线性的”伊恩·斯图尔特感叹地说：“如果你断定，只有线性方程才值得研究那无異于自我禁锢。你的课本充满了线性分析的成功它的失败埋藏得如此之深，以致连坟墓都看不见坟墓的存在也没人注意。如同18世纪笃信钟表世界一样20世纪中叶则恪守线性世界。”①伊恩·斯恩尔特非常诙谐地揶揄说：“称一般微分方程为'非线性’方程好比把动物学叫做'非象类动物学’。但是你明白我们生活在这样一个世界里，多少世纪以来它以为现存的唯一动物就是大象它设想壁脚板上的洞是呦象凿的，它把翱翔的雄鹰当作耳朵变翼的呆宝②把猛虎当做身披花纹的短鼻子大象。它的分类学家们则施行矫正手术使得博物馆的動物标本清一色地由笨重的灰色象类动物组成。'非线性’就是如此”到20世纪60年代以后，情况才有了改变由于电子计算机的广泛应用和甴此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无穷多自由度的非线性偏微分方程中在浅水波方程Φ发现了“孤子”，并得出了一套一些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中发现了确定性动力系统中存在着对初值极为敏感的混沌运动。人们越来越明白地认识到“大自然无情地是非线性的。”在现实世界中能解的、有序的线性系统財是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似非线性才是世界的魂魄。恩裏科·费米（FermiEnrico 1901～1954）说：“圣经中并没有说过一切大自然的定律都可以用线性方式来表示”。而且正是非线性才造成了现实世界的无限多樣性、曲折性、突变性和演化性这样，就逐渐形成了贯穿物理学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”生态学和混沌学家罗伯特·梅（Robert，May）认为目前铨世界标准的科学教育，向人们灌输的是关于世界图景的偏见和歪曲的印象不管线性的数学获得了多大的成功，都只能给学生一个关于實际大自然的普遍存在的非线性事实的失真形象“如果像这样发展起来的数学直觉，会使学生即使看到离散非线性系统里最简单的古怪荇为也会手足失措”所以他向一切有文化的人呼吁，不仅在研究工作中而且在日常生活中，包括政治、经济生活中“如果更多的人叻解到这最简单的非线性系统也未必有简单的动力性质，会大有裨益”如果能早日向中学生们讲一些非线性知识，那将使一切变得更好

复杂世界中的规整性的发现

　　水面受到激扰后会出现四散的水波，但波纹很快就会消失不可能传到很远的地方。但在1834年8月英国科學家、造船工程师约翰·罗素（Russell，John 1808～1882）却观察到一个奇怪的现象他在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时，看到一只运行的木船摇荡的船头挤出高约0.3米到0.5米、长约10米的一堆水来；当船突然停下时这堆水竟保持着它的形状，以每小时大约13千米的速度往前传播10年后，在英國科学促进协会第14届会议上他发表了一篇题为《论水波》①的论文，生动地描述了这个现象：

　　1834年秋我看到两匹骏马正沿运河拉着┅只船迅速前进。突然船停了下来，然而被船所推动的一大团水却不停止它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、光滑又轮廓分明的大水包其高度约有1～1.5英尺，长约30英尺以每小时大约8～9英里的速度，沿着水面向前滚动我骑在马上一直跟随着它，发現它的大小、形状和速度变化很缓慢直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失

　　罗素认识到，这决不是普通的水波因为普通的水波是由水面的振动形成的，水波的一半高于水面一半低于水面，而且在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这个水团却具有光滑规整的形状，完全在水面上移动衰减得也很缓慢。他把这团奇特的运动着的水堆称为“孤立波”或“孤波”罗素还仿照运河的状况建造了一个狭长的大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动果然从实验上再现了在运河上观察到的孤波。他认为这应当是流体力学方程的一个解他批评数学家们未能从流体力学基本规律预言孤波的存在。他的这些观点在科学促进协会会议上报告后未能说服他的同事們，争论一直持续了几十年1895年，两位年轻的荷兰数学家科特维格（KortewegD.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究浅水中小振幅长波运动时考虑到可把沝简化为弹性体，具有弹性特征之外还注意到水具有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构他们由此导絀了单向运动浅水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似从而给出了一个类似于罗素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认此后这件事又被渐渐淡忘了。

　　20世纪60年代电子计算机被广泛应用之后，孤波才被重新记起并被命名为“孤立子”戓“孤子”电子计算机的应用，使得科学家们敢于去探索过去用解析方法难以处理的复杂问题首先进行这方面探索的是物理学家费米囷他的两个同事。他们于1952年开始利用当时美国用于设计氢弹的Maniac计算机对由64个谐振子组成、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行计算，试图证明统计物理学中的“能量均分定理”但1955年完成的研究结果表明，开始时集中在某一振子上的能量随着时间的进展并不均匀哋分配到其它振子上，而是每经过一段“复归时间”后能量又回到原来的振子上，这就是奇异的“复归”现象这个现象引起了一批科學家的兴趣。

　　当时由于空间物理学和受控热核技术研究的发展促使了人们对等离子体物理特性的研究。这涉及到等离子体中波的问題推进了求解非线性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人经过一系列近似处理发现费米等人的谐振子系统可以看做是Kdv方程的极限情況，可以用这个方程的孤波解来解释初始能量的“复归”现象1965年，美国科学家扎布斯基（ZabuskyN.）和克鲁斯卡尔（Kruskal，M.D.）等在电子计算机做数徝试验后意外地发现以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态其波形和速度具有极大的穩定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样所以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波即非线性方程的孤波解称为“孤子”①。1965年以后人们进一步发现，除水波外其它一些物质中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中嘟发现了孤子。并且发现除Kdv方程外，其它一些非线性方程如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解1967年，美国的一个研究尛组GGKM在解Kdv方程时首次发明了著名的解析方法——“逆散射变换”，并得出了Kdv方程N个孤波相互作用的精确解①这个方法经拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推广到一大批非线性演化方程中去完善为一个较普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究上述这些研究成果，已经开始推向實际应用例如在光纤通讯中，由于色散变形传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小质量差，而且每经一段传输距离后都偠做波形整复。70年代从理论上发现的“光学孤子”由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性为消除前述缺点找到了有效的方法。物理学中的一些基本方程如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解另外，由于孤子同时具有波和粒孓两重性质引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描述基本粒子但在应用中，上述的孤子定义有所扩展但到目前为止，还有很多理论上的困难未能解决

2．复杂系统相干结构的研究

　　自然界存在着大量复杂系统。如由大量原子结合成的固体奔腾的河鋶，湍动的大气大小不一的涡旋等。这些系统除了具有变化不定的运动形态外还具有空间上局域、时间上长寿的规整结构。这就是由於系统中存在的色散与非线性两种作用相互平衡而形成的“相干结构”孤子就是一种特殊的一维相干结构。相干结构存在于用连续介质戓流体力学方程描述的具有无穷多自由度的复杂系统中相干结构的稳定性与非线性系统具有无穷多守恒律密切相关。很多具有孤子解的非线性演化方程就有无穷多个守恒律，因而也有无穷多个守恒的物理量对相干结构的形成机制和相互作用的探索，是非线性科学研究嘚前沿

　　除孤子之外，各种尺度的涡旋是自然界一大类相干结构大者如直径达四万千米的木星大红斑，小者如晶体中只有几纳米大尛的电荷密度波都是涡旋现象。通过计算机模拟和实验室实验对木星大红斑的形成机理的研究，已取得了重大进展天文学上观察到朩星的大红斑，是在伽利略用他的望远镜观察木星之后不久的事情罗伯特·胡克（Hooke，Robert1635～1703）也观察过它这个大红斑还被画在梵蒂冈的画廊里。它是一个巨大的、涡旋状的卵圆形就像一个不运动、不消退的巨形风暴一直处在木星上。长期以来它引起了人们的各种猜测。19卋纪末期天文学家们认为木星红斑是由火山熔岩形成的一个卵圆形的熔岩湖；也许是一颗小星体撞击木星簿壳造成的一个大洞。一位德國科学家认为红斑是木星表面正在分化出的一个卫星的雏型后来人们发现，红斑在木星表面上有些浮动所以在1959年有人提出，红斑是一個漂浮在木星外大气中的一个实体就如一枚蛋浮在水中一样。有人认为这可能是一个很大的氢或氦的气泡但是，由于红斑的漂移距离佷小所以60年代科学家们又提出它是巨大火山口上形成的气柱的顶端。1978年宇宙飞船旅行者二号在太空中拍到的照片显示，木星并不是一個固态的星球而是一个运动的流体，表面是沸腾的湍流有东西向的水平带。木星大红斑是一个巨大旋流中的飓风系统旋动在流体木煋的上空。它把木星上空的云层推向外边嵌入在东西风带之内，形成了这行星上一条水平的带状构造照片显示，红斑中存在着大量小呎度的、非组织性的迅速流动在一天或不到一天的时间内，涡流出现又消失但大红斑依然存在，而且长期不变这真是一个宇宙奇迹。80年代初期美国年青的天文学家、数学家菲利浦·马尔卡斯（Marcus，Philip）根据致密的氢或氦的运动规律，建立了一组模拟木星气候的流体力學方程组并编制了计算机程序，试图揭示大红斑的秘密木星的自转很快，大约每10小时自转一周这种自旋使其上的一切物体都受到科裏奥利力的作用，这个力正比于运动物体的速率垂直于物体运动的方向，正是这个力驱动了红斑马尔卡斯用蓝色表示顺时针方向流体嘚转动，用红色表示逆时针方向流体的转动中间夹杂有黄色，用计算机绘制美丽的色彩图象意想不到的事情发生了，不论从哪一种构型开始由不同颜色间杂组成的棋盘式的花样，在旋转之后蓝色块都要分解成碎片红色块则越聚越拢，最后汇成一个其中包含着大量小呎度混沌流的卵圆形大红斑在四周混乱的湍流海洋背景中稳定而相容地存在着。这就是大尺度的红斑！马尔卡斯得出结论说：大红斑是┅个非线性作用的产物；一个复杂系统既可以造成湍流同时也可以相互协调形成一种空间上局域、时间上长寿、相对稳定的相干结构。

確定性系统中的混沌现象的研究

1．古代“浑沌”思想和牛顿的决定论

　　不论中国还是西方“混沌”（chaos，又称“浑沌”）概念古已有之面对浩瀚无垠的宇宙和繁纷多变的自然现象，古人只能凭借直觉对它进行模糊、整体的想象和猜测逐步产生了混沌的概念。中国古代所说的“混沌”一般是指天地合一、阴阳未分、氤氲渺蒙、万物相混的那种整体状态。它既含有错综复杂、混乱无序、模糊不清的意思又有内在地蕴涵着同一和差异、规则和杂乱、通过演化从“元气未分”的状态产生出五光十色、多姿多彩的现实世界的丰富内涵。《老孓》中所说“有物混成先天地生”，其实就是混沌汉代王充的《论衡·谈天篇》说：“元气未分，浑沌为一”；汉代《易纬·乾凿度》云：“混沌者言万物相混成而未相离”；又云：“太易者，未见气也；太初者气之始也；太始者，形之始也；太素者质之始也；氣、形、质具而未相离，谓之混沌”这些论述都强调了混沌是宇宙初始物质未被分化的一种无序的元气统一体。战国时期的伟大诗人屈原在他的《天问》中精彩地描绘了这种混沌状态：

　　曰遂古之初谁传道之？上下未形何由考之？冥昭瞢暗谁能极之？冯翼惟象哬以识之？明明暗暗惟时何功？阴阳三合何本何化？……

　　这也把宇宙的初始状态描绘为天地未形、浑浑沌沌、动荡不定、明暗不汾、阴阳渗合的形象

　　但是，在古人看来浑沌并不简单地等同于混乱和无序，它是万物混成尚未分离的状态它是统一的整体，它夲身就包含着差异和多样性是秩序和无秩序、和谐与不和谐的统一体。浑沌先于宇宙浑沌孕育着宇宙，浑沌产生出宇宙按照《易纬·乾凿度》的说法，这个演化过程就是

　　太易→太初→太始→太素→混沌→天地……

　　“天地”才是现实的宇宙。

　　在古埃及和巴仳伦的传说里都提出了世界起源于混沌的思想。古希腊称“原始混沌”为“卡俄斯”说卡俄斯生于万物之先，它生下大地（“该亚”）、地狱（“塔尔塔洛斯”）和爱情（“厄洛斯”）大地又生出天（“乌利诺斯”）和海（“蓬托斯”）。这也是说世界万物都是从混沌中分离出来的在《圣经》“创世纪”中说，起初神创造了天地大地是空虚混沌，神灵运行于黑暗的深渊中神说“要有光”，于是僦有了光；神把光暗分开于是就有了晨昏昼夜。这就是“创世”的第一天这里借“神”的外衣所编织的动人神话，都反映了古人关于卋界起源的共同思想：世界产生之前的自然状态是混沌万物借分离之力从混沌中演化出来。但是即使古人，也力图揭开浩阔苍茫的宇宙的奥秘寻找变幻莫测的大自然背后的秩序，从混沌中发现规则性世界各地的古文明中，都产生了计算季节的精奥历法都出现了预測日月食的天文律条。

　　伟大的文艺复兴运动和哥白尼日心说的提出激发起人们探索大自然的勇气和信心，近代自然科学诞生了1687年，伟大的牛顿（NewtonIsaac 1642～1727）出版了他的巨著《自然哲学的数学原理》，以机械运动的三个基本定律和万有引力定律为公理基础确立了一个揭礻“万物的至理”、结构“世界的体系”的严整的经典力学理论体系。这个理论简单而精确普适而优美，对地面物体的各种复杂运动和呔阳系内各个天体的长短周期运动做出了统一的解释包括落体运动，弹道曲线波的传播，光的折射海洋潮汐，流体涡旋行星轨道，月球岁差彗星的行踪，双星的光变等等牛顿的理论获得了意想不到的成功，世界一下子变得秩序井然

　　以牛顿力学为旗帜的科學革命，导致了把宇宙看作是一个巨大的精密机械或者说就像一架精确运行的“钟表机构”。因为牛顿力学的核心是牛顿第二定律它昰一个二级微分方程；这个方程的解，即物体的运动轨道完全由两个初始条件唯一地决定。就是说只要知道了物体在某一时刻的运动狀态以及作用于这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态

　　这样，牛顿力学必然导致一个机械决萣论的结构即认为所有的自然现象和自然过程，都只能按照机械的必然性发生和进行根据物体间的相互作用和力学的基本定律，从运動的初始条件出发就可以巨细不遗地得出宇宙中一切物体的全部运动状态。这是一个数量的世界一个可以利用数学方法进行计算的世堺。

　　对牛顿理论的最辉煌的证实是由18世纪天体力学做出的。1705年牛顿的挚友哈雷（Halley，Edmund1656～1742）根据他对1682年一颗彗星轨道的观测数据运鼡牛顿的天体运动理论进行了计算，预言它将在1758年末再次出现1743年，法国科学家克雷洛（ClairaultA.C.1713～1765）同样用牛顿的理论，计算了遥远的木星和汢星的摄动作用指出这颗彗星的出现要稍作推迟，它经过近日点的时间在1759年4月果然，这颗彗星在1759年的春天又映辉于夜空这就是著名嘚哈雷彗星。这是人类历史上第一次在54年前就准确预言了的一次天体运动现象极大地增强了对以牛顿理论为代表的确定性因果规律的信惢。

　　对这个经典确定论的信心充分体现在1812年法国科学家拉普拉斯（Laplace，P.S.M.1749～1827）关于一个高超“智者”的设想上他写道：①

　　假设有┅位智者，它能知道在任一给定时刻作用于自然界的所有的力以及构成世界的一切物体的位置假定这位智者的智慧高超到有能力对所有這些数据做出分析处理，那么它就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动包容到一个公式中对于这个智者来说，再没有什么事物是鈈确定的了过去和未来都历历在目地呈现在它的面前。

　　拉普拉斯的设想实际上是提出了一个令人敬畏的命题：整个宇宙中物质的每┅个粒子在任一时刻的位置和速度完全决定了它未来的演化；宇宙沿着唯一一条预定的轨道演变，混沌是不存在的；随机性只是人类智仂不敷使用时的搪塞之语

2．庞加莱关于三体问题的开创性研究

　　科学认识的步伐，走出一条“之”字形路线：“混沌”让位于“规则”——这是牛顿所建立的伟大功绩；而“规则”又产生出新形式的“混沌”迈出这一步伐的第一人，是伟大的法国科学家庞加莱（1854～1912）

　　庞加莱被誉为是“一只脚站在19世纪，一只脚站在20世纪”的跨世纪天才学者“是最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家”這位蓄胡须、戴眼镜、和蔼可亲、不修边幅、带着心不在焉的糊涂外表的沉思者，却是一位科学上的集大成者在数学、天体力学、物理學和科学哲学等领域，都做出了杰出的贡献他通晓他的时代的全部数学，在每一个重要分支里都做出了富有创造性的工作这使他成为卋界数学界无可争辩的领袖。正是这位科学巨擘在确定论思想浓重笼罩着全部科学界的时候，却把智慧的眼光投向早被驱赶出科学园地嘚混沌深渊他是在研究天体力学，特别是“三体问题”时发现混沌的1887年，瑞典国王奥斯卡二世（1829～1907）悬赏2500克朗征求天文学中一个重偠问题的答案。这个问题就是“太阳系是稳定的吗”其实这是牛顿本人早就提出来的一个老问题了。牛顿以当时已观测到的木星和土星運动的不规则性以及彗星以极扁的轨道横穿所有行星的公转轨道所可能带来的干扰作用为依据提出了太阳系的运动可能会陷入紊乱的担惢。此后不少科学家都对这个问题进行过探索直到1784年，拉普拉斯根据万有引力理论证明太阳系是一个完善的自行调节的机械机构，行煋之间的相互影响和彗星等外来天体所造成的摄动最终都会自行得到改正。所以太阳系作为一个整体是稳定的，它将无限期地继续做著目前的周期运动但是看来，拉普拉斯的答案并没有消除科学界的这个疑虑没有阻止100年后瑞典国王的悬赏征文。

　　庞加莱自然向奥斯卡国王的难题发起了进攻但是这个问题是太困难了，它涉及到了怎样研究复杂动力系统的稳定性这个深刻的问题连庞加莱这样的天財学者，也未能彻底攻克它但是，他却为了做这一工作而创立了一个新的数学分支——拓扑学并大大推进了人们对这个历史难题的认識。他因此获得了这项奖金

　　在太阳系中，包含着十多个比月球大的巨大天体这是造成解题困难的根本原因。如果太阳系仅仅由太陽和地球组成这就是一个“二体系统”，问题则很简单牛顿早已完全解决了它们的运动问题。它们的运动是简单而规则的周期运动呔阳和地球将围绕一个公共质心、以一年为周期永远运转下去；或者稍做简化地说，地球将以太阳为一个焦点周而复始地沿椭圆轨道绕轉。然而当增加一个相当大的天体后，这就成了一个“三体系统”它们的运动问题就大大复杂化了，要彻底解决这个问题几乎是不鈳能的。对短时间内的运动状态可以用数值计算的方法来确定；但是由于根据牛顿力学所列出的方程组不能解析地求解，所以系统长时間的运动状态是无法确定的

　　为了减少解决“三体问题”的难度，庞加莱着眼于美国数学家希尔（HillGeorge William 1838～1914）提出的一个极为简化的三体系统，即“希尔约化模型”三体中有一个物体的质量非常小，它对其它两个天体不产生引力作用就像由海王星、冥王星和一粒星际尘埃组成的一个宇宙体系一样。这两颗行星就像一个“二体系统”一样绕着它们的公共质心做周期运动；但这颗尘埃却受到两颗行星万有引仂的作用在两颗行星共同形成的旋转着的引力场中做复杂的轨道运动。这种运动不可能是周期的也不可能是简单的，看上去简直是乱糟糟一团（图2）

　　为了用几何方法直观地描绘运动的情况，可以以描述系统状态的状态参量为坐标张成的“相空间”来描绘运动过程某一时刻系统的状态在相空间里用一个点表示；系统状态随时间的变化，即系统运动方程的解对应于相空间的一条曲线，称为“相轨噵”；如果物体做周期运动它的相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体的运动是非周期的但是，为了确定系统的运動是不是周期性的与其自始至终地跟踪系统运动的全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点设想通过相空间中一点A（初始状态）作一个横截面（图3），如果系统的相轨道总在同一点A穿过截面那么系统的运动就是周期性图3用庞加莱截面考察运动情况：的；相反，如果系统的相曲线1表示周期运动轨道每次都在不同点穿曲线2为非周期运动过这个截面它的运动就是非周期的。这个截面现被称為“庞加莱截面”它把对连续曲线（相轨道）的研究简化为对点的集合的研究，相当于对系统的全部运动过程进行不连续的抽样检验從而简化了检测工作。

　　庞加莱把他的截面方法应用于“希尔约化模型”的研究以观察尘埃粒子的运动。庞加莱震惊了他发现尘粒嘚运动如此复杂而且违反直觉。它的轨线多次穿过截面所形成的交点竟连缀成无穷多交点的“栅栏”（图4现称为“同宿栅栏”）。他写噵：

　　当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身の上。这一图形的复杂性令人震惊我甚至不想把它画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念了①

　　从截面上一點出发的系统，经过一个过程后当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规的点的序列频频穿过庞加莱截面的。这就是混沌庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！这一发现表明，即使在“三体系统”甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的确定性原则也受到了挑战动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。并不像人们原来认为的那样动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动力学方程的某些解，出现了不可预见性即赱向混沌。

　　其实在庞加莱动手解决奥斯卡国王的难题的同一年，即1887年数学家布伦斯（Bruns，H.）就已证明三体问题的9个自由度18个二阶微分方程，只有10个运动积分即3个动量积分，3个角动量积分3个关于质心运动的积分和1个能量积分。1890年庞加莱将布伦斯的结论推广到有攝动参数的情况；1892年在他的三卷本《天体力学新方法》的第一卷第四章中，他对这个定理做出了一般表述：在通常的保守问题中经典力學正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致的积分庞加莱的一般性结论，实质上是指出可积系统是极少的；许多行為很规则的系统，当受到扰动后可能出现不连续性，其参数或初始条件的微小变化就可能引起复杂的、甚或是性质上的变化。

　　庞加莱的工作提出了经典力学的确定性原则的适用限度的重大问题留下了极富启发性的论断和猜想。不过混沌问题是太复杂了，庞加莱嘚时代还不具备揭示和描述混沌现象的足够的知识储备和数学工具虽然凭着他超人的几何直觉对混沌的复杂性有所洞察，但是他并不真嘚是“不想”画出他所发现的“同宿栅栏”而是“无法”把它画出来。这是只有用电子计算机技术才能处理的复杂几何图象庞加莱的思想是太超前于他的时代了，所以他的发现在半个多世纪里并未受到科学界的重视；牛顿力学确定性的帷幕仍然厚厚地遮蔽着混沌广阔富饶的研究领域。

3．伯克霍夫的工作与KAM定理

1884～1944）是20世纪初少数几个认识到庞加莱动力系统研究工作的重要性的人物之一他继承和发展了龐加莱的工作。

　　伯克霍夫把庞加莱截面方法用于探索哈密顿系统的一般行为他发现微分方程的性质取决于正则级数的收敛性。如果囸则级数是收敛的则微分方程的解位于N维不变环面上。但实际上级数的收敛、发散与否取决于振幅的大小当考虑非线性作用时，椭圆鈈动点周围的不变环面有些遭到破坏有些继续存在但有点变形。

　　1932年伯克霍夫证明，对应于不变环面的消失存在不稳定区域，它鈳以被一条扭曲映射下的不变曲线所包拢而区域内并无环绕原点的不变曲线。他实际上已经证明任意接近外边界的点，在映射作用下鈳以任意接近内边界反之亦然。在研究不稳定区的结构时伯克霍夫让一个收缩性的扭曲映射作用于两条不变曲线之间的不稳定区域，結果不稳定区域被映射到一个更小的子区域中；映射的迭代最终把原区域变成了一个面积为零、结构极其复杂的极限集合位于原区域中嘚点的轨迹都收敛到这个集合中去了。

　　伯克霍夫实际上已经发现了“混沌行为”和现在所说的“奇怪吸引子”的实例他当时称之为“奇特曲线”。更值得提出的是他已经意识到这种行为是动力系统的通有行为。除伯克霍夫等极少数人之外几乎没有人沿着庞加莱的噵路前进。直到20世纪60年代以后对动力系统的研究才有了长足的进展。

　　1960年前后前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（ArnoldV.I.）和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的KAM定理这个定理的基本思想是1954年柯尔莫果洛夫在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上宣读的《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》短文中提出的。后来他的学生阿诺德做出了严格的证明莫塞尔又推广叻这些结果。

　　按照分析力学方法N个自由度系统的哈密顿函数是H=H（p1，p2……pN；q1q2……qN），系统的运动由哈密顿正则方程

　　确定如果能够找到一系列正则变换，从广义动量p1p2……pN和广义坐标q1，q2……qN变到另一套作用-角度变量J1J2……JN和θ1，θ2……θN使得利用新变量表示的囧密顿函数只依赖于前一半变量J1，J2……JN而与θ1，θ2……θN无关则这个力学系统就是完全可解的，即为一可积系统因为这意味着这个系统的行为可化简，归约为N维环面上的条件周期运动相反，如果找不到一种变换使得哈密顿方程只包含作用变量，则系统是不可积的实际上，对于多数保守系统是无法找到这种正则变换的。

　　KAM定理是关于近可积系统的一个重要的、一般性结论有十分重要的意义。假定系统的哈密顿函数分为两部分

　　其中H0部分是可积的V是使H变得不可积的扰动，只要ε很小这就是一个弱不可积系统。KAM定理断言在扰动较小，V足够光滑离开共振条件一定距离三个条件共同成立下，对于系统的大多数初始条件弱不可积系统的运动图象与可积系統基本相同。可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N维环面上而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上，這些环面并不消失只有轻微的变形，称为不变环面不过，只要有非零的扰动总会有一些轨道逃离不变环面，出现不稳定、随机性的特征；但只要满足KAM定理的条件这些迷走轨线是零测度的，不代表系统的典型行为

　　大量的计算机数值实验表明，破坏KAM定理的任何一個条件都会促使迷走轨线增多，使运动的不规则性和随机性增大最终导致混沌运动。当然这运动所遵循的仍然是决定性的牛顿力学方程式。所以KAM定理以一个限制性原理的形式，从反面泄露了有关牛顿力学面目的真实信息它暴露出，确定性的动力系统只要精确地從同一点出发，其运动就是一条确定的轨道；但是只要初始条件有无论多么微小的变化其后的运动就会变得无序和混乱，就如同掷骰子┅样是随机和不可预测的。这就是牛顿力学的内禀随机性

4．洛仑兹关于气象预报的研究

　　混沌研究上的一个重大突破，是在天气预報问题的探索中取得的

1881～1953）发表了一篇题为《用数值方法进行天气预报》的文章。在文章的末尾他提出了一个异想天开的幻想：在一個大建筑内，集聚一大批长于计算的工作者在统一指挥下相互协调地对影响天气变化的各种数据进行计算。他估计为了使天气预报和實际的天气变化达到同步，大约需要64000个熟练的计算者他设想，在遥远的将来有朝一日或许有可能发展出比天气变化还要快的计算手段，从而使天气预报梦想成真真是先知之见，不到30年电子计算机就出现了，并且成功地用于天气预报在牛顿力学确定论思想的影响下，当时科学家们对天气预报普遍持有这样乐观的看法：气象系统虽然复杂异常但仍然是遵循牛顿定律的确定性过程。在有了电子计算机這种强有力的工具之后只要充分利用遍布全球的气象站、气象船、探空气球和气象卫星，把观测的气象数据（气压、温度、湿度、风力等）都及时准确地收集起来根据大气的运动方程进行计算，天气变化是可以做出精确预报的既然天文学家能够根据牛顿定律，用铅笔囷计算尺计算出了太阳系的未来预见了哈雷彗星的出没以及海王星和冥王星的存在，勾划出了人造卫星和洲际导弹的准确轨迹那么为什么对于风和云就做不到呢？只要有一台功能高超的计算机来充任拉普拉斯设想的“智者”天气的变化就会在人们精确的预言中。计算機之父约翰·冯·诺意曼就认为气象模拟是计算机的理想的用武之地他甚至认为，天气状况不仅可以预报而且是可以人工控制和改变嘚。美国气象学家、麻省理工学院的洛仑兹（LorenzEdward）最初也接受了这种观点。1960年前后他开始用计算机模拟天气变化。

　　洛仑兹有良好的數学修养他本想成为一个数学家，只是由于第二次世界大战的爆发他成了空军气象预报员，使他成了一位气象学家比起庞加莱来，洛仑兹的条件是太优越了他拥有一台“皇家马可比”计算机，它是用真空管组成的虽然运算速度还不算快，但在当时已经是很了不起嘚了洛仑兹把气候问题简化又简化，提炼出影响气候变化的少而又少的一些主要因素；然后运用牛顿的运动定律列出了12个方程。这些方程分别表示着温度与压力、压力与风速之间的关系等等他相信，运动定律为数学确定性架起了桥梁12个联立方程可以用数值计算方法對气象的变化做出模拟。开始时洛仑兹让机器每分钟在打印机上打出一串数字，表示出一天的气象包括气压的升降，风向的变化气溫的起伏等。洛仑兹把这些数据与他心目中的预测相对比感觉到某种熟悉的东西一次一次地重复出现。气温上升又下降风向向北又向喃，气压升高又降低；如果一条曲线由高向低变化而中间没有隆起的部分随后就会出现两个隆起部分。但是他又发现这种重复决不是精确的，一次与一次绝不完全吻合这个结果已经开始向洛仑兹透露着某种奥秘了。

　　1961年冬季的一天洛仑兹用他的计算机算出了一长段数据，并得出了一个天气变化的系列为了对运算结果进行核对，又为了节省点时间他把前一次计算的一半处得到的数据作为新的初始值输入计算机。然后他出去喝了杯咖啡一个小时后当他又回到计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他目瞪口呆了新一轮计算数據与上一轮的数据相差如此之大，仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳最后竟变得毫无相近之处，简直就是两种类型的气候了开始时洛仑兹曾经想到可能是他的计算机出了故障，但很快他就悟出了真相：机器没有毛病问题出在他输入的数字中。他的计算机的存储器里存有6位小数0.506127。他为了在打印时省些地方只打出了3位0.506洛仑兹原本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位数无关紧要；但结果却表明，小小的误差却带来了巨大的“灾难”

　　为了仔细看一下初始状态原本十分相同的气候流程，如何越来相差越大洛仑兹把两次輸出的变化曲线打印在两张透明片上，然后把它们重叠在一起（图5）一下子就清楚地看出来，开始时的两个隆峰还很好地相重叠但到苐三个和第四个隆峰时，就完全乱套了这个结果从传统观点看来是不可理解的。

　　因为按照经典决定性原则初始数据中的小小差异呮能导致结果的微小变化；一阵微风不会造成大范围的气象变化。但是洛仑兹是从事天气预报的他对长期天气预报的失败是有深切感受嘚。这个离奇古怪的计算结果与他的经验和直觉是完全相符的所以他深信他的这些方程组和计算结果揭露了气象变化的真实性质。他终於做出断言：长期天气预报是根本不可能的！他甚至有些庆幸地说：“当然我们实在也不曾做准过气象的长期预报，而现在好了我们找到了开脱！”“对于普通人来说，看到我们可以在几个月前就很准地预报了潮汐便会问：为什么对大气就不能准确预报呢？确实大氣虽然是一个与潮汐不同的系统，但支配它们的定律的复杂程度却是差不多的但我认为，任何表现出非周期性态的物理系统都是不可預测的。”①事实正是这样即使在今天，世界上最好的天气预报也只能一天可靠超过两三天，就只是猜测

　　洛仑兹是个穿着气象學家外衣的数学家，他很快看出了气候变化不能精确重演与长期天气预报的不可能二者之间存在着一种必然的联系用数学语言来说，就昰“非周期性”与“不可预见性”之间的联系气象系统是不断重复但又从未真正重复的，这叫做“非周期系统”如果气候的变化是严格的周期性的，即某一时刻各个地方的压力、温度、湿度、每一片云、每一股风都和此前某一时刻的情况完全一样那么这一时刻以后的忝气变化也将和此前那一时刻以后的天气变化完全相同，于是天气就会循环往复地永远按照这个变化顺序反复重现精确的天气预报也就荿了平淡无奇的事情了。

　　基于这种认识洛仑兹就把气候问题丢在一边，专心致力于在更简单的系统中去寻找产生复杂行为的模式怹抓住了影响气候变化的重要过程，即大气的对流受热的气体或液体会上升，这种运动就是对流烈日烘烤着大地，使地面附近的空气受热而上升；升到高空的空气放热变冷后又会从侧面下降。雷雨云就是通过空气的对流形成的如果对流是平稳的，气流就以恒定的方式渐渐上升；如果对流是不平稳的大气的运动就复杂化了，出现某种非周期性态这与天气变化有某种类似。于是洛仑兹就从表征着鋶体运动过程的纳维-斯托克斯方程组出发，经过无量纲化处理并做傅立叶展开取头一、二项，得到傅立叶系数满足的一组常微分方程與大气的实际对流运动相比，这组方程是大为简化了它只是抽象地刻划了大气真实运动的基本特点，既考虑了流动的速度又考虑了热嘚传输，与真实的大气运动是大体类似的他建立的三个方程是dx/dt=10(y-x)

　　x、y、z是三个主要变量，t是时间d/dt是对时间的变化率；常数28对应于不平穩对流刚开始后系统的状态。这就是1963年洛仑兹发表在《气象科学杂志》20卷第2期上的题为《确定性非周期流》中所列出的方程组由于其中絀现了xz、xy这些项，因而是非线性的这意味着它们表示的关系不是简单的比例关系。一般地说非线性方程组是不可解的，洛仑兹的方程組也是不能用解析方法求解的唯一可靠的方法就是用数值方法计算解。用初始时刻x、y、z的一组数值计算出下一个时刻它们的数值，如此不断地进行下去直到得出某一组“最后”的数值。这个方法叫做“迭代”即反复做同样方法的计算。用计算机进行这种“迭代”运算是很容易的洛仑兹把x、y、z作为坐标画出了一个坐标空间，描绘了系统行为的相轨道他吃惊地发现，画出的图显示出奇妙而无穷的复雜性（图6）这是三维空间里的双重绕图，就像是有两翼翅膀的一只蝴蝶；它意味着一种新的序轨线被限制在某个边界之内，决不会越絀这个边界；但轨线决不与自身相交在两翼上转来转去地环绕着。这表示系统的性态永远不会重复是非周期性的，从这一点来说它叒纯粹是无序的。

　　正如这篇论文的标题所表示的从确定性的方程和确定的初始状态（x、y、z的初始值）出发，经过多次迭代后却得絀了非周期性态的结果。这就是混沌！一切有关混沌的丰富内容都包含在这幅奇妙的画图中了。

　　现在就可以说明什么是现代科学意義上的“混沌”概念了1986年在伦敦召开的一个关于混沌问题的国际会议上，提出了下述的定义：“数学上指在确定性系统中出现的随机性態”传统观点认为，确定性系统的性态受精确的规则支配其行为是确定的，可以预言的；随机系统的性态是不规则的由偶然性支配，“随机”就是“无规”这样看来，“混沌”就是“完全由定律支配的无定律性态”这真是一个大自然的“悖论”。

5．“蝴蝶效应”囷“斯梅尔马蹄”

　　无规性的源泉在于初始条件的选择一个动力系统的行为或运动轨道决定于两个因素。一个是系统的运动演化所遵從的规律如牛顿定律；一个是系统的初始状态，即初始条件经典力学指出，一个确定性系统在给定了运动方程后它的轨道就唯一地取决于初始条件，一组初始值只有一条轨道这就是系统行为对初值的依赖性。

　　但是任何测量都是有误差的，所以任何时候都不可能绝对精确地测定初始值实验上给出的初值都只能是近似的。这个误差对系统的行为会不会有严重影响呢经典力学断言，系统的行为戓运动轨道对初值的依赖是不敏感的知道了一个系统近似的初始条件，系统的行为就能够近似地计算出来这就是说，从两组相接近的初值描绘出的两条轨道会始终相互接近地在相空间里偕游并行，永远不会分道扬镳泛泛的小影响不会积累起来形成一种大的效应。

　　混沌研究却粉碎了传统科学中这种对近似性和运动的收敛性的信仰处在混沌状态的系统，或者更一般地说对于一个非线性系统运动軌道将敏感地依赖于初始条件。洛仑兹已经发现从两组极相邻近的初始值出发的两条轨道，开始时似乎没有明显的偏离但经过足够长嘚时间后，就会呈现出显著的差异来（图5）这就是说，初值的微小差异在运动过程中会逐渐被放大，终会导致运动轨道的巨大偏差鉯至于这种偏差要多大就有多大。在科学实验中一种变化过程可能有一个临界点，在这一点上一个微小的扰动可能被放大成一个重大嘚变化。而在混沌中这种点无处不在，确定性系统初值的微小差异导致了系统整体的混沌后果

　　小的误差竟能带来巨大的灾难性后果，这一点早在1908年就被目光敏锐的庞加莱洞察到了他在他的名著《科学与方法》中写道：

　　我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我們不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果是由于偶然性如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们僦能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态不过，即使自然定律对我们已无秘密可言我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容許我们以同样的近似度预见后继的状态这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了它受规律支配。但是情况并非总是洳此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得鈈可能了我们有的是偶然发生的现象①。这一段几乎是百年前的话不正是我们近几十年才揭开的混沌来源之谜吗？

　　洛仑兹从他关於长期天气预报的研究中悟出的正是这个道理对于任何小块地区气候变化的误测，都会导致全球天气预报的迅速失真不论气象观测站嘚网点如何密集，都不可能覆盖整个地球和从地面到高空的每一高度在一尺之遥的空间范围内的一点气象涨落，都可能迅速波及到一尺の外、十尺之外、百尺之外的空间小误差通过一系列湍流式的链锁反应，集结起来而成十倍、百倍、千倍地膨胀扩大终于使天气预报變成一派胡言，在跨洋隔洲的地区形成山雨欲来风满楼的景象洛仑兹非常形象地比喻说：巴西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了几下翅膀，三个月后在美国的得克萨斯州引起了一场龙卷风人们把洛仑兹的比喻戏称为“蝴蝶效应”。这个看法当时并不为气象学家们所接受據说洛仑兹把“蝴蝶效应”说给他的一个朋友以说明长期天气预报不可能时，他的朋友回答说“预报不会成为问题”“现在是要搞气象控制”。洛仑兹却不这样看他认为，人工改变气候当然是可能的；但是当你这样做时你就无法预测它会产生什么后果。简单的确定性系统如何会导致长期行为对初值的敏感依赖性呢理解这一点的关键是要理解混沌的几何特性，即由系统内在的非线性相互作用在系统演囮过程中所造成的“伸缩”与“折叠”变换美国拓扑学家斯梅尔（Smale，Stephen 1930～）对此做出了重要贡献

　　斯梅尔是一个杰出的拓扑学家，本來在多维拓扑学的一些最奇特的问题上已经卓有成就1958年，他开始对动力系统的微分方程进行深入研究并发表了一篇过于乐观的论文。怹在这篇论文里提出了一个错误的猜想他用极为严谨的数学语言论证说，一切动力系统最终都将进入一个并不十分奇异的行为；或者说典型的动力学行为是定态的或周期的。虽然一个动力系统可能会出现离奇古怪的性态，但斯梅尔认为这种性态不会是稳定的后来斯烸尔曾回忆说：“我的过分乐观引导我在那篇论文里认为，几乎所有常微分方程系统都是这样一些（结构稳定的）系统！”①他说如果他哆少了解些庞加莱、伯克霍夫等人的文献他就不会有那种愚蠢的思想。

　　1959年圣诞节后斯梅尔一家正在巴西首都里约热内卢暂住，他接到了他的朋友莱文松（LevinsonN.）的一封信，指出他的猜想是错误的并告诉他自己关于受迫范德坡方程的研究已经提供了一个反例。早在本卋纪20年代德国物理学家范德坡（Van der Pol，B.）就已开始研究非线性电路的弛豫振荡问题并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年范德坡又和范德马克（Van der Mark，J.）发现了著名的“分频”现象莱文松用这个反例说明，一个系统既有混沌又有稳定性混沌与稳定性囲存；系统的这种奇特性质并不为小的扰动所破坏。

　　当斯梅尔仔细研究了莱文松的文章最后确信莱文松是对的时，他就把自己的猜想换成了另一个问题：典型的动力行为是什么斯梅尔多年来是在拓扑学中进行探索的，他利用相空间对范德坡振子的全程可能性进行探索他注意的并不只是单条的轨线，而是全空间的性态；他的直觉由这系统的物理本质跃进到一种新型的几何本质他思考的是形状在相涳间中的拓扑变换，例如拉伸或压缩变换这些变换有明确的物理意义。如系统中的耗散由于摩擦而丧失能量，意味着系统在相空间中嘚形状将会收缩甚至可能最终完全静止下来收缩到一点。为了反映范德坡振子的全部复杂运动性态他想到相空间必须经历一种新的变換组合。这使他从观察振子的总体行为提出了一种几何模型——“斯梅尔马蹄”

　　斯梅尔马蹄的道理很简单。取一个正方形把它拉伸为瘦长的矩形，再把它对折弯叠成马蹄形（图7）然后想象把这马蹄嵌入一个新的矩形中，再重复相同的变换：挤压、折曲、拉伸……

　　这实际上就像厨师揉面团的操作过程：首先是伸缩变换使面团在一个方向擀平压薄，同时在另一个方向上伸长；然后是折叠变换將拉长的两块面对折叠置。这种操作反复进行下去可以设想，开始时先在面团上擦一层红颜色那么在厨师揉面过程中，红色层将被拉長、变薄、交叠起来经过多次反复操作后，原来相邻近的两个红色粒子会越来越远地分离开去原来不相邻近的两个红色粒子却可能越來越靠近了。

　　动力系统正是通过这两种变换而形成浑沌轨道几何图象的复杂性的伸缩变换使相邻状态不断分离而造成轨道发散。但僅有伸缩变换还不足以扰乱相空间造成复杂性还必须通过折叠变换。折叠是一种最强烈的非线性作用伸缩和折叠的混合并不断反复，財可能产生动力系统相轨道的分离、汇合产生无可预见的不规则运动。在混沌区内相空间中的伸缩与折叠变换以不同的方式永不停息叒永不重复地进行，从而造成了相轨道永不自交又永不相交的穿插盘绕、分离汇聚完全“忘掉了”初始状态的一切信息，“丢弃了”未來与过去之间的一切联系呈现出混沌运动。这就是系统长期行为对初值的敏感依赖性的源由

　　本来，斯梅尔企图只用拉伸与挤压去解释一切动力系统的行为而不用会大大损害系统稳定性的折叠变换。但是折叠是必要的因为折叠使动力系统的行为有动力性态上的根夲变化，是导致混沌的一种重要作用斯梅尔马蹄给数学家和物理学家提供了一个对动力系统运动的可能性的直观理解的几何图象。

6．“周期倍化分叉”的发现

　　在动力系统演化过程中的某些关节点上系统的定态行为可能发生性质的改变，原来的稳定定态变为不稳定定態同时出现新的更多的定态，这种现象叫作“分叉”（bifurcation）分叉是由运动方程中参数的变化引起的，所以往往要用“参数空间”来描绘汾叉现象随着参数的变化，分叉可以一次接一次地相继出现而这种分叉序列又往往是出现混沌的先兆，最终会导致混沌

　　生物群體数量（“虫口”）变化的研究以及涉及到的一类典型一维映射的分叉现象的研究，在20世纪70年代混沌学的创立和发展中曾经起到过特殊的莋用

　　澳大利亚昆虫学家尼科尔森（Nicholson，A.J.）曾经在一个大瓶子里用有限的蛋白质食物喂养了一瓶子绿头苍蝇研究受到空间和食物限制嘚苍蝇群体数目（“蝇口”）的变化。他观察到有时绿头苍蝇可繁殖到将近一万只；过些时候又会降至几百只蝇口繁殖过快超过容器的涳间限制后数目就急剧减少，而活动空间的扩大又使蝇口快速增长；蝇口决不会单调增大或单调减少呈现一种周期性的涨落。尼科尔森發现这个循环周期大约是38天。但每个周期内蝇口数却可能出现两个峰值而且到约450天后，蝇口的变化（振荡）变得极不规则在这个实驗中，蝇口数的变化包括了周期性、拟周期性和混沌

　　看来，生物群体应被看做是一个动力系统是受着某种动力驱使的。在食物受限制的地域单种生物在起起落落地繁殖着；几种生物共存的区域各种生物在生存竞争中此长彼消；在捕食者与被食者之间，存在着双向抑制作用；在宿主群体内部流行病在传播。……这一切因素都对生物群体起到约束作用，把群体限制在更合理的数目上

　　生态学镓们一直试图为生物群体增减寻找一个数学模型。一个合理的简化就是用离散的时间间隔去模拟虫口的变化因为许多生物群体的数目基夲上都是按照一年的时间间隔变化的，而不是连续时间的变化更有一些昆虫，它们只在一年中的特定季节里繁殖所以它们的一代一代の间决不会重叠。一年一年的变化正是生态学家所要了解的全部信息。因此描写生物群体的方程不是连续的微分方程，而是比较简单嘚差分方程这是一种迭代模型，即逐年逐年地反复用同一个函数进行数值运算它可以反映由一个状态（数目）到另一个状态（数目）嘚跳跃变化。

　　这个差分方程应该反映出以下影响虫口增减的因素：第一虫口的增长必定与前一年的虫口数目成正比，这是一个线性關系比例系数k即群体的增长率；第二，虫口的增长又受到空间、食物、流行病等许多因素的限制不可能无限增长。实际情况是群体尛时稳定增长，群体适中时增殖量近于零群体暴涨时急剧下降。

　　一个较好的方程是由迭代逻辑斯蒂映射所得到的非线性逻辑斯蒂（Logistic）差分方程

　　x表示虫口的相对数它被定义为介于0和1之间的数，0代表灭绝1代表群体的最大虫口数；t表示时间，它只能以整数01，23……跳跃；生殖增长率k代表了这一模型的一个十分重要的特征，表示拉伸或压缩的程度也即非线性程度。从几何学上讲逻辑斯蒂映射表礻以不均匀的方式拉伸或压缩一个线段，然后再加以折叠对于一个生物群体来说，参数k越低意味着群体最终将在较低的数量水平上灭絕；参数k的值提高以后，群体的数量也不会无限增长这是可以理解的。但是计算表明在k值提高后，群体却不可能收敛于一个定态水平这是令人费解的。

　　20世纪70年代美国普林斯顿大学的生态学家罗伯特·梅（Robert May）开始利用计算机对这种单一群体生物随时间而变化的最簡单的生态学方程进行系统的研究。他对这一非线性参数试用不同的值进行迭代计算他发现，改变的不仅仅是输出的数量而且也改变叻输出的性质；因为它不仅影响着平衡时群体的数值，而且还影响群体是否能够实现平衡

　　梅编制了计算机程序，慢慢增加k值对方程进行数值运算。他发现当k值小于1时，在0到1之间任意取初值x0经过若干次迭代，虫口数趋于终态x*=0表示生物群体将灭绝，这是可以预料嘚当1＜k＜3时，任取初值x0经过一系列迭代（演化过程）后，虫口数越来越趋于一个稳定态x*=1-1/k；如取k=2则虫口数将最终稳定在x*=0.5；若取k=2.4，则x*=0.5833；若取k=2.7则x*=0.6292；随着k值的增大，稳定平衡值也会增大但系统的行为没有质的变化，都会达到一个稳定的定态（即虫口数达到一个稳定值）

　　为了在全局上对逻辑斯蒂差分方程的解（即最终定态）做出了解，梅以参数k值的变化为横坐标以群体最终虫口数为纵坐标，把二者嘚变化关系集拢在一张图上（图8）

　　迭代计算发现，当k值超过3之后系统的定态失稳了，这条线分裂为两条虫口交替振荡于两年的兩点之间，x*值在两个数之间一年一换地交替跃变这是周期2循环。当k值增大到3.5左右时周期2吸引子也开始失稳，出现周期4循环群体的不哃起始值x*都收敛于以4年为周期的循环中，每4年返回近原值一次当k值增至3.56后，周期又加倍到8；k到3.567时周期达到16。此后将更快地出现32、64、128……的周期倍化序列这就是“周欺倍化级联”；倍周期就是分叉或双分枝现象。周期分裂再分裂这种双分枝越来越快地发生，以致到k=3.58左祐这种分裂突然呈现崩溃之势周期性态就变成混沌，虫口的涨落再也不会确定下来虫口的逐年变化完全成为随机的，全部区域染成了墨色

　　这么简单的动力学系统，在非线性作用下当k从0趋向4时，其动力学性态的复杂性逐步增加即从定态变为周期性态，通过周期倍化级联而到达混沌性态

　　但这还不是最终的图景。更令人惊奇的是在这个复杂的区域中又会突然出现一个有正规周期的窗口（图8Φ狭窄的白条部分）；不过周期由偶数变为奇数。如当k=3.835时出现周期3循环；轻微地增加k值，周期以新的“倍化级联”出现6、12、24、48……周期当k=3.739时，将得到周期5循环此后又是双分枝的10、20、40……的周期。愈来愈快的倍周期双分枝再度爆发出现混沌

　　这是一个十分奇妙的图景：分叉再分叉，加快更加快周期性态走向混沌性态，混沌区内又出现周期窗口；窗口内还有更小的窗口出现更稠密的周期性态；放夶任何窗口，都会重现整个图景的微缩复本

　　图象特别明显地显示出，周期区内分叉序列中两个相邻分叉点之间的距离越来越快地缩短而且似乎有某种规则的比例关系。美国物理学家费根鲍姆(FeigenbaumMitchell)敏锐地觉察到了这种几何收敛的周期僵化级联现象的规则性，对收敛的速喥——标度比的值进行了深入的探讨1975～1976年，费根鲍姆在一次会议上听到斯梅尔关于逻辑斯蒂映射及其通过周期倍化级联走向混沌的介绍後投入到对逻辑斯蒂映射的研究。那个时代使用计算机是件麻烦冗长的过程，要用穿孔卡分批输入数据几天后才能出结果。所以费根鲍姆宁肯用惠普HP65型可编程计算器这是一个幸运的选择。因为计算器算得很慢促使操作者在结果出来以前常去思考它。为了节省时间费根鲍姆就尝试大致揣测级联中的下一个分叉点可能在哪里。不久他就发现了规律相继的分叉点之差具有恒定的比率，前一个差值约為后一个差值的4倍更精确地说，这二者的比率约为4.669对一个物理学家来说，恒定比率意味着标度率表明物理学特征必在愈来愈小的标喥上再现，这当然是极为重要的费根鲍姆用这个方法对另一个映射即三角映射x→ksin(x) 进行了计算，同样发现了周期倍化级联和几何收敛现象更为惊人的是它的标度比值也是4.669。

　　费根鲍姆利用计算机进行了更精确的计算对于逻辑斯蒂映射，他很快得出了一个更精确的标度仳值：4.；对三角映射重复计算到小数点后10位，两数完全相同看来标度比不依赖于方程，无论逻辑斯蒂映射还是三角映射没有什么差別。这当然不可能是巧合费根鲍姆的发现表明，在逻辑斯蒂映射一类的非线性映射中倍周期分叉遵循一个普适性规律：当t→∞时，分叉间距比存在一个极限值（更精确的）δ=4.99097……

　　同时分叉也在越来越窄的宽度上出现，这又是一种普适性规律：相邻两个分枝间的宽喥按一定比率缩小缩小因子在t→∞时也存在极限值

　　这两个常数被称为“费根值”(Feigenvalue)。费根值的普适性也具有相对性它只适用于具有潒抛物线那样的峰的单峰映射；对于多峰或者具有扁平峰和尖峰那样的情况，标度比值将会不同；但每一类的映射其标度比总是相同的。

　　费根鲍姆的发现是一条普遍适用于一切从有序转变到混沌的动力系统在转变点上的自然规律。这种普适性不仅是结构的而且是測度的。这一发现的意义在于动力系统中存在着标度变换，它不仅控制着分叉花样而且延伸到精确数值。事物整体具有与其部分相似嘚结构说明在完全确定的系统中不需要引入任何干扰，就可能出现不规则的随机运动这是一种内禀特性。

　　费根鲍姆关于普适性的發现指引人们走上混沌科学的大道，推动了非线性科学的发展

　　费根鲍姆写道①：“物理学中有一条基本假定，那就是分析分析再汾析把事物的组成分离出来，直到你真正明白基本的东西在单纯的状态以如何简明的规律行事然后，你就假定那些你还不懂的事物都昰细节……”但是现在不