对任意整数和任意实数，

如果是偶数则伯努利不等式式对任意实数成立。

可以看到在或时等号成立；

而对任意正整数和任意实数，有严格伯努利不等式式：

　　伯努利伯努利不等式式经常用作证明其他伯努利不等式式的关键步骤。

伯努利伯努利不等式式的一般式为：

當且仅当n=1时等号成立。

当时易知上述伯努利不等式式成立，

下面把伯努利伯努利不等式式推广到实数幂形式：

如果则结论是显然的。

洳果作辅助函数，那么则；

1.，则对于；对于，严格单增，因此在处取最大值0，故得

2.或，则对于；对于，严格单减，因此在处取最小值0，故得

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