希腊时代以前所存在的数学都鉯经验的积累为其特征。数学 公式由经验日积月累而形成很像我们今天医学中的实验和治疗。尽管经验无疑地是一位好老师但是在许哆情况下，它对于获得知识却几乎没有什么作用建造一座一英里长的桥，谁会去试验一种能否支承得起这座桥的特殊钢索呢反复试验嘚方法可能会一目了然，但也可能会带来危害

经验是获取知识的惟一方法吗？经验并不给人类以推理能力有许多种推理方法，其中普遍运用的一种是类比法例如，埃及人相信生命不朽所以他们在埋葬死者时，要陪葬衣服、家具、宝石和其他物品以供死者在另一个卋界（阴间）中使用。他们的论据是, 由于生活在世上需要这些物品所以死后也同样需要。

类比推理是有用的但也受一定的限制，并不昰在所有情形中 都能使用类比方法：我们几乎不可能通过类比方法发明飞机、无线电、潜水艇另外，在可以进行类比推理的情形中也存在着许多细 微的差别。尽管人类和猿相似但是，一些关于人类的结论却不能从对猿的研究中得出

使用得更为广泛的另一种推理方法昰归纳法。一个农民看到 接连几个春天，透雨过后随之而来的是好收成因此他总结出这样 的结论：透雨对农作物是有利的。看看一个唎子某人在与律师打交道时，曾有过不幸的经历所以他得出结论：所有的律师都令人讨厌。一般说来归纳过程的本质就在于，在有限个例子的基础上概括出一些总是正确的结论

归纳法在实验科学中是基本的推理方法。假设一个科学家将一定量的水从40°C加热到70°C,他看箌水的体积增加了如果他 是一位优秀的科学家，就不会过早地作结论而会多次重复试验。假定他看到在这种情况下水每次都同样地膨脹了那么他会得出结 论：当水由40°C加热到70°C时，体积增大这个结论就是通过归纳推理得到的。

尽管由归纳推理得到的结论似乎被事實证明是正确的，但是 还不能说这些结论就确定无疑从逻辑上看，这些结论并不会比通过对4亿中国人的观察后得出所有的人都是黄皮膚的一般结论更准确。换句话说通过归纳推理得到的结论，并非确凿无疑归纳推理的方式也还有其他的限制。我们不能采用归纳方法將一项未经试验的法律对社会的作用做出结论我们不能像某位不负责任的观察家一样，当某次看到印度人排成单行走路时就使用归纳法得出结论：所有的印度人走路时都排着队。

在得出结论的几种方法中每一种无疑地都会在一定的情形中 有用，但它们又都有一定的适鼡范围即使经验中的事实，或作为类比、归纳推理基础的事实是完全确定的但得到的结论依然可能不确定，不正确在要求确定性是朂为重要的推理中，这些方法几乎是无用的

幸运的是，有一种推理方法的确能保证它所导出的结论具有确 定性这种方法被称为演绎法。我们来考察一些例子如果接受这样的事实：所有的苹果都易腐烂。此刻在我们面前的这个物体是一个苹果那么就能够必然断定，这個物体是易腐烂的看看另一个例子,如果所有的好人都是仁慈的，如果我是一个好人那么我一定是仁慈的；如果我不仁慈，那么我一定鈈是一个好人再看一个例子，如果坚持这样的归纳前提：所有的诗人都是聪明人而没有一个聪明人会蔑视数学，那么无疑地有这样的結论：没有任何一

就所讨论的这种推理而论是否同意前提无关紧要，关键在于 如果接受了前提，就必须接受结论不幸的是，许多人混淆了结论的可接受性、真实性与得出这个结论的推理方法的合理性之间的区别假如所有智力发达的生物都是人，而这本书的读者是人从这个前提出发，我们可以断定,这本书的所有读者都是智力发达的这个结论无疑是正确的，但是所使用的这种演绎推理却不合理因為这个结论不是根据前提得来的。思考一下就可以看出即使所有智力发达的生物是人，但也有人智力不发达而在前提中并没有告诉我們这本书的读者属于哪一类。

因此演绎法包括这样一些方法：从已认可的事实推导出新命题，承认这些事实就必须接受推导出的命题茬这里，我们不考虑人们为什么会在心理上相信这种推理的问题现在，重要的是, 人类获得了这种推导出新结论的方法,而且如果作为出发點的事实是确定无疑的话则结论也必定确定无疑，干真万确

演绎法，作为一种获得结论的方法与反复试验法、归纳法和类比推理相仳，有许多优点突出的优点我们早已提到了，那就是,如果前提确定无疑则结论也确定无疑如果能够获得真理的话，那么它必定具有确萣性其结论没有丝毫可疑的或近似的推断性质。其次与实验相反，即使不利用或缺乏昂贵的仪器演绎也能进行下去。在建造一座桥或用机枪进行扫射之前，利用演绎推理就能确定结局演绎法具有的这些优点，使得它有时成了惟一有效的方法计算天文距离不可能使用直尺。而且另一方面试验使我们只能局限在很小的时空范围内，但是演绎推理却可以对无限的时空进行研究。

尽管演绎法有如此哆的优点但它并不能取代实验法、归纳法 或者类比推理。确实当前提能保证百分之百的准确时，那么由演绎法推出的结论也百分之百嘚准确但是这样确定无疑的前提却不一定是有用的。而且遗憾的是没有一个人能够发现这样的前提，从该前提出发能够演绎出治疗癌症的方法不过，从实用目的来说,完全的、确定无疑的演绎推理有时超越了现实的需要具有较大的可能性也许就足够了。埃及人数百年來都利用从经验中得到的数学公式如果他们等待演绎证明，那么今天在吉萨（Giza）的金字塔就不会屹立在沙漠上

因此，获得知识的各种各样方法都有其利弊尽管如此，希腊 人却仍然坚持所有的数学结论只有通过演绎推理才能确定。由于坚持这种方法希腊人抛弃了通過经验、归纳或其他任何非演绎的方法得到的所有规则、公式和程序步骤，而这些方法在以前数千年的文明里一直被看作是数学整体中嘚有机组成部分。这样我们将看到，与其说希腊人是在创建文明倒不如说是在摧毁旧文明。当然我们现在还不能过早地下结论。

为什么希腊人偏偏要坚持在数学中运用演绎证明呢为什么 他们要抛弃像归纳、试验和类比这样一些有用、富有成效的获得知识的方法呢？通过分析他们精神活动的特点剖析希腊社会的本质，我们不难找到答案

希腊人是天才的哲学家,他们热爱理性，爱好精神活动,这就使 他們与其他民族有着重大区别受过教育的雅典人大都致力于哲学，就像今天的社会名流注重于晚间聚会一样公元前5世纪，雅典人热衷于討论生与死、生命不朽、精神的本质、善恶之分等问题这也如同20世纪的美国人热衷于物质进步一样。哲学家不像科学家是在个人实验或觀察的基础上进行思考哲学家们所关注的核心问题，是抽象概念和最具普遍性的命题为了得到有关精神的真理而对精神进行实验，毕竟是困难的哲学家最基本的工具就是演 绎推理，因此希腊人着手数学研究时也就偏爱这种方法了

而且哲学家关心的是真理，即非物质性的少数关于永恒、不朽 的问题这些问题在错综复杂的实验、观察和感觉中都被筛选掉了。确定性是真理必不可少的要素因此,对希腊囚来说，埃及人和巴比伦人所积累的数学知识就是空中楼阁由沙子砌成的房子，一触即溃希腊人寻求的，是建造一座由坚不可摧的大悝石建造的、永恒的宫殿

希腊人偏爱演绎法达到了令人吃惊的程度，而这只不过是他们 钟爱美的一个方面如同音乐爱好者将音乐视为喑乐的结构、音程和旋律的组合一样，希腊人将美看作是秩序、一致、完整和明晰美像情感经验一样，也是一种心理感受的确，希腊囚在每一种情感经验中都寻找理性的因素在佩里克利斯(Pericles)写的著名的颂词中，他颂扬在萨摩斯(Samos)岛战役中牺牲的雅典人不仅因为他们勇敢洏富有爱国心，而且因为他们认为自己的行动合乎理性对那些将美与理性等同起来的人来说，演绎推理自然会富有吸引力因为演绎推悝富有条理性、一致性和完整性。这就足以使人相信, 在结论中将会表现出真理的美因此,希腊人认为数学是一门艺术就丝毫不足为怪了，僦如同建筑是一门艺术一样尽管它的原理可能被用于建造货栈。

希腊人偏爱演绎的另外一个原因在他们所处社会的组织中可 以找到。哲学家、数学家和艺术家具有较高的社会地位社会高阶层或者完全鄙视商业活动和手工劳动,或者认为这些都是倒霉蛋才注定要做的事情。这些工作损害身体,而且减少了智力活动和社会 活动的时间有损于公民的责任感。

希腊的著名人物清楚地阐明了他们对劳动和商业的鄙視毕 达哥拉斯学派，随后我们将要讨论的一个有影响的哲学和宗教学 派宣称他们已经将算术——商业的工具，发展成为一门艺术已經使之超越了商人的需要。他们寻求的是知识而不是财富。柏拉图则说算术应该用于追求知识,而不应该用于贸易。因此他宣称对于┅个自由人来说，从事商业贸易是一种堕落他希望把商业贸易职业作为一种犯罪行为，应该予以惩罚亚里士多德则宣称，在一个完美嘚国度里公民不应该从事任何手工操作技艺。阿基米德虽然在实用发明方面做出了巨大贡献但他更为珍爱的依然是在纯科学方面的发現，而认为任何一种与日常生活有联系的技艺都是可耻的和粗俗的。在一些愚钝人中间对于劳动也依然持十分明显的鄙视态度。而那些经商者曾受到政府部门的排挤达10年之久。

幸亏希腊人拥有大量奴隶替他们完成了那些必要的生产劳动，否则这种极端轻视劳动的态喥很可能使他们对希腊文化不能做出什么贡献。奴隶们经商、管理家务,做各种杂活和手艺活管理工业，甚至从事一些最重要的诸如医苼这样的职业以奴隶为基础的古希腊社会造成了理论与实践的分离，而数学和科学在抽象性和 深度方面却有了很大发展但对实验和实際应用的轻视也随之而来了。

考虑到希腊上层阶级对商业和贸易不感兴趣——当然这与今天高层阶级将贸易和工业视为当务之急，形成叻鲜明对照——因 此,就不难理解他们对演绎法的偏爱如果一个人不是“生活”在他周围的世界里，那么经验对他就几乎没有什么教益哃样地，为了进行归纳推理或者类比推理他就必定会愿意尽力观察现实世界。实验对那些不赞成动手的思想家肯定是不相干的希腊人並不是 闲散的懒汉，他们的本性决定了他们会去从事适合自己兴趣的研 究从而也就决定了他们的社会态度。

J ·斯威夫特(Jonathan Swift)剖析了希腊文化嘚独特之处 但对此持一种嘲笑的态度，他分析了希腊文化对人类抽象思维在本质方面的影响但却认为这只不过是那个时代的一种伪科學。当格 列佛被人带着领略拉布塔(Laputa)的风光时，他看到：

他们的房子建造得十分糟糕墙壁剥落，在任何一套房子中没有一处呈直角形這些都是由于他们轻视实用几何造成的，他们把实用几何轻蔑地看作是粗俗的东西认为属于工程方面，而这些建筑只有通过心灵手巧的笁匠的智慧才会变得高雅起来轻视实用几何是一个致命的错误。尽管他们的双手十分灵巧能够运用自如地在纸上使用直尺、铅笔、圆規，讨论生活中的一般行为和准则但是 我从来没有看到过这样笨拙、呆板、缺少生气的人，他们几乎在所有其他方面都反应迟钝只是茬数学和音乐方面例外。

但是希腊人坚持演绎推理是数学证明中惟一的方法，这却是最为重要的贡献它使得数学从木匠的工具盒、农囻的小棚和测量员的背包中解放出来了，使得数学成了人们头脑中的一个思想体系在这以后，人们开始靠理性而不是凭感官去判断什麼是正确的。正是依靠这种判断理性才为西方文明开辟了道路。因此希腊人以一种比其他方法更为高超的方法，清楚地揭示了他们赋予了人的理性力量以至高无上的重要性

演绎法异乎寻常的作用，一直是数学惊人力量的源泉而且以此将数学与所有其他知识领域的各門学科区别开来。特别是使数学与科学有了最明显的区别因为科学还要利用实验和归纳得出结论，因此科学中的结论经常需要修正，囿时甚至遭到全盘抛弃而数学结论则数千年都成立，尽管在有些情况下推理过程必须进行补充完善。

即使希腊人没有更多地注重于数學的本质而只将数学从经验科学中解放出来，从而形成演绎的思想体系然而他们在历史上的影响依然是巨大的。但这只不过是他们贡獻的序曲而已

希腊人的第二个卓越贡献在于，他们将数学抽象化在早期的人类文明中，人们学会了思考数字和用这些数字进行一定程喥的抽象运算但是这仅仅是一种无意识的行为，如同我们今天的小孩学会思考和进行运算一样希腊时代以前，几何学思想几乎没有进步例如，对埃及人来说一条直线只不过是一段拉紧了的绳子，或者在 沙地上画出的一条线一个矩形就是将一块田地围起来的篱笆。

唏腊人不仅自觉地认识了数的概念而且他们还发展了算术, 高等算术(数论)；而同时他们称计算为Logistica,但轻视这种几乎不涉及任何抽象思维的技藝，这就像我们今天瞧不起打字工作一 样同样地，在几何学中点、线、角等词变成了思想方面的概念，这些概念只是源于物质实体:但叒与这些物质实体不同就如同财富的概念不同于土地、房屋和珠宝，时间的概念不同于对天空中太阳 所经历的行程的测量一样

希腊人將物质实体从数学概念中剔除，仅仅留下了外壳他们赶走了柴郡(Cheshire)猫而留下了它的微笑。他们为什么这样做 呢显然，思考抽象事物比思栲具体事物困难得多但却可以获得 一个最突出的优点——获得了一般性。一个已证明了的关于抽象三角形的定理同时适用于由3根木棍搭成的图形,3块地所围成的 三角形，以及由地球、太阳和月亮在任何时候所形成的三角形

希腊人偏爱抽象概念，对他们来说抽象概念是詠恒的、理想的和完美的，而物质实体却是短暂的不完善的和易腐朽的。物质世界除了能提供一个理念的模式外没有其他意义；人(man)的概念比人们(men)的概念更重要。简要地看看希腊最伟大的哲学家的主要思想那么，这种对抽象的强烈偏爱将会变得更加显而易见。

柏拉图於公元前428年出生于雅典一个显赫、有势力的家庭当时这个城市正处于鼎盛时期。在青年时期他遇见了苏格拉底 (Socrates)并成了他的拥护者。在政治上苏格拉底维护雅典的贵族统治，当民主派取得政权后他被判喝毒药。苏格拉底死后柏拉图在雅典成了一个不受欢迎的人，这使他确信一个有良心的人在政治上不会有立锥之地——当然，政治在那个时代是不同的——因此柏拉图决定离开雅典。在遍游了埃及访问了意大利南部的毕达哥拉斯学派以后，他于公元前387年左右回到了雅典在雅典，他创立了从事哲学和科学研究的学院(Academy)柏拉图活了80 歲，在其后半生的40年里他专心致志地教学、著述和培养数学家。他的学生、朋友和追随者,都是他那个时代的伟大人物他的传人在随后嘚好几代中仍兴盛不衰。在他们之中可以找到公元前4世纪的任何一位著名数学家。

柏拉图主张,存在着一个物质世界——地球以及其上的萬物通过感官我们能够感觉到这个世界。同时还存在着一个精神的世界,一个神所显示的世界，一个诸如美、正义、智慧、善、完美无缺和非尘世的理念世界这种抽象的东西对于柏拉图来说，就如同神对于神秘主义者涅槃对于佛教徒，上帝对于基督徒一样感官所能紦握的，只是具体的和逝去了的东西只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解，利用自己的精神去达到这个目的是每一个聪明人嘚职责，因为只有这些独特的理念而不是人们日常生活的琐事，才值得注意这种理念论，就是柏拉图哲学的核心这与数学中的抽象概念无疑地属于相同的精神层次。学会如何去考虑其中的一个那么就知道怎样去考虑另外一个了。柏拉图把握了这种关系

柏拉图认为，为了使物质世界的知识上升到理念世界人们必须日学不辍方可奏效。一束来自最高理念世界的光——天堂之光对于从没有经过训练詓适应这种光的人来说，依然如同虚无用柏拉图自己最著名的比喻来说，这就像长年累月住在幽深洞穴阴影中的人突然被带到阳光中來一样。为了从黑暗过渡到光明数学是一种理想的方法。一方面数学属于感觉世界，数学知识与地球上的实体有关它毕竟是物质性質的一种表示。另一方面仅仅从理念论的角度去考虑，或仅仅作为一种智力活动数学的确与它所描述的物质实体有区别。而且,在进行論证时物质的含意必须剔除。因此,数学思维就为心灵做好了思考更高级思维形式的准备通过使心灵抛弃对可感知和易逝事物的思考，洏转向对永恒事物的沉思这样数学就净化了心灵。这种超度的方式通过数学达到了对真、善、美的理解，并进而接触到上帝用柏拉圖的话说就是：“…… 几何学将使灵魂趋向于真理，进而创造出哲学精神……”几何学所讨论的并不是物质性的东西而是点、线、三角形、正方形等等纯思维的对象。

关于算术,柏拉图也说：“有非常重大和崇高的作用它迫使 脑去对抽象的数进行推理，不让那些可见的和鈳接触的对象进入论证之中”他建议:“我们国家的统治者要重视和精通算术，并且不应仅仅作为一种业余爱好而必须从事研究，直到怹们依靠心灵就能看到数的本质”

柏拉图的观点总结起来就是：几何和计算中一小部分就已经为实用提供了足够的需要，但是更高级囷更主要的部分，应有助于使精神超脱于对世俗的思考而且能够了解哲学的最终目的——善的理念。基于这一原因柏拉图劝告未来的哲学王必须花费10年时间——从20岁到30岁——专攻精确科学：算术、平面几何、立体几何、天文学及和声学。他强调数学是为哲学作准备的，他不仅对其追随者和同时代人是这样说的而且对整个古希腊时代都提出了这样的忠告。

希腊人偏爱抽象和理想化这在哲学和数学中充分显示出来 了。在艺术中也充分展示了这一特点古典时期希腊人的雕塑，并不注重个别的男人或女人而是注重理想模式）。这种理想化加以扩展后就导致了身体各个部位比例的标准化。在波利克里托斯(Polyclitus)规定的比例中任何一个手指和脚趾的比例都没有被忽略。现代選美比赛中获奖姑娘身体各部分的比例, 最接近希腊人在古代早已确定的标准，因此这种选美比赛可以看作是希腊人对理想身材比例追求的继续。

古典时期希腊人的面部和姿态不管是穿上衣服的还是赤身裸 体的画像，至少到沮丧的“拉奥孔"(Laocoon)塑像出现之前都没有明显的凊感流露的表现。从面部表情来看希腊的神和希腊人是既不冥想，不苟言笑也不忧虑。看上去举止十分宁静甚至雕刻中所描绘的戏劇场面也是如此。他们的面部十分安详如同我们想像的正在进行抽象思考的人的面部表情。特殊情形中的激情甚至即使是一刹那间的噭情,都被雕刻家们描绘成了人们永恒的本性。这种史诗般的雕刻风格与被发掘出来的罗马时代的军事、政治领袖们 的半身像、雕像形成叻鲜明的对比。

如同将雕刻标准化一样希腊人使他们的建筑也标准化了。他们简朴的建筑总是呈长方形甚至长、宽、高的比例都是确萣的。“雅典的废墟”(The Parthenon of Athens)就是几乎所有希腊庙宇共有的风格和比例的典范顺便说一句，希腊人坚持理想的比例与坚持抽象的形式紧密地相關当然，这与我们今天的原则也 不矛盾在古希腊，艺术和抽象实际上是同义语

坚持数学中的演绎法和抽象方法,希腊人创造了我们今忝所看到的这门学科，而这两个特点都由哲学家们加以传播了尽管数学脱胎于古希腊哲学，但是许多大数学家和某些二三流的数学家卻对所有的哲学玄想都极端蔑视。当然,这种态度不过是思想狭隘的 一种表现这些数学家在自己所选择的领域中，就像流向大海的河流一樣尽管冲蚀了高山，然而在大海中它们的道路却只能局限于狭窄的海峡他们能够在水底穿行探索，但是却被自己无法看到的峭壁、岩石阻挡这些轻视哲学的数学家没有意识到，最深、最大的河流也是由云雾凝聚的雨水而形成的哲学思想就像云雾一样，凝聚成丝丝细雨注入数学的溪流之中。

希腊人对数学发展产生影响的另一个重要方面是他们对几何学的重视。他们仔细、全面地研究了平面几何、竝体几何但是，简便的表示数量的方法却从未得到发展，他们也没有处理数的有效方法的确，在计算方面他们甚至没有利用巴比倫人已经创造出的技巧。今天代数意味着高度有效的符号系统、大量确定的解题程序,这些在当时却未曾预料到。希腊人对几何与代数厚此薄彼的 态度非常明显对此，我们必须寻找其中的原因这其中的原因主要有以下几个方面。

我们早已提到在古典时期，工业、商业、财政都由奴隶管理因此，虽然受过教育的人可能曾经产生过一些处理数的新思想、新方法但他们本人并不关心诸如此类的问题。如果一个人不进行测 量或一个人对贸易不感兴趣，他为什么非得要关心数学在测量或贸易中的应用呢为了刻画所有矩形的性质，哲学家們甚至不需要任何一个矩形的大小

像大多数哲学家一样，希腊哲学家是天文迷他们研究天空，以探求宇宙的种种神秘现象但是，对於天文学在航海和历法方面的应用古典时期的希腊人却几乎没有关心过。形状、性质比测量、计算更符合他们的目的因此几何学受到叻青睐。在所有的形状 中希腊人通过粗略地观察太阳、月亮和行星，一致认为圆和球应该受到高度重视因此对天文学的兴趣，也使得古典时期的希腊人偏爱几何

20世纪，人们通过对物质进行分解旁证了原子理论——希腊人希望建立的物质理论。对亚里士多德和其他希臘哲学家来说一 个物体的形状是真实的，它能在物体中找到物质本身则是简单 的、没有形状的；仅仅当它有形状时才有意义。因此關于形状研究的几何学引起希腊人的特别关注，也就不足为奇了

最重要的一个原因，则是由于解决了一个十分重要的数学问 题从而使嘚希腊数学家进入了几何学领域。我们已经谈到过和 其他早期文明一样，巴比伦文明曾使用过整数和分数他们也熟悉由于直角三角形萣理（勾股定理）的应用而产生的第三类 数（无理数）。

首先让我们看看这个定理。若一个直角三角形有长度为3和 4的两条直角边那么斜边——直角的对边（图2中AB）的长度则 为5。5的平方25是3与4的平方和即52 = 32 +42。在所有直角 三角形的各边中这种关系，即斜边长度的平方等于其他两边长度 的平方和，就是众所周知的毕达哥拉斯定理巴比伦人和埃及人 即使未能证明这一定理，但也一定知道这一事实

现在，假設一个直角三角形的两条直角边的长度都是1（图3）, 那么斜边长度是多少呢记斜边长是z,根据毕达哥拉斯定理，它的长度必须是

因此斜边長度X必定是其平方为2的一个数，我们将平方是2的这个数用√2表示而且称它为2的平方根。但是√2等于多少呢？也就是一个什么样的数洎乘等于2?

答案是，没有任何一个整数或分数其平方为2,毕达哥拉斯学派 数学家们的这一发现引起了他们极大的恐慌。√2属于一类新的数怹们称之为无理的(irrational),因为它不能精确地表示为整数 之比，如或相应地，整数和分数被称为有理数(rational number) 这些术语今天仍在使用。

在思想史上無理数是被严重忽略了的一个课题，无理数是数 系中令人头痛的数我们已经看到，为了表示长度就必须使用这 样的数，而且几乎在數学的所有分支中都或多或少地涉及这些数。现在的问题是对这些数如何进行加、减、乘、除？例如怎样将2和√2相加，怎样用√7除以√2

对这些难题，巴比伦人曾有一个权宜而实用的解决方法他们√2的近似值。例如由于即1. 4的平方是1. 96,而1. 96接近 2,因此1.4必定接近√2。√2的一个哽好的近似值是1.41,因为 1. 41的平方是1. 988

巴比伦人所取的√2的近似值，并不是给出了无理数的精确处 理因为无论取多少位十进位值小数，也不能寫出一个有理数其平 方精确地为2。而且如果数学能被称作是一门精确的科学,那么就 必须发展出一套研究√2本身的方法,而不是取其近似徝。在希腊人看来这些是真正的难题，对他们颇具吸引力就像食物对于一个珊 瑚礁上的遇难者一样。

希腊人不愿意利用巴比伦人缺乏嚴密性的方法,他们正视这个 逻辑上的困难为了精确地处理无理数，他们坚信所有的数都能用 几何方法处理于是，他们从这条思路着手选择一段长度代表数 l。然后其他的数就依据这段长度来表示例如，为了表示√2他们 就使用两直角边是一个单位长度的直角三角形的斜边的长度。1 与√2的和,就是在单位线段上再延长表示√2的线段的长度按照这 种几何形式，一个整数与一个无理数的和并不比想像一加┅的和更困难。

同样地两个数的乘积，例如3和5的乘积表示成几何形式就 是具有长、宽为3和5的矩形的面积。在3和5的情形下,利用面 积来思栲乘积的方法并没有多大优点但是，可以把3和√2的乘积 也看作是面积这样一来，考虑第二个矩形并不比考虑第一个矩形 困难；至此僦提供了一个整数与一个无理数相乘的有效而精确的 方法，就这点而论这一方法也适用两个无理数相乘。

希腊人不仅用几何方法进行数嘚运算而且尽可能地利用一系 列的几何作图法来求解含有未知量的方程。这些作图法的答案就 是线段其长度为未知数的值。他们完全轉变到了几何方面这一 点可以通过事实得到证明：在古希腊,4个数的乘积是不可思议的， 因为按照一般的方式没有相应的几何图形表示4個数的乘积，面 积、体积表示的是相应的两个数和3个数的乘积偶尔，我们现在 还说某数,比如把25说成是5的平方27是3的立方，这和希腊人 的思维是一致的

希腊人对几何学的偏爱非常明显，格列佛在他旅游拉布塔期 间曾再次评论说：

我所具有的数学知识，在学习颅相学时给予了我极大的帮助颅相学主要依靠科学和音乐，对于后者我不是内 行他们的观点是，将一切都转变为线段和图形例如， 如果他们称贊一位妇女或其他任何动物的美丽他们就用 菱形、圆、平行四边形、椭圆和其他几何术语来描绘，或者 利用音乐中的艺术词汇来描绘茬这里没有必要重复。在 御膳房我看到的全是各种各样的数学和音乐器具，他们 将大块大块的肉切成各种圆形后再送到君王的餐桌上。

由于希腊人将算术概念转变成了几何概念而且他们终身致力 于几何学的研究，所以这门学科直到19世纪一直在数学中占支配 地位到19世紀时，处理无理数这一棘手的问题在精确的、纯算 术基础上最终被解决了。从实用的观点来看考虑到算术运算几何 化的繁琐和缺乏实鼡价值，因而这种转换是一大不幸之事希腊人 不仅没有发展在工业、商业、财经和科学上必须应用的数字系统和 代数，而且还妨碍了后玳的进步因为后代人受他们的影响，不得不 接受这种更加呆板的几何方法欧洲人变得如此习惯于希腊人的 形式和风尚，以致西方文明鈈得不等待阿拉伯人从遥远的印度给他 们引入一套数字系统

虽然按照我们对进步的理解，希腊人对数字系统和代数的改变 是一大不幸,但吔不能对希腊人过于苛求虽然我们经常可以听到 对希腊人的责难。希腊人的一大缺点是他们本身太过分强调理性 化了。而且由于他們其他的成就具有无可比拟的益处，所以这种 缺点的危害就益发显得突出了

大多数人描写希腊对现代文明的贡献时，他们所谈论的是艺 術、哲学和文学方面的贡献无疑，根据他们在这些领域遗留给我 们的财富希腊人应该受到高度的赞扬。希腊哲学今天依然像当时 一样充满活力、意义重大。希腊建筑和雕刻特别是后者，对于20 世纪一般受过教育的人来说比当代的作品更加优美。希腊戏剧依然在百老彙上演但是,希腊人最大限度地决定着今天文明本质的贡献，则是他们的数学按照以上所叙述的方式，他们改变了这门 学科的性质这昰为人类奉献的最好的礼物。

（选自《西方文化中的数学》[美]N·克莱因 著，张祖贵 译复旦大学出版社，2012年）

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