（2006o玉溪）学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出1
，x12+x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2+2x+3=0的两个根，则x1+x2=-2，x1x2=3，得1
（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；
（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．
一般情况下可以这样计算1
、x12+x22的值，但是若有一根为零时，就无法计算1
解：（1）小亮的说法不对．
若有一根为零时，就无法计算1
的值了，因为零作除数无意义．
（2）所喜欢的一元二次方程x2-5x-6=0．
设方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=5，x1ox2=-6．
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2
将x1+x2=5，x1ox2=-6代入，得
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
=52-2×（-6）一元二次方程根与系数的关系(2)(第11课时)_百度文库
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一元二次方程根与系数的关系(2)(第11课时)|
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702012中考数学精选例题解析：一元二次方程根与系数的关系
2012中考数学精选例题解析一元二次方程根与系数；知识考点：；掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根；【例1】关于x的方程2x2?kx?4?10的一个；分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于；52；，－1；【例2】x1、x2是方程2x2?3x?5?0的两；1412；14；（3）原式＝(x1?x2)?(2x2?3x2)＝；?5＝12；14；
2012中考数学精选例题解析 一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题：【例1】关于x的方程2x2?kx?4?10的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。 答案：52，－1【例2】x1、x2是方程2x2?3x?5?0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）x1?x2
（2）x1?x2
（3）x1?3x2?3x2 略解：（1）x1?x2＝(x1?x2)2?2x1x2＝7
（2）x1?x2＝(x1?x2)2?4x1x2＝32222222221412 14（3）原式＝(x1?x2)?(2x2?3x2)＝7?5＝1214 【例3】已知关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?5?0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。分析：有实数根，则△≥0，且x1?x2?x1x2?16，联立解得m的值。 略解：依题意有：22?x1?x2??2(m?2)?2?x1x2?m?5?2 2?x1?x2?x1x2?1622????4(m?2)?4(m?5)?094由①②③解得：m??1或m??15，又由④可知m≥?∴m??15舍去，故m??1 探索与创新： 【问题一】已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2?4(m?1)x?m2?0的两个非零实数根，问：x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。略解：由???32m?16≥0得m≤12。x1?x2??m?1，x1x2?14m≥02∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论：?x1?x2?0?x1x2?0（1）若x1＞0，x2＞0，则?，解得m＜1且m≠0∴m≤12且m≠0?x1?x2?01（2）若x1＜0，x2＜0，则?，解得m＞1与m≤相矛盾2?x1x2?0综上所述：当m≤12且m≠0时，方程的两根同号。【问题二】已知x1、x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根。 （1）是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??若不存在，请说明理由。32成立？若存在，求出k的值；（2）求使x1x2x2x1?2的值为整数的实数k的整数值。?略解：（1）由k≠0和△≥0?k＜0
∵x1?x2?1，x1x2?k?14k ∴(2x1?x2)(x1?2x2)?2(x1?x2)2?9x1x2
∴k?95k?94k??32 ，而k＜0∴不存在。x1x2x2x1(x1?x2)x1x22（2）??2＝?4＝?4k?1，要使?4k?1的值为整数，而k为整数，k?1只能取±1、±2、±4，又k＜0∴存在整数k的值为－2、－3、－5跟踪训练： 一、填空题：1、设x1、x2是方程x2?4x?2?0的两根，则①＝
；③(x1?1)(x2?1)＝。2、以方程2x2?x?4?0的两根的倒数为根的一元二次方程是 3、已知方程x2?mx?45?0的两实根差的平方为144，则m＝m的值是。4、已知方程x2?3x?m?0的一个根是1，则它的另一个根是1x11x2?＝x1?x25、反比例函数y?kxb）b是一元二次方程x2?kx?4?0
的图象经过点P（a、，其中a、的两根，那么点P的坐标是。6、已知x1、x2是方程x2?3x?1?0的两根，则4x1?12x2?11的值为2二、选择题：1、如果方程x2?mx?1的两个实根互为相反数，那么m的值为（
D、±1?b??bx?c?0的系数满足???2?22、已知ab≠0，方程ax2则方程的两根之比为（
） ?ac，A、0∶1
D、2∶3 3、已知两圆的半径恰为方程2x2?5x?2?0的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有（
D、3条 4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长7x?3(m?212，两直角边的长分别是关于x的方程：12)x?9m?0的两个根，则△ABC的内切圆面积是（
D、94?5、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：x2?(2m?1)x?m2?3?0的根，则m的值为（
D、－5或3 三、解答题：1、证明：方程x2??0无整数根。2、已知关于x的方程x2?3x?a?0的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程2(k?1)x?3x?2a?0有实根，且k为正整数，求代数式k?1k?2的值。3、已知关于x的方程x2?(1?2a)x?a2?3?0……①有两个不相等的实数根，且关于2x的方程x??2x?2a?1?0……②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？4、已知关于x的方程x2?2(m?1)x?m2?3?0
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且(x1?x2)2?(x1?x2)?12?0，求m的值。 5、已知关于x的方程kx2?(2k?1)x?k?1?0只有整数根，且关于y的一元二次方程(k?1)y?3y?m?0的两个实数根为y1、y2。2（1）当k为整数时，确定k的值。（2）在（1）的条件下，若m＝2，求y1?y2的值。6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2?4(m?1)x?m2?0的两个非零实根，问： x1、x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由。22参考答案一、填空题：1、①2；②22；③7；2、4x2?x?2?0；3、±18；4、2，2；5、（－2，－2）
6、43； 二、选择题：ABCDA包含各类专业文献、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、中学教育、生活休闲娱乐、外语学习资料、行业资料、文学作品欣赏、各类资格考试、702012中考数学精选例题解析：一元二次方程根与系数的关系等内容。　
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湖北省武汉为明实验学校九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案|
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一元二次方程的根与系数的关系(人教版九年级上)_中华文本库
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一元二次方程的
根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
请 同 学 们 观 察 下 表
两个根x1、 两根 两根 的和 的积 x2的值 x1 x2 -2/3 -4 1/3 3/5 x1+x2 x1· x2 4/3 -7/2 -7/6 23/5 -4/3 -2 -1/2 12/5 2 1/2 -3/2 4
3x2 -4x-4=0 2x2 +7x-4=0 6x2+7x-3=0 5x2-23x+12=0
请同学们猜想： 对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的 两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b， c 的关系. x1+x2= ? b a x1.x2=
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实 数根是x1，x2 那么x1+x2=? b，x1·x2= c a a 如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么 x1+x2=-p x1·x2= q
【例1】已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一 个根及k的值.
【解析】设方程的另一个根是x1，那么 2x1= ? 6 ∴x1= ? 3 . 5 5 3 k ? 又 +2= ? 5 5
3 答：方程的另一个根是 ? ，k的值是-7. 5
【例2】不解方程，求方程2x2+3x-1=0的
两个根的（1）平方和（2）倒数和.
【解析】设方程的两个根分别是x1 、x2那么 x1+x2 =
? 3 ，x1.x2 2
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22
∴ x12+x22 =（x1+x2）2 - 2x1.x2
1 3 13 ? 2 ? =（ ） -2（ 2 ）= 2 4
x1+x2 （2）— + — = ——— = x2 x1.x2 x1
3 ? 2 ——— 1 ? 2
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程） （1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0 （1）（3，1） （2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
2 （2）（ 2 ， ? ） 3 3
（3）（ ? ，0）
（4）（0，? 2 ）
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个
数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
2 5 ， ? ） 3 3 （3）2x2-3x+1=0（3，1）
（2）3x2+5x-2=0（
（4）x2-4x+1=0（? 2 ? 3 ， ? 2 ? 3 ） （× ）
1.（日照·中考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两
根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（
A.－3，2 B. 3，-2 C. 2，－3
【解析】选A，根据根与系数的关系得： x1+ x2=
-p=2+1=3， x1·x2=q=2，即p=－3， q=2.
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个 根是
3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与 系数的关系，求下列各式的值.
x1 x2 5 （1）（x1+1)(x2+1） ? ? （2）— + — ? ? 14 3 2 x2 x1
4.（珠海·中考）已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m
的值及方程的另一根x2.
【解析】由题意得：(?1) 2 ? (?1) ? m ? 5 ? 0 解得m=-4,当m=-4时，
-1+x2=-(-4), x2=5 所以方程的另一根x2=5.
答： m=-4， x2=5.
通过本课时的学习，需要我们：
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