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一起来学习上帝的语言
你看到的都是招数，不是内功
鸠摩智上少林寺挑衅，使遍七十二绝技，方丈群僧无不骇然。这时，小和尚虚竹跑过来，只瞅了一眼，就说：&这位大师用的明明是小无相功嘛。&鸠摩智慌了。一般人看到的是招数，厉害的人看到的是内功。&
有个本科读经济的学生考去地理学院读研究生，一开始根本没有老师愿意带，因为这家伙一点地理学基础都没有，一年之后，这家伙发的paper超过了所有本科地理出身的学生。然后就有地理学出身的学生向他取经，打开他的论文一看，根本学不来，因为他论文里那些经济学模型在地理系学生看来&数学程度太高深了&。那家伙暗自笑话他们：这些都是很基础的模型，我会告诉你们我是因为数学太差才从经济系转到地理系来的吗？&
有个笑话。当年凯恩斯约拉姆齐喝下午茶，想跟他探讨一下经济学问题，凯恩斯说：&你是我见过的最有天赋的经济学家。&拉姆齐说：&得了吧，经济学哪有什么问题好聊，我下午要去维特根斯坦那儿跟他聊聊逻辑哲学呢。&&
陆游说：&汝欲学作诗，功夫在诗外。&你在一个行当里面学到的都是招数，是行业规矩，它保证你有资格进入这个领域。但是，在这个领域你能达到多深的造诣，这是内功，内功的训练，可能往往要超出这个领域之外。所以，少林寺诸高僧抱着七十二绝技的招数啃，一人啃一门绝技，啃到头最多一人身兼十三门绝技，根本无法和番僧鸠摩智相抗衡。要身兼七十二门绝技，那就要用到内功心法，内功心法在哪呢？不在武学书里，在佛经里。&
这就带来一个很严肃的问题。你想走捷径，想从最近的路登上山顶，但当你从山下出发时，根本不知道那条路最短。你看上去最短的那条路可能只是第一段比较短，再往后就非常绕了。&
钱穆先生是历史学家，奠定他学术地位的两部书是《先秦诸子系年》和《刘向歆父子年谱》。他因为这两部书而从中学语文老师变成大学历史教授。别人即使可以批评他历史观，和他意见相左，但这两部书的价值没有人能够否认，因为这里体现出来的是硬功夫，是干货，在同一个领域没有人能做到他那么硬。&
这两部书是钱穆年轻时的作品，可是，他在将近六十岁时说了这样的话，我读了感到惊心动魄&&&吾数十年孤陋穷饿，于古今学术略有所窥，其得力最深者莫如宋明儒。自问薄有一得，莫非宋明儒之所赐。&&
这乍一看是谦虚得过头了：&我没有什么学问，如果一定要说有的话，也就是在宋明理学方面有点小心得。别的成绩都不算啥。&再一想是骄傲得过头了：&我在历史领域的那些成果都不重要，跟我在理学方面的研究相比，根本不值一提。&但凡了解的人都知道，钱穆在近百年来的历史学界，是数一数二的人。说出这话来，那不是骄傲是什么？&
时间久了，我才慢慢体会到，钱穆先生说这话，是心平气和的，是既不谦虚也不骄傲的，是的论，是金针度人的话，只是一般人察觉不到。为什么察觉不到呢，因为一般人只看得见招数，看不见内功。你读罗素谈幸福的书，读叔本华谈智慧的书，你觉得他们谈的太到位了，但你不知道，人家平时思考的是形而上的问题，内功在那里，有了内功，比划一些招数又有何难。&
你去看范文澜编的古代史，一股马列气息扑面而来，跟钱穆的古代史决然不同。别的领域就算了，比如说经济学，我也是读高鸿业入门的，后来读范里安，完全矫正过来了，中毒不深。但是像历史、文学这些领域，先入为主，中了毒再解毒，是一件相当困难的事情。&
比如文学史方面，袁行霈的《中国文学史》和龚鹏程的《中国文学史》相去太远。袁行霈认为唐诗是中国古代诗歌发展的一座高峰，空前绝后。龚鹏程认为，清末民初才是诗歌空前绝后的高峰。谁对谁错呢？大家都认为是唐朝是高峰，那是因为一般人看的是招数，要看内功，必然是龚鹏程说的对。&
看招数，看到头也就是这个境界&&你翻开奥古斯丁的《忏悔录》，看到他问上帝的那些话，然后想到张载的&天地之塞吾其体，天地之帅吾其性&&&这不是很类似的想法吗？对，看招数，看到这个地步就到头了。看内功就不一样，你读《伊川击壤集》，邵雍根本没有大段大段用庄子的典故，但你读得仔细，里面分明是庄子的气味。&
有次我看到某领导撰写的一幅对联，就对旁边人说，这位领导肯定喜欢读《老子》。他惊讶地问我：&你怎么看出来的？该领导案头常备的一本书就是《老子》。&我说：&你看这对联里，他和&道&相对仗的字是&名&，这是武功家数，熟悉《老子》的人很自然就这么用了。如果他对儒家更熟悉，他更有可能拿&天&来对仗。&&
听一个人说话，并不一定能了解他的真实想法，他的真实观点可能不是他想要表达出来的（他不是三体人）。但你如果留意他说话的方式，细心的话，就能抓住他隐藏在话语背后的态度，因为他的表达方式是和思维方式相关的，而思维方式一定会影响到他的真实观点，想隐藏真实观点很容易，但想隐藏思维方式却很难。就像一个习武之人，隐藏招数很容易，但隐藏内功就太难了。&
孔子说：视其所由，观其所以，察其所安，人焉廋哉？&
所由、所以、所安，这些都是内功。你把招数丢掉，去看内功，这人就没有什么可以隐藏的了。但有一个前提，你的内功要比他高。&
来源：/note//
费马的最后定理
为了人类心智的荣耀（转自人人网韩旭日志）
0、最近在啃一本数学书（GTM228, A First Course in Modular Forms，强推），第一次领略到了整个数学大厦的壮丽宏伟，特此记录一例，希望能与你分享到同样的风景。本来这种学术文我是想在Blog上打的，但是那就意味着我得精益求精的打一篇文章，这工作量太大了，所以就在人人上粗糙的打一下吧&&&1、拉格朗日证明了每个正整数都可以表示成4个整数的平方和（我记得这段历史似乎还和费马有关，但记得依稀不那么真切了=.=），现在我们考虑这样一个问题：若要将正整数n写成4个整数的平方和，有多少种写法呢？更一般的，若要将n写成k个整数的平方和（有序，正负算2个），有多少种写法呢？比如1 = 0^1+1^2 = 0^2 + (-1) ^2 = 1^2 + 0^2 = (-1)^2 + 0^2，共有4种写法。表面看上去，这是一个纯粹的数论问题，而且似乎无从下手。然而数学家的工作就是揭示抽象世界的内在联系，这个问题也最终通过一个看似风马牛不相及的方法得到了解决。沿途，无数idea闪耀，各个数学分支交错纵横融会贯通，回头看来着实壮丽。&&****************************************************************************************
Warning：以下部分很数学，患有数学恐惧症的孩子请快速扫一眼感受一下后，直接跳到后面的标记处&&****************************************************************************************&1.1、首先，我们记r(n,k)为把正整数n写成k个整数平方的和的方法数，我们就是要求它。不难发现，r(n,k)等于所有r(s,i)r(t,j)的和，其中i+j=k固定，s+t=n取遍所有正整数。
注意到这个关系很像多项式乘法，所以我们考虑构造一个函数，所谓生成函数：
这里\tau（人人不能打latex真是着急=.=）是变量，k是参数。其中变量\tau取值在上半（复）平面。等式右边是展开成的Fourier级数。如果我们能通过另一种方法再得到这个函数的Fourier展开的话，对比一下系数，r(n,k)就求出来了。下面的剧情就真的像神一样展开了。我不太相信数学家是因为这个问题而发展出下面一套理论的，反过来，应该是理论建立好后发现可以解决上面那个小问题。所以我这里的叙述应该和历史是反的。首先，由之前r(n,k)与r(s,i)r(t,j)的关系，不难发现如下等式成立（当然严谨的证明，需要证明那个级数是绝对收敛的，不然不能交换次序，不过这里就不涉及技术细节了）：
所以，如果我们把\theta(\tau, 1)求出来后，\theta(\tau, n)也就知道了，或至少有一定信息了。下面，我们考察一下函数\theta，看看它有什么不变性。一个不难发现的等式是：
另一个很难发现的等式是：
对于偶数k，上述两个性质立刻会让人想到一个东西：所谓模形式，modular form。&1.2、在这之前，先还要介绍两个概念：群和线性空间，我本想偷懒绕开他们，但发现绕不开=.=。粗糙的说，所谓一个群，就是一个元素间可以做运算的集合。比如集合{黄瓜，苹果}，就是光秃秃的一个集合。但如果我们定义：黄瓜@苹果=黄瓜，黄瓜@黄瓜=黄瓜，苹果@苹果=苹果，那么这个集合就在&@运算&下构成了一个群。当然这个运算是要满足一些性质的，这里就不多说了。所谓线性空间&&我们这里就只考虑复数（域）上的线性空间吧&&首先它本身是一个群（应该是交换群，就是群上的运算满足交换律），然后它还能跟复数做乘法，得到的结果还在那个群里。比如所有复数值的n个分量的向量，就构成了一个复数域上的线性空间。关于线性空间最关键的一点是，它有一组基，使得其中所有元素都能用这组基表达出来。这组基的个数称作空间的维数。比如(1,0),(0,1)就是实数域上2维实数值向量构成的线性空间的一组基。粗略介绍了如上两个概念后，我们来介绍模形式。模形式的定义细节有3条，两条是说函数在上半平面全纯（不解释=.=，就理解成&性质很好&吧）以及在无穷点全纯。剩下一条描述了其在一个矩阵群作用下的&几乎不变性&：
其中SL2(Z)是所有元素取整数、行列式为1的矩阵的集合，\Gamma是它的一个满足一定条件的子集，具体满足什么条件这里也先不着急说。。。我们把满足上述条件的f称作关于\Gamma的k阶模形式，它们在\Gamm的作用下几乎不变，仅仅是多了一个系数。将它们的全体构成的集合记做
不妨称之为模形式空间（或严密地说，关于\Gamma的k阶模形式空间）。我们发现任意两个M_k(\Gamma)中的元素f,g，它们的和也在其中，且任意一个复数z乘上f后，zf也在其中。所以我们发现M_k(\Gamma)构成了一个复数域上的线性空间。在回到之前求r(n,k)的问题。在那里事实上我们发现了\theta(\tau,k)在如下四个矩阵的作用下满足k/2阶模形式的要求：
所以\theta(\tau,k)关于这两个元素&生成&的群成为了k/2阶模形式。所谓由几个元素生成的群，就是将所有能通过这些元素间的运算得到的东西汇集在一起构成的集合，它在原运算下仍然是一个群。比如这里，就是这四个矩阵随意做乘法，求逆，再乘法，再求逆等等，最后将所有得到的结果放在一起，构成一个群。那么由这4个矩阵生成的群究竟是什么呢？可以证明它是下面这个东西：
就是SL2(Z)中所有左下角元素为4的倍数的那些矩阵构成的群。出于之后将会明了的原因（for the reason which will be clear soon...=.=），我们再考虑下面这个特殊一点的子群：
由上面的分析，我们有
前面已经说过，模形式空间是一个线性空间，所以若果能找到它们的维数，以及相应的一组基，就能表达出\theta了，进而就能知道每一个Fourier展开的系数是什么了，从而r(n,k)就知道了！而之所以这里考虑\Gamma_1而不是\Gamma_0，是后来发现关于\Gamma_1的空间的维数公式和基都能有很漂亮的表达式。那么，要怎么求出模形式空间的维数和基呢？这又是一段信息量极大的跌宕起伏的故事&&&1.3、如果下把下文中出现的所有名词一一解释，那本文篇幅就将无限长了，所以如果你碰到了没见过的名词，就默认它很高端，然后跳过就好了=.=。。。首先，注意到对于0阶模形式，它实际上就是在\Gamma中元素作用下不变的函数，这样一来，虽然这样的函数f是定义在上半平面H上的，我们可以将其视为定义在H模掉\Gamma的商空间上的。我觉得这个思想非常漂亮，这里解释一下什么叫&模掉&（厄，至少我这么读，但愿正规读法也是这样=.=）。比如我们有一个函数f，定义域是6个人：S={韩旭，韩九，韩日，小明，小花，小草}，然后碰巧f的取值满足f(韩旭)，f(韩九)，f(韩日)都等于0，f(小明)，f(小花)，f(小草)都等于1，那么我们可以将f视为作用在两个&东西&上，一个是姓韩的人全体，一个是姓小的人全体，这个新的函数的定义域就是S模掉{姓}。总之，当你需要将一堆东西视为一个整体时，就模掉一个关系。当然，具体的数学表述没这么粗糙，涉及到一些概念，就不详述了。我们记
为上半平面模掉\Gamma后得到的东西。可以为它附上一个拓扑（不解释=.=），变成一个拓扑空间。我们可以证明，这个空间是Hausdorff的（不解释=.=），且可以附上一个atlas（不解释=.=），从而它便成为了一个黎曼流形（不解释=.=）（似乎作为流形还需要满足第二可数性（不解释=.=），不过由于上半平面显然是满足的，所以这一点没有问题）。可是这个流形并不让人满意，因为它不是紧的（不解释=.=）。不过没关系，我们可以将它紧化（不解释=.=），得到一个紧的黎曼流形，记为
为什么要费这么大周折呢？因为关于紧的黎曼流形，有一堆很好的性质，以及一堆现成的结论可以利用。其中一个我们将要用到的是所谓Riemann-Roch定理。在叙述它之前，我们还得先引入一些概念=.=（for the reason will be clear soon =.=）首先，在一个紧黎曼流形X上定义一个所谓divisor的东西，它是如下的有限的&形式和&，即一个没有任何意义的和式：
对于每一个定义在一个紧黎曼流形上的非零的半纯（不解释=.=，简单地说，就是可以取值为无穷的函数）函数f，我们都可以定义出一个divisor：
其中v_x(f)是f在每一个点处的阶（不解释=.=）。由复分析我们知道，f只有在其零点（值为0的点）和极点（值为无穷的点）处有非零的阶，而紧的黎曼流形上，半纯函数的零点和极点必为有限个，所以上面的div(f)是well-defined的。在X上的两个divisor之间，我们可以定义一个序关系（就是可以比较大小），我们说D1&=D2，指的是D1的每一个n_x都大于D2的相应的n_x。以及一个加法，就是对应的n_x加起来。进而，对于每一个X上的divisor D，我们考虑如下这个集合：
其中C(X)表示X上的半纯函数全体。不难发现，这个L(D)是一个复数域上的线性空间，这一点和模形式空间是一样的哦&&我们记
表示D的&度&现在我们站到比模形式空间稍微大一点的空间中去看一下，所谓automorphic form（我不知道怎么翻译了=.=）。它和模形式的不同在于，它仅要求半纯而不是全纯，符号用A而不是M来表示。不难发现，如果f,g是X上的同阶的automorphic form，那它们的商f/g是就是0阶的automorphic form，进而就是X上的半纯函数，反之亦然。所以我们得到：
而显然M_k是A_k的一个子集，那是满足什么条件的子集呢？对于半纯函数，其在每一点的阶是整数（可能为负数，即为极点）。但对于全纯函数，其在每一点的阶是非负整数，反之亦然。所以
其中关于divisor的向下取整是对每一个n_x取整，至于为什么要取整，是为了用到后面将要利用的定理。这里的f是X(\Gamma)上的一个给定的automorphic form。可能你注意到了一个问题，前面说过，当f是0阶模形式（这里是automorphic form，不过结论一样）时，它在X(\Gamma)上是良定义的。但是对一般的k阶形式，它却不是良定义的，怎么能定义div(f)呢？不用怕，虽然整个f是无法定义的，但是f在紧黎曼流形X(\Gamma)上每一点的&阶&是可以well-defined的，所以还是可以写出div(f)。而这已经足够了。总之，我们得到了一个很漂亮的结论（这里的同构是复线性空间的同构）：
于是，求M_k的维数，就变成了求右边的空间的维数了。其中这里的f是任意给定的。&1.4、现在我们终于来看一看为什么要考虑上面这一堆天马行空的东西了，只为了能够应用这个定理，所谓Riemann-Roch定理（这里说它的一个特殊形式）：令X为一个紧的黎曼流形，亏格（不解释=.=）为g，那么对于X上的任意一个divisor D，如果deg(D)&2g-2，我们有
其中l(D)表示线性空间L(D)的维数。令D等于[div(f)]，我们便可以得到M_k的维数了！当然，具体怎么求deg([div(f)])呢？这将又是一篇长篇大论，我是在是。。打。打不动。了。。了。所以。此处省略几千字吧。总之，最后我们可以得出，
&1.5、再回到最初的那个整数平方和的问题，别忘了
（就以它为例吧，因为这个空间是1维的）所以只要找到右边这个1维空间的一个基，特别的，就是其中的一个非零函数，\theta(\tau, 2)与它最多相差一个复系数！至于怎么找到这一组基呢？这又是一篇长篇大论，涉及无数人命函数以及巧妙的构造，就不详述了，下面仅列出一些其中用到的人名函数来膜拜一下&&Eisenstein series:
Riemann zeta function:
Hurwitz zeta function:
Mobius function:
Dirichlet character: 一个乘法群的同态
&Gamma function:
Dirichlet L-function:
&Weierstrass sigma-function
&&&实在是列不动了。。。总之，经过这些神一样的人物神一样的&注意到&，&考虑如下&，构造、运算、化简之后，我们终于能给出M_1(\Gamma_1(4))的一个基了（别忘了，它是一维的。）:
这是什么玩意？这是一个函数，指数是两个Dirichlet character，第二个是平凡homomorphism。它的一般定义是这样的：
别怕，我们只要关注非常数项就好了，因为r(n,k)中的n是从1开始的。它的定义是
由这一个基E和之前r(n,2)的生成函数，对比系数我们便得到
其中C为一个复常数，由r(1,2)可以定出。&****************************************************************************************
Warning：患有数学恐惧症的孩子可以从这里开始读了&&****************************************************************************************&&最终，经过不繁但是让人望而生畏的计算后，我们得到
同样我们还能得到（对k=4有快一点的办法）
&对于更大的（偶数）k呢。。。当然也可以算啦。。你有兴趣就算去呗。。算去呗。。去呗。。呗。。。&2、打的我真要吐血了。终于把数学部分打完了。我一直以来有一个想法，希望能将高深的数学通俗的介绍给大众，让大家能欣赏到数学的美。为什么呢。因为整个中国初等教育，只让人们看到了数学最丑的一面。这一点在之前一篇《中国人为什么数学不算厉害》（类似的名字，具体的我忘了=.=）中表达的很好了。我就不多说了。很多人苦于解方程，算行列式，求导求积分，背定理背公式，等等。苦不堪言。特别是期末考试期间，无数状态、日志在吐槽数学。。。我觉得关键在于，整个数学教育，没有让学生从宏观上看到数学的结构，欣赏到其美丽，而只追求细枝末节的东西。打个比方，就像爬山。考虑两种方案：1）如果我带你爬山之前，先用直升飞机带你慢慢的飞到山顶，让你先欣赏一下沿途的风景以及从山顶往山下俯瞰的美景，再带你从头开始爬。2）我告诉你我们去爬一个不知名的山吧！然后从山脚开始费力的攀登。这两种，哪一种好呢？显然对于第一种，你会怀有一种期待与激情快乐地努力攀登，而第二种，你根本顾不上欣赏沿途的美景，也不知道前方是什么鬼东西，稍有一点困难可能就想下山了。教育也是如此。当然你可以说数学教育有其特殊性，很多因果关系必须反过来讲，比如一个定义的出现是由后面的一堆&考虑&导致的，而那些&考虑&还真没办法先说。的确，我在打第一部分的时候也纠结过这个问题。但让学生提前知晓一个大的方向，知道最终要做什么，或至少举一个应用的例子，我想总是可以做到。比如就是那个求r(n,k)的例子，支撑着我耐着性子看完了一堆密密麻麻的积分号和sigma，如果没有它，我早就把书一扔不干了。另外，我不得不承认，跟一个外行讲数学的确太难了。若要和一个新手完整的介绍一个概念，比如域上的线性空间，我得先介绍Abel群，以及域。于是我还得先介绍群&&这还算好的，要是一个更大一点的概念，比如流形，那预备知识将是指数级的=.=。另外，有一些东西，懂的人能明明感觉到其精髓，但是要真解释清楚着实不易。比如上文的那个divisor，我觉得它无非就是为了描述一个函数在每个点的degree，创造的一个方便的工具。但要是真的把另一个人讲懂，着实不易，所以很多数学书只罗列定理定义恐怕尤其原因吧。超出语义所能表达的界限的东西，才是智慧所在。正如维特根斯坦所说，凡不可说者，我们必须保持沉默。所以把数学通俗的介绍给大众，不知能不能做到。&3、我们兜了一大圈，足迹遍布数论、复分析、几何、拓扑、代数，终于得到了最初的那一个问题的答案。但是请回过头来想一想，&问出&这一个问题，需要些什么？需要数论，需要复分析，需要几何，需要拓扑，需要代数，吗？完全不需要！需要的就是一个最基本的东西&&每个人生而熟知的&&自然数。一个小孩，只要它能数数，能认知到2个皮球和3个皮球合到一起是5个皮球&&当然他不一定读做2、3、5，它就能提出文章开头的问题。你可能要说他不会算平方啊！可是平方无非就是正方形数&&欧几里得他们不都是这样来看待这些数的嘛。甚至一个会数数的狗（事实上我们人类怎么能肯定狗不会数数呢），也能提出相同的问题，只不过它可能会把1读成&汪&。这说明什么？说明人类与生俱来的（关于数的）认知本身中有着其intrinsic的结构与性质。而整个数学，特别是那些&纯&数学，就是在以人类卑微的智慧来试图破解这其中的奥秘。数学家们花了上千年，在不同方向上建立了风格迥异的数学分支。但到头来它们竟然能融会贯通，纵横交错，联合在一起给出了关于整数的一个最基本的问题的答案，这又说明什么？说明：1）数学家们的工作似乎没做错。不然两个分支撞在一起矛盾了就麻烦了。2）整个数学并没有还原出那个与生俱来的intrinsic的结构的本来面貌。肯定还有一个更基本更底层的结构不为人所知。或许整个宇宙就是被设计成我们只能生活在其中，或许有天才还没有出生。犹记得以前看过一篇文章，说代数里的所谓魔群和另一个分支里（忘了是什么了）的一个东西联系在一起，最终在物理的超弦理论中合二为一。我想这正反映出了上述观点：我们的整个理论并不是基本的，仅仅是浮于表面的一块块补丁，在衔接处幸运的接合的很好。&4、最后。相信你肯定会忍不住要问：你算出了r(n,k)有什么用啊？为什么要算它啊？的确，它能赚钱吗？不能。它能帮你换到房子，搞到车子吗？不能。它能帮你找到妹子吗？不能。T.T那为什么要研究它呢？？！！&&
为了人类心智的荣耀。&&趁现在衣食无忧，不用为生计发愁，多欣赏欣赏吧。无论什么学科。不知道几年后，还有没有时间、精力和心情啃一本书了。
N体问题的30个周期性解
上面这个地方提供了多体问题中颇具代表性的 47 个解的数据，用的 gnuplot 格式。我选择了其中 30 个，用 Mathematica 读出数据，生成了 30 个直观的 gif 动画。大家将会看到，在引力的作用下，多颗星体可能会形成的一些极其诡异的轨道。后面的解越来越不平凡，可见多体问题之难。图片总共 7 M，服务器表示压力很大、、、
好美的说~~
无穷带来的各种悖论
当时我就震惊了：无穷带来的各种悖论
希尔伯特旅馆悖论（Hilbert's paradox of Grand Hotel）
希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：&虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间??n 号房间搬到 n+1 号房间，你就可以住进 1 号房间了。&又一天，来了无限个客人，老板又说：&不用担心，大家仍然都能住进来。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到 4 号，3 号搬到 6 号??n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。&
这就是德国大数学家大卫&希尔伯特（David Hilbert）提出的著名悖论。每个学过集合论的学生，都应该&拜访&过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个&悖论&，它在逻辑上却是完全正确的，只不过大大出乎我们的意料罢了。一扯上无限，有趣的事说也说不完。意大利数学家伽利略（Galileo Galilei）在他的最后一本科学著作《两种新科学》（Two New Science）中提到一个问题：正整数集合 {1, 2, 3, 4, ??} 和平方数集合 {1, 4, 9, 16, ??} 哪个大呢？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者显然比后者大；可另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想，可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。说到这里，我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治&康托（George Cantor），他建立了集合论（set theory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做&大小&了，而是叫势（cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为&可数集合&（countable set），否则就叫做&不可数集合&（uncountable set）。
托里拆利小号（Torricelli&s Horn）
又到几何悖论时间了。上面这个小号状的图形有什么特点？
意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将 y=1/x 中 x&1 的部分绕着 x 轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，上图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个十分牛 B 的性质&&它的表面积无穷大，可它的体积却是 π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！
类似的二维几何悖论中，最著名的要属&科赫雪花&（Koch Snowflake）了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形，下图就是前三次迭代的过程，迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质：它的面积有限，周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积，真是另类的&无中生有&啊！
芝诺悖论（Zeno's paradoxes）
芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。最有名的是以下两个。
阿基里斯与乌龟的悖论（Achilles and the tortoise Paradox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。
二分法悖论（Dichotomy Paradox）：运动是不可能的。你要到达终点，必须首先到达全程的 1/2 处；而要到达 1/2 处，必须要先到 1/4 处??每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。
罗素（Bertrand Russell）曾经说过，这组悖论&为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤&。阿尔弗雷德&诺斯&怀特海德（Alfred North Whitehead）这样形容芝诺：&知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的&，可见争议之大。无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。
当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的&运动是不可能的&这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。
亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。他说，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。不过他的解释并不严格，因为我们很容易举出反例：调和级数 1+1/2+1/3+1/4+&& 的每一项都递减，可是它的和却是发散的。
阿基米德（Archimedes）发明了一种类似于几何级数求和的方法，而问题中所需的时间是成倍递减的，正是一个典型的几何级数，所以追上的总时间是一个有限值。这个悖论才总算是得到了一个过得去的解释。直到 19 世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了一个形式化的描述。
尽管我们可以用数学方法算出阿基里斯在哪里以及什么时候追上乌龟，但一些哲学家认为，这些证明依然没有解决悖论提出的问题。出人意料的是，芝诺悖论在作家之中非常受欢迎，列夫&托尔斯泰在《战争与和平》中就谈到了阿基里斯和乌龟的故事，路易斯&卡罗尔（Lewis Carroll）写了一篇阿基里斯和乌龟之间的对话，阿根廷作家豪尔赫&路易斯&博尔赫斯（Jorge Luis Borges）也多次在他的作品中谈到阿基里斯悖论。
球与花瓶（Balls and Vase Problem）
我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的：往花瓶里放 10 个球，然后取出 1 个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？
有人或许会说，这个问题显然是荒谬的&&这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。那么，我们不妨换一个问法，避开所需时间无穷的问题：在差一分钟到正午 12 点时进行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分钟）到正午 12 点时进行第 2 次操作，在差 1/2&n-1&分钟到 12 点时进行第 n 次操作。那么，12 点的时候，花瓶里有几个球呢？
看似简单的描述，经过数学家的解释，却出现了千奇百怪的答案。最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了，因为每次都增加了 9 个球，无限次之后，当然有无限个球。数学家 Allis 和 Koetsier 却不这么认为。他们认为，12 点时瓶子里没有球，因为我们第 1 次放进 1 至 10 号球，然后取出 1 号球，第 2 次放入 11 至 20 号球，然后取出 2 号球??注意到，n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来！细心的读者会发现，这个说法也有问题：前面的证明假设我们取出的依次是 1 号球、2 号球、3 号球等等，如果我们改成依次取 10 号球、20 号球、30 号球，那么最后瓶子里又出现了无限个球了。哪种观点是正确的呢？于是逻辑学家詹姆斯&亨勒（James M. Henle）和托马斯&泰马祖科（Thomas Tymoczko）认为，花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法，说明最终花瓶里的球可以是任意数目。
1953 年，这个悖论由英国数学家利特尔伍德（John Edensor Littlewood）在他的书《一个数学家的集锦》（A Mathematician&s miscellany）中首先提出，1976 年谢尔登&罗斯（Sheldon Ross）在他的《概率论第一课》（A First Course in Probability）又一次介绍了这个问题，所以它又被称为&罗斯&利特尔伍德悖论&（Ross-Littlewood Paradox）。
无限长的杆（Infinite Rod）
有一张无限大的桌子，上面竖直地插着一根有限长的支柱。然后取一根无穷长的金属杆，把它的一头铰接在支柱顶端，另一头则伸向无穷远处。金属杆可以绕着支柱顶端自由地上下转动。假设金属杆和桌子都是无比坚硬的刚体。你会发现，这根无限长的金属杆根本不会往下转动！因为金属杆和桌子都很坚硬，如果它们相交，必然会损坏一个，所以唯一的办法就是金属杆与桌面平行。那么我们看到的现象就是一根无限长的金属杆，在空中仅仅靠一个点就保持水平！
这个有趣的问题是由数学家雷蒙德&斯穆里安（Raymond Smullyan）在一本庆祝马丁&加德纳 90 岁生日的书中介绍的。另外，如果我们把铰接的点移到金属杆的中部，那么金属杆就动弹不得，稳稳地和桌面平行了！
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经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理次方
&&一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有：&&&&&&&&&&我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。&&&&这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？ Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设 α 和 β 都是代数数，如果 α 不等于 0 和 1 ，并且 β 不是有理数，那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。&&&&那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有 (1, &) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。
&&&&注意到当 x 大于 1 时，函数 f(x) = xx 是连续单调递增的，因而对于所有 (1, &) 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 aa = r 。不妨假设 a 是一个有理数，它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那么我们会有平凡解 nn = r 。下面我们证明， m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。&&&&假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ，于是我们有：&&&&&&(n / m)n / m = c / b&&&&或者说：&&&&&&nn & bm = mn & cm&&&&注意到， mn 是 nn & bm 的约数。然而， m 和 n 是互质的， mn 与 nn 没有公共因子，因而 mn 一定是 bm 的约数。同理， bm 是 mn & cm 的约数，但由于 b 和 c 是互质的，因此 bm 一定是 mn 的约数。 mn 和 bm 怎么可能互为对方的约数呢？只有一种可能，就是 mn 等于 bm 。&&&&既然 mn = bm ，说明 m 和 b 肯定有大于 1 的公因数。假设 p 是 m 和 b 的某个公共质因数。我们把 m 和 b 中的所有质因数 p 都提出来，将它们写成 m = pi & k 和 b = pj & l ，其中 k 和 l 都不再含有质因数 p 。于是， mn = bm 就可以重新写为：&&&&&&pi&n & kn = pj&m & lm&&&&既然 mn 是等于 bm 的，它们一定含有相同数量的质因数 p ，因而 i&n = j&m ，可知 m 是 i&n 的约数。但是 m 和 n 是互质的，因此 m 一定是 i 的约数。最后，注意到 pi 是 m 的约数，从而也就是 i 的约数。于是矛盾产生了：由于 p & 2 ，因此 pi 一定严格地大于 i ，不可能是它的约数。&&&&因此，对于所有大于 1 的有理数，除非它恰好等于某个整数 n 的 n 次方，否则它都将是某个无理数 a 的 a 次方。&来源：
是否能在平面上写下不可数个不相交的Y?
&收录了 Which Way Did the Bicycle Go 趣题集中一个非常有趣的问题：是否有可能在平面上画不可数个不相交的 8 ？答案是否定的。证明方法非常简单。对于任意一个 8 字形，在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q （由于平面上的有理点是稠密的，这是总能办到的），则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交，因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的，因此 8 字形的数量也是可数的。&&&&&&&&&&注意到，平面上显然能够容下不可数个不相交的直线段，也显然能够容下不可数个不相交的圆（比方说一系列同心圆）。在 Mathematical Puzzles 一书里， Peter Winkler 提出了这样一个问题：我们能在平面上写下不可数个不相交的字母 Y 吗？&&&&&&
&&&&&&&&&&&&答案是否定的。下面有一个漂亮的证明，这是由 Randy Dougherty 给出的。让我们先来看一个经典结论：假设平面上有三个红点和三个蓝点，那么我们绝不可能用线条把每一个红点和每一个蓝点都连起来，并且保证这 9 根线条互不相交（即使线条可以弯曲也不行，不信的话你可以试一试）。从图论的角度来说，就是完全二分图 K3,3 不是一个平面图。利用 Euler 公式我们可以很快证明这一点：把一个平面图的顶点数、边数和区域数（包括最外面那个无限大的区域）分别记为 V 、 E 、 F ，则 Euler 公式告诉我们 F = E - V + 2 。由于每条边都同属于两个区域，因而所有区域的平均边数为 2E / F 。在完全二分图 K3,3 中有 6 个顶点和 9 条边，若它是一个平面图，则它应该有 9 - 6 + 2 = 5 个区域，于是每个区域平均拥有 18/5 条边。这说明该图中至少存在一个边数小于 4 的区域，但对于一个二分图来说这是不可能的。&&&&我们把一个 Y 看作是由一个中心点、三个手臂和三个端点构成的。现在，对于平面上的每一个 Y ，我们都给它画出三个有理圆（圆心的两坐标和半径的长度都是有理数），让每个圆都圈住 Y 的其中一个端点，并且不包含 Y 的另外两臂。注意到，平面上的有理点是稠密的，半径的长度也可以任意小，因此这总是能办到的。不过，这些有理圆完全有可能和别的 Y 相交，也有可能和别的有理圆相交。我们甚至不能排除这样的情况：其中一个 Y 的某个有理圆和另一个 Y 的某个有理圆是同一个有理圆！不过，下面我们会给大家证明，三个不相交的 Y 绝不可能拥有同一组有理圆。&&&&&&&&&&如图，假设三个 Y 对应了同一组圆。我们修改每一个 Y 的每一条臂，让它在碰到有理圆后直接连接到这个圆的圆心。现在，把三个圆心染成红色，把三个 Y 的中心点染成蓝色，则这 9 条（修改后的）手臂就连接了所有可能的红蓝点对。然而，前面我们已经说过， K3,3 不可能是一个平面图。因此，这三个 Y 必然会相交。&&&&由于平面上的有理圆是可数的，因而平面上不相交的 Y 也必然是可数的。&&&&&值得一提的是，我们这里证明的是一个相当强的结论：对于所有含有交叉点或者分岔点的图形，它在平面上都只能画出可数个（如果不允许相交的话）。这不但可以直接推出平面上不相交的 8 字形是可数的，事实上不相交的 4 或者 6 或者 9 也都只能是可数的。
被遗忘的第四种宏观对称：标度对称性（计算士）
探讨第四种对称性的缘起
随着复杂系统研究和网络科学的兴起，研究长尾分布成为非常火热的题目，但是在我看来，各种人为制造长尾分布的所谓演化机制，如优先链接 （Yule 1925; Simon 1955; Price 1976;&Barabasi 1999） ，排队论（Barabasi,&2006），随机增长模型(Huberman,&1999; Mitzenmacher, 2003) 等，都如隔靴挠痒，偏题甚远。判断的标准很简单，如果一个新的复杂系统的理论或者模型，没有和迄今为止人类最主要的科学之根，基础物理，联系在一起，只能解释新现象，不能包含旧现象，可以判断这个理论不会生长太久。以上述诸种模型为例，不要说和基础物理对话，就是连为什么系统不是走向正态分布而是走向长尾分布，都不在其回答范围内，使读者看完论文产生一种&长尾分布就是好，就是好来就是好&的感觉，而没有豁然开朗，一通百通的悟道感。
那么，有没有一种思路，可以从基础物理来理解长尾现象呢？
有的，这个思路就是&标度对称性&。&&
第四种对称性：标度（缩放）对称性原理&1918 年德国数学家艾米&诺特（A&E&Noether）提出著名诺特定理（Noether theorem）：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量。从而将对称和守恒性这两个概念紧密联系在一起。&目前为止对称性及其更细致的推广形式局域对称（作用量随时空变化）和全局对称（作用量不随时空变化）在群论的指导下，通过外尔，杨振宁等人的推广工作，在现代物理学中得到广泛的应用。&从这个列表里可以看出对称性的广泛应用。&&我想提出的一点思考是，目前为止，宏观对称似乎已经被研究完了，就是时间平移、空间平移和空间旋转三大对称（为什么时间没有旋转对称？因为时间是一维的吗？）。其他的对称都是描述微观世界的。现代物理基本上都是在研究微观的各种对称性及其破缺。&但其实我觉得，还有一个对称不但在我们的宏观世界中处处存在，我们其实利用这种对称性干了很多事，就是没有开宗明义地提出来（在笔者及其有限的知识范围内）。&这种对称可以称之为&标度（缩放）的对称性&。&标度对称原理可以有两种表述形式，一种就是作用量在时空缩放下保持不变。这里的作用量和三大对称一样，被定义为三维空间里的拉格朗日函数L(q, q&)。牛顿力学里的伽利略变换和电动力学里的洛伦茨变换（后来被爱因斯坦推广到四维时空里）都不能满足这种缩放不变性，所以，需要重新定义一种新的变换。但我认为这种古典的定义方式严重限制了这个伟大原理的应用范围，因为我们研究的许多复杂系统，例如互联网、金融市场，都不是在经典的四维时空下演化的。所以我建议采取另一种定义：作用量在被研究对象的数量规模倍增（减）下保持不变。&什么意思呢？就是说我研究一百个粒子的系统，它具有某种性质，研究一万个粒子的系统，它还是具有类似的性质。这个朴素的表达很熟悉吧？其实就是广义中心极限定理。狭义中心极限定理说，一堆独立同分布的变量x，不管你原来是什么分布，加到一起变成更大的变量y，y趋近于正态分布；说，前面那句话只说对了一半，如果是某些特殊情况，例如x的方差无限，y不是趋近于正态分布而是趋近于某种尾部具有 p ~ |x| ^ - (alpha+1) & & (0 & alpha & 2)性质的分布（levy stable distribution），也就是长尾。说是尾部，取了对数坐标之后左边头部的区域太小，所以忽略这个时有时无的小弯头，基本就是一条直线的幂律分布。&到了这里长尾的问题好像是回答了（所以与热衷谈长尾的人不同，一些了解levy stable distribution的人走向另一个极端，觉得这个问题不值一提），但其实没有，还非常不解渴。方差有限就合并（aggregation）成正态，方差无限就合并成幂律，这个答案看起来更像是分类学而不是什么深刻的洞察。我们还需要找到不是简单分类，而是把两个极端在更深层的地方联系在一起回答的答案。&接下来就到了stable law，其实stable law已经非常接近&标度对称性原理&了。stable law说，存在这样一些分布（stable distributions），它们在合并的过程中重复自身。就从这个非常抽象的定义出发，就可以得到这些分布的具体形式（这种思路非常像从时空对称性的抽象要求利用变分法解出拉格朗日函数），因为小变量合并成大变量的过程表达为概率函数的卷积，后者可以表达为傅里叶变换后概率函数（其实就是特征函数）的乘积，从一个特征函数 不断乘以自己不变这个不动点要求可以解出这个特征函数的具体形式，再通过傅里叶变换得到概率函数。&包括正态分布在内的stable distributions，都满足同一个scaling性质（请注意这不是什么&发现&，而是我们一开始的要求）&
如果y是n个独立同分布的， 均值为&x&的变量x加总而成，（y - n &x& ) / n ^ -&alpha 的分布与x-&x&的分布完全相同。
把这句话表达成严格一点的数学，就是N^alpha*P(y)~ P (x / N^alpha )， 正如给出的。&【怎么检验这个&分布完全相同&呢？就是把x的分布画出来，把y的分布画出来，这个时候两者是不一样的，例如x为正态分布N(2,2)时，每个y由10个x加总而成，y则为正态分布N(20,2^-2)，y的分布要比x的分布右移，且更矮胖。但对y进行处理变成（y - n &x& ) / n ^ -&2 ， 对x处理成&x-&x&，两者个分布的数据点就重叠到一起。&其实这个过程还可以更严格些，如果考虑的x的方差sigma，（y - n &x& ) / (sigma*n) ^ -&2 的分布与(x-&x&)/sigma^ -&2的分布都重叠到标准正态分布上。如果考虑这种严格的广义形式，那么有（y - n &x& ) /&(sigma*n) ^ -&alpha&~ S (1, alpha, beta, 0)，其中S为stable distribution, alpha=2时代入stable distribution的表达式得到正态分布概率函数。】&在上述表达式中，如果标度指数alpha=2，那么它说的就是狭义中心极限定理，对应着正态分布；apha不等于2，就是广义中心极限定理，对应着各种长尾分布。&所以，scaling并不是什么特殊的东西，它是一种对称性要求，这种要求使得与系统对象联系的某个作用量，在系统的规模变化时保持不变（从基础物理来说，合并可视为重整化群的一种变换，就是在处理系统规模的变化问题）。无论是正态分布，还是长尾分布，都是满足该对称性要求的产物。&既然正态分布和长尾分布都满足加总不变性，为什么有时候标度对称性产生正态分布，有时候又产生长尾分布呢？&这里就很深刻了，因为aggregation只是重整化群的一种变换，或者说，只是一种标度缩放形式。其他的变换，例如mixture, maximization, marginalization，也是标度缩放的表达。在实际系统中aggregation的例子不必说了，mixture例如互联网中信息资源的生产和流动，就是把不同节点在不同时间里制造的资源放在一起看，来源于不同节点的可能是相互独立，但是不同分布的，这时候其实就是mixture的情况，把相差甚远的不同分布（加权）合并成同一个分布； maximization的例子如考察河流水量，股票价格，我们常常要计算最大最小值，因为它们对均值的影响太大了，所以这种极端涨落的情况相当于说从一个分布里取极端值得到的另一个分布；marginalization的例子在社会系统里很常见，考察一个变量在一堆其他变量的影响下的边际分布。&对于这四种标度缩放操作(aggregation,&mixture, maximization, marginalization)，正态分布只满足第一种和第四种（现在很清楚为什么传统社会科学里只需要正态分布就搞定大多数数据了）下的不变性，而长尾分布（levy stable distributions）四种都满足。&吝啬的大自然总是选择比较简单的模型，所以，在只需要满足第一种和第四种标度缩放不变性的情况下，大自然就把正态分布拿出来，也就是，alpha=2这个极端情况就够用了，很好使了。在要满足第二种或第三种，甚至是同时满足四种不变性的情况下，还是只能上长尾分布。实际上，因此把长尾分布称为(a distribution that is)&more "normal" than normal。&&
标度（缩放）对称性对应的守恒量是什么？&&为什么这里要讲&系统&呢？因为以前的三大对称，时间平移、空间平移和空间旋转，对应的都是单个粒子（微观动力系统）。无论是苹果还是地球，被抽象成单个粒子后，就只有一个质量属性m，根本没有&规模/数量&这个属性，而我们这里在对付的就是&规模/数量"这个属性，这是（多粒子）系统才有的属性。&我们知道，根据诺特定理，对称性与守恒量密切联系。时间平移对应着能量守恒、空间平移对应着动量守恒，空间旋转对应着角动量守恒，那么标度对称性对应着什么量的守恒呢？&我认为是信息量守恒。最朴素的看法，把分布的信息熵算出来，分布不变，其信息熵亦不变。&&
被遗忘的对称&&为什么说标度对称性是一种&被遗忘的&对称？因为我们一直以来都在利用和研究这种对称，但没有系统性地提出来。上述的中心极限定理及其狭义形式应用之广就不必说了，可以说有数据、有统计的地方，就有这个玩意儿。生物学、医学、社会科学、无不建立在这个基础上。物理学里，最早的热力学到统计力学，尤其是相变和渗流模型等，奠定了这种对称性的唯象基础，后来的重整化群，其实也是在应用这种对称性。 通信工程，计算机图像处理里的傅里叶变换，频谱分析、小波变换，也与这种对称性密切相关。数学的一个怪异分支，分形几何，就是在制造满足标度对称性的人造物。&&
遗留问题&最小作用量（信息）原理的具体形式：&现在，我们只是提出了标度对称性作为一种基本的对称，但很多工作还要继续完善。从三大对称的要求引申出拉格朗日作用量不变（最小作用量原理），用变分法解出拉格朗日函数的具体形式，是非常成熟的过程。虽然在标度不变上，也有类似的工作，例如最小相对熵原理，但还不是很成熟，其物理意义也不明确。&标度对称性原理与自指的关系：&了解自指的人一眼就可以看出，标度对称性其实已经在自指的思想里被很简洁地表达了。前面提到的（红色斜体字）原理，其实和Quine这个数学/逻辑学结构很像。如果说Quine原理大家不熟悉，那么了解lisp和lambda函数的人知道，有一种东西叫, 它是Quine，或者说fixed point combinator的一种实现形式，对于任意一个函数f，一旦Y combinator: g附身，就会有g(f) = f(g(f))。从计算理论的角度，Y combinator 使得一个非常基础的，像lisp这样的语言可以创造出能调用自身的函数，实现各种递归计算。&g(f) = f(g(f))这个数学形式，和N^alpha*P(y)~ P (x / N^alpha ), 有着异曲同工之妙，两者都是某种不动点定理。前者是递归，或者说，一切计算的基础（丘奇-图灵定理），后者是广义中心极限定理，这暗示着统计与计算科学有着相同基石，而它们本质上都是物理学里的第四种对称性，标度对称性的体现。&&标度对称性与量子力学的关系：&标度对称的思路，其实在量子场论（QFT）里也，也是不动点定理作用到（coupling parameter）上的结果。要使QFT满足标度对称性，就要使耦合参数为常数。耦合参数这个东西，其实是经典理论里的拉格朗日量的一种拓展。引入了量子力学之后，标度对称性可能可以得到更充分的理解。
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