您所在位置：&>&&>&&>&方阵问题
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是特殊情境问题。方阵问题是特殊情境问题中的一种。在公务员考试中方阵问题考察的内容无非只有以下两种类型，算是比较简单的一类问题，从历年真题来看，无论它如何变化，只要掌握其计算公式便可轻松搞定此类问题。
1、题型简介许多人或许多事物，按一定条件排成正方形或长方形(简称方阵)，再根据已知条件求总人(物)数，这类问题称为方阵问题(也叫乘方问题)。
2、核心知识方阵问题可分为实心方阵和空心方阵，以下便做详细介绍：（1）实心方阵实心方阵公式：实心方阵总元素数＝（最外层每边元素数）2 （2）空心方阵
空心方阵公式：空心方阵总元素数＝（最外层每边元素数）2 －（最内层每边元素数－2）2 ＝（最外层每边元素数）2 －（最外层每边元素数－2×层数）2 ＝（最外层每边元素数－层数）×层数×4；
3、核心知识使用详解方阵主要有以下几点性质：方阵不论哪一层，每边上的元素数量都相同，每向里一层，每边上的数量就少2。每层元素数＝（每边元素数－1）×4内层元素数＝外层元素数－8层数为积数的空心方阵，总人数的平均数与中间一层的人数相同。实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数
1.空心方阵问题例1：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层共有多少棋子？
A. 40B. 44C. 48D. 52【答案】A【解析】[题钥] 本题属于三层的空心方阵；“如果最外层每边有围棋子15个”，可知最外层每边元素数为15。[解析] 最外层元素数：15“棋子摆成一个三层空心方阵”，由于每向里一层，每边上的人数就少2，则：最里层每边元素数：＝15－2×2＝11。最里层元素数：＝（每边元素数－1）×4＝（11－1）×4 ＝ 40即这个方阵最里层共有40个棋子。所以，选A。
2.实心方阵问题例2：(2007黑龙江A类)某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？A. 272B. 256C. 225D. 240【答案】B【解析】[题钥] “某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人”，这个是典型的实心方阵，可先求最外层每边元素数，再根据方阵的核心关系式求解。[解析] 最外层的人数是60人：即最外层元素数：60；最外层每边元素数：＝每层元素数÷4＋1＝60÷4＋1＝16实心方阵总元素数：＝（最外层每边元素数）2 ＝162 ＝256所以，选B。
1.空心方阵问题例3：(2009江苏A类)有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是：A. 296人B. 308人C. 324人D. 348人【答案】B【解析】[题钥] “有一列士兵排成若干层的中空方阵”，可知属于空心方阵问题。“外层共有68人，中间一层共有44人”，由于方阵相邻两层元素数之差为8，所以由外向内算，中间一层为第4层。[解析]由题可知：
最外层每边元素数＝每层元素数÷4＋1＝68÷4＋1＝18；中间一层每边元素数＝每层元素数÷4＋1＝44÷4＋1＝12；由于每向里一层，每边上的人数就少2：（18－12）÷2＝3；因此，由外向内算，中间一层为最外层向里3层，即第4层；则最内层为第4层向里3层，即第7层。确定最内层每边元素数：12－3×2＝6；而最外层每边元素数为18，则：空心方阵总元素数＝（最外层每边元素数）2 －（最内层每边元素数－2）2 ＝182 －（6－2）2 ＝308所以，选B。
2.实心方阵问题例4：光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，则四年级原来准备多少人参加表演？A. 225B. 196C. 169D. 144【答案】B【解析】[题钥] “只好横竖各减少一排”，即从最外边横竖各减少一排，减少后仍为实心方阵。[解析]设原来最外层每边元素数为x：“横竖各减少一排，这样共需去掉27人”，则有：x＋（x－1）＝27；解得，x＝14，即最外层每边元素数为14；实心方阵总元素数：＝（最外层每边元素数）2 ＝142 ＝196所以，选B。
例5：有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，且杨树种在最外层角上，问方阵中共有杨树、柳树各多少棵？A. 22
24【答案】D【解析】[题钥]“有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，且杨树种在最外层角上”可知，杨树和柳树共种49棵，因为杨树种最外层角上，而且与柳树是隔株相间的种法，也就是一行中，杨树种一棵，柳树种一棵，杨，柳.....据此，可以得出本题的图形，也可以推算出杨树，柳树的数量各是多少。[解析] 由于杨树和柳树相间种植：因此方阵每一层上杨树与柳树的数量相同；“杨树种在最外层角上”，则最内层的那棵树为杨树，也就意味着杨树比柳树多1棵。根据题意可列表如下：其中“★”代表杨树；★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★故该方阵中共有25棵杨树，24棵柳树；所以，选D。
&&学完知识点后就应该进行实战演练了，自我检测中的题目是91UP专家团针对本条知识精选出来的典型题目。题
不在多而在于精，在洞察其万变不离其宗的模式，认真完成自我检测可以事半功倍举一反三。
“数学运算——方阵问题”相关知识点
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小学奥数教程：实心与空心方阵公式
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　　方阵问题公式
　　（1）实心方阵：
　　（外层每边人数）2=总人数。
　　（2）空心方阵：
　　（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。
　　或者是
　　（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
　　总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
　　【典型例题】
　　例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
　　解一先看作实心方阵，则总人数有
　　10×10=100（人）
　　再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
　　10-2×3=4（人）
　　所以，空心部分方阵人数有
　　4×4=16（人）
　　故这个空心方阵的人数是
　　100-16=84（人）
　　解二直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得
　　（10-3）×3×4=84（人）
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2015江苏选调生数学运算备考指导之方阵问题
　　，众所周知，江苏省选调生考试科目为行测、申论和公共基础知识，考生要想在笔试考试中取得理想成绩，需早做准备，江苏公务员考试网辅导专家依据历年经验，提前为考生整理了一些备考资料，供广大考生参考。
　　一、实心方阵的基本公式
　　每层边数之间相差2，每层总数之间相差8
　　每层总数=(每层边数-1)&4
　　每层边数 =每层总数/4+1
　　方阵总数=外层边数&外层边数
　　方阵的总数永远是一个平方数
　　例题1.在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人?
　　A.900 B.224 C.300 D.216
　　【解析】已知方阵一行有30人，根据：每层总数=(每层边数-1)&4=(30-1)&4=116人，又知每层数目之间相差8，所以外侧的第二层有116-8=108人，因此最外两层应为116+108=224，选B。
　　例题2.小明用棋子摆成了一个实心方阵，如果要使这个方阵减少一行一列，则要减少13粒棋子，则小明一共摆了多少粒棋子?
　　A.149 B.49 C.127 D.20
　　【解析】方法一：已知方阵减少一行一列要减少13个棋子，若设方阵最外层每边有x个棋子，则x+x-1=13，x=7，棋子总数为7&7=49个，选B。
　　方法二：题干已知为实心方阵，实心方阵的总数永远是一个平方数，选项中只有B是平方数，因此选B。
　　方阵问题不是数学运算中的难点，但是我们会发现，现在的公考题目已基本不会给出最外层人数，让我们来求总人数了，很多时候出题会间接考察这部分的知识点。有考生遇到这样的问题可能会感到无从下手，或者按部就班的一层一层来计算，虽然最后也能把题目做出来，但是耗费了时间，耽误了其他题目。我这这里就两个例题分析研究，希望能够帮助广大考生在这一块内容上的复习。
　　二、空心方阵的基本公式
　　每层边数之间相差2，每层总数之间相差8
　　每层总数=(每层边数-1)&4
　　每层边数 =每层总数/4+1
　　方阵总数=外层边数&外层边数-最里层边数&最里层边数
　　例题3.阅兵队伍排成一个4层空心方阵，最内层人数是28人，这支阅兵队伍有多少人?
　　A.69 B.52 C.127 D.160
　　【解析】已知方阵每层总数之间相差8，最内层人数是28，第二层到第四层依次是36，44，52，所以28+36+44+52=160人，选D。
　　例题4.高中生参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵，后来又变成一个四层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少人?
　　A.20 B.21 C.22 D.24
　　【解析】已知实心方阵每边16人，则说明共有16&16=256人，若设方阵最外层有x人，则根据方阵每层总数相差8，则从外到内每层人数依次有x，x-8，x-16，x-24，则x+x-8+x-16+x-24=256人，解得x=76人，因为每层边数=每层总数/4+1=76/4+1=20人，选A。
　　通过上面的例题可以知道，大家只要熟记方阵问题的公式，平时多加练习，考试中遇到此类问题一定能够迅速解答。
　　更多数学运算解题技巧及方法可参考！
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六、方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果 行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数&4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数&2－1&
例1& 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
A．256人&&& B．250人&&& C．225人&&& D．196人&&&&&&& （2002年A类真题）
解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数&4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60&4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16&16=256（人）。
所以，正确答案为A。
例2& 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
分析& 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数&2－1&
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解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）&2＝17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17&17=289（人）
例3& 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：
A．1元&&& B．2元&&& C．3元&&& D．4元&&&&&&&&&&&&&&& （2005年中央真题）
解析：设当围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时总的硬币枚数为4（X-1），当变成三角形时，则此时的硬币枚数为3（X＋5-1），由此可列方和为
4（X-1）=3（X＋5-1）解得
X=16& 总的硬币枚数为60，则总价值为3元。
所以，正确答案为C。
5、某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少？
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