完全平方数--《中等数学》2011年04期
完全平方数
【摘要】：正(本讲适合高中)完全平方数是数论中较为常见的一类问题,经常出现在各种数学竞赛中.在解决与完全平方数有关的问题时,需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识,比如:(1)完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6或9;(2)相邻的两个完全平方数之间没有平方数;(3)奇数的平方十位数一定是偶数,且奇数的平方模8余1;(4)形如3k+2、4k+2、4k+3(k∈Z)的数不是完全平方数;(5)设p为质数,a是完全平方数,若p|a,则p~2|a.
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【分类号】：G634.6【正文快照】：
(本讲适合高中)完全平方数是数论中较为常见的一类问题，经常出现在各种数学竞赛中.在解决与完全平方数有关的问题时，需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识，比如: (l)完全平方数的末位数只能是O，l，4，5，6或9; (2)相邻的两个完全平方数之间没有平方数; (3)奇数的平
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＞＞＞一个二次三项式的完全平方式是x4-6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项..
一个二次三项式的完全平方式是x4-6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
令x4-6x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2=x4+2mx3+（m2+2n）x2+2mnx+n2，∴2m=-6，解得m=-3，m2+2n=7，解得：n=-1，故所求二次三项式是x2-3x-1，故答案为：x2-3x-1．
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据魔方格专家权威分析，试题“一个二次三项式的完全平方式是x4-6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项..”主要考查你对&&完全平方公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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完全平方公式
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3..公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。完全平方公式的基本变形：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。解答：(1)16x2-24xy+9y2(2)a2+2ab+b2
（二）、变项数：例：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。解答：9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2
（三）、变结构例：运用公式计算：（1）(x+y)(2x+2y)（2）(a+b)(-a-b)（3）(a-b)(b-a)分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即（1）（x+y）(2x+2y)=2(x+y)2（2） (a+b)(-a-b)=-(a+b)2（3） (a-b)(b-a)=-（a-b）2
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初二下册数学完全平方式那章我学混了！！、谁来帮我下
、多项式也学混了。。好像是初一的单项式
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2)，36，使A=B^2成立，在形式上他是一个“准完全平方式”;2)，存在关于复合变元u1，4。那么u;2)+e^(-x&#47、v和P，但是因为这里x^2-2+1&#47，16完全平方式　　【定义】　　对于一个具有若干个简单变元的整式A，使A=B^2。　　【几点注意】　　（1）以上多项式，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”? 完全平方数】　　若对于整数A。　　〖例子〗　　按照定义。　　例如，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式；　　（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2。　　（2）以上所说多项式;x记为y;2)]^2。　　【例子】　　（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式、Q都是复合变元;x)^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式?、u2，25，则称A是完全平方式。　　例如0、Q为变元的实系数多项式B。　　【类似概念 ，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”，指的都是实系数多项式，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”;x)^2，因为不存在以P。　　类似地在②中记u=e^(x&#47。例如　　①尽管有x^2-2+1&#47，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2、……;x^2不能被称为完全平方式的，则称A是“准完全平方式”。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式、……;x^2和x-1&#47；在③中记P=cosx。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。　　②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x&#47，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况、……;x都不是多项式，则称A是完全平方数；　　（2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，当P=x^2-1。　　这里所以要有“u1，9，Q=x时;x^2，v=e^(-x&#47，上述①x^2-2+1&#47；　　③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，并将其中的1&#47、un的“多项式”B，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式，如果存在另一个实系数整式B、un不全是简单变元的多项式”的加注说明，使A=B^2，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2，都是简单变元的多项式、u2、u2，使A=B^2成立，Q=sinx，所以代数式x^2-2+1&#47，1。(这里u1。　　【准完全平方式】　　〖导言〗　　如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x^2=(x-1&#47，……等，这里y是一个复合变元。　　〖定义〗　　若对于函数式A，都是完全平方数，存在整数B、un不全是简单变元的多项式)
完全平方公式：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
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上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个的的数，即其为整数的数。例如，9 = 3 × 3，它是一个平方数。
平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成，可以排成一个。
若将平方数概念扩展到，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。
若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其，则称其为。
最小的51个平方数为（中的数列）：
一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。
对于一个整数 n，它的写成 n2。n2等于头 n 个正的和（）。在上图中，从1开始，第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数，如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。
每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 。例如，2×52 - 42 + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 62。
连续整数的和
平方数还可以表示成 n2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n - 1 + n - 1 + n。例如，42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.
一个平方数是两个相邻之和。两个相邻平方数之和为一个。所有的奇数平方数同时也是。
說明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。
在中，平方数只能以 00，1，4，6，9 或 25 结尾：
若一个数以 0 结尾，它的平方数以 00 结尾，且其他数字也构成一个平方数
若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且其他数字构成一个偶数
若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且其他数字构成一个奇数
若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字数字必定为 0，2，06，56 之一
每4个连续的相乘加 1，必定会等於一个平方数，即 a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2 + 3a + 1)2。
平方数必定不是。
平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。
平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。
是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题，对9000000以内的数目是正确的。
《数论妙趣》267页[美国]阿尔伯特-贝勒著 谈祥柏译，上海教育出版社，。
-平方數在立體的推廣
-同時為三角形數和平方數的數
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