【高三总复习】2013高中数学技能特训：9-4 数学归纳法(理)(人教B版) 含解析_中华文本库
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9-4 数学归纳法(理) 基础巩固强化 1 1 1 1.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋,,＋ n 1)时，第 2 －1 一步应验证不等式( 1 A．1＋2<2 1 1 C．1＋2＋31，∴n 取的第一个数为 2，左端分母最大 1 1 的项为 2 ＝3，故选 B. 2 －1 2．某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时命题成立，则可 推得当 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知 n＝5 时，该命题不成立， 那么可以推得( ) B．n＝6 时该命题成立 D．n＝4 时该命题成立 ) 1 1 B．1＋2＋3<2 1 1 1 D．1＋2＋3＋4<3
A．n＝6 时该命题不成立 C．n＝4 时该命题不成立 [答案] C
[解析] ∵“若 n＝k(k∈N*)时命题成立，则当 n＝k＋1 时，该命 题也成立”，故若 n＝4 时命题成立，则 n＝5 时命题也应成立，现已 知 n＝5 时，命题不成立，故 n＝4 时，命题也不成立． [点评] 可用逆否法判断． 3．(2012· 深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：12 n?2n2＋1? ＋2 ＋,,＋n ＋,,＋2 ＋1 ＝ ，第二步证明由“k 到 k＋1” 3
时，左边应加(
A．k2 C．k2＋(k＋1)2＋k2 [答案] D
B．(k＋1)2 D．(k＋1)2＋k2
[解析] 当 n＝k 时，左边＝12＋22＋,,＋k2＋,,＋22＋12，当 n＝ k＋1 时，左边＝12＋22＋,,＋k2＋(k＋1)2＋k2＋,,＋22＋12，∴选 D. 1 1 1 1 4．已知 Sk＝ ＋ ＋ ＋,,＋2k(k＝1,2,3，,,)，则 Sk＋1 k＋1 k＋2 k＋3 等于( ) 1 1 B．Sk＋ － 2k＋2 k＋1 1 1 D．Sk＋ ＋ 2k＋1 2k＋2
1 A．Sk＋ 2?k＋1? 1 1 C．Sk＋ － 2k＋1 2k＋2 [答案] C [解析] ＋,,＋ Sk ＋ 1 ＝
1 1 1 1 1 ＋ ＋,,＋ ＝ ＋ ?k＋1?＋1 ?k＋1?＋2 2?k＋1? k＋2 k＋3
1 1 1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋ ,, ＋ 2k ＋ ＋ － ＝ Sk ＋ 2k＋2 k＋1 k＋2 2k＋1 2k＋2 k＋1
1 1 － . 2k＋1 2k＋2 5．数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2 时，an－an－1＝2n－1，依 次计算 a2、a3、a4 后，猜想 an 的表达式是( A．an＝3n－2 C．an＝3n－1 [答案] B [解析] a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2. 1 1 1 1 6．已知 f(n)＝n＋ ＋ ＋,,＋n2，则( n＋1 n＋2 A．f(n)中共有 n 项 ) )
B．an＝n2 D．an＝4n－3
B．f(n)中共有 n＋1 项
C．f(n)中共有 n2－n 项 [答案] D
D．f(n)中共有 n2－n＋1 项
[解析] f(n)的分母从 n 开始取自然数到 n2 止，共有 n2－(n－1) ＝n2－n＋1 项． 7．如果不等式 2n>n2＋1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立，则 n0 的 最小值为________． [答案] 5 [解析] 当 n＝1 时，2>2 不成立， 当 n＝2 时，4>5 不成立． 当 n＝3 时，8>10 不成立 当 n＝4 时，16>17 不成立 当 n＝5 时，32>26 成立 当 n＝6 时，64>37 成立，由此猜测 n0 应取 5. n?3n＋1? 8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋,,＋(n＋n)＝ (n 2 ∈N*)的第二步中，当 n＝k＋1 时等式左边与 n＝k 时等式左边的差等 于________． [
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那么可推得当n=k+1时该命题也成立.当n=6时该命题不成立
B，现已知当n=5时.当n=4时该命题不成立
D某个命题与自然数n有关，该命题不成立.当n=6时该命题成立C，那么可推得（
）A，若n=k（k∈N）时该命题成立
提问者采纳
选C 因为n=4成立的话n=5一定成立 与题设矛盾 又因为n=5不成立 所以n=6是否成立是无法判断的
提问者评价
&与题设矛盾&很经典~~
其他1条回答
n=k（k∈N）时该命题成立可推得当n=k+1时该命题也成立逆否命题也成立
当n=k+1时该命题不成立可推得n=k时该命题不成立成立所以选C
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出门在外也不愁122012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1029数学归纳法
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122012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1029数学归纳法
g3.1029数学归纳法；一、知识回顾；数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重；1.用数学归纳法证明命题的步骤为:；①验证当n取第一个值n0时命题成立,这是推理的基；②假设当n=k(k?N*,k?n0)时命题成立.；3结论.○；2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）:；3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要；(2)在第二步中,关键
g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n取第一个值n0时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k(k?N*,k?n0)时命题成立.在此假设下,证明当n?k?1时命题也成立是推理的依据.3结论. ○2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证n?n0时成立,注意n0不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当n?k(k?N*)时该命题成立,那么可以推得n?k?1时该命题也成立.现已知n?5时该命题不成立,则(
)A n?4时该命题成立
n?6时该命题不成立C n?4时该命题不成立
n?6时该命题成立 2．用数学归纳法证明2n&n2 (n∈N,n?5),则第一步应验证n=111?n(n?N*,n?1)时, ,第一步验证不等式 3．用数学归纳法证明:1???????n232?1成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是
.三、例题分析????????例1:已知n?N*,证明:1????????. 2342n?12nn?1n?22nn1111例2、求证：1??1?????n??n 22322例3.是否存在正整数m使得f?n???2n?7??3n?9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。例4.平面内有n(n?N*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成n2?n?2个部分.例5.设f(k)满足不等式log2x?log23?2k?1?x?2k?1k?N?的自然数x的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记Sn?f(1)?f(2)???f(n)，求Sn的解析式；????（3）令Pn?n2?n?1n?N?，试比较Sn与Pn的大小。三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论四、作业
同步练习g3.1029数学归纳法1111．若f（n）=1+?????? （n∈N*），则当n=1时，f（n）为
232n?11（A）1
（B） 311（C）1+?
（D）非以上答案 232．用数学归纳法证明1+a+a+?+a2n+1??1?an?2=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边1?a计算所得的项是（A）1
（B）1+a（C）1+a+a2
（D）1+a+a2+a33.用数学归纳法证明??????(n?N),则从k到k＋1时,左边应添加1－＋－???2342n?12nn?1n?22n的项为
2k?12k?22k?4111(C) －
(D) － 2k?22k?12k?24．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（A）当n=6时该命题不成立；
（B）当n=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立
（D）当n=4时该命题成立1111?????(k?1,2,3,?), 则Sk+1 =
5.Sk?k?1k?2k?32k(A)
2k?2k?12(k?1)1111??
2k?12k?22k?12k?26．由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)=(2)凸n边形的对角线条数f(n)=(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)=
.为真，进而需验证n=
，命题为真。7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2n?1?2?3??(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为
.2n(n?1)8.是否存在常数a,b,c,使得等式1?2＋2?3＋??＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切12222自然数n成立？并证明你的结论. 111n?（n?N?） 9. 求证：1?????n232?1210. （2002年全国高考?理）设数列{an}满足an?1?a2n?nan?1，n?1，2，3，??（1）当a1?2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a?3时，证明对所有的n?1，有?1?an?n?2；
?2?1111??????。 1?a11?a21?an2 11．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+AN与Bn的大小. 答案基本训练 1.C
2k例题分析1.证明:用数学归纳法证明.111?,右边?,等式成立; 222(2)假设当n?k时等式成立,即有:????????????????. 2342k?12kk?1k?22k那么当n?k?1时, n(n?1)21lgx,其中n∈N,n?3,x?(,??),试比较 210(1)当n?1时,左边=1?左边=1?1111111?????????? (k?1)?12(k?1)?11111???????? k?1k?22k2k?12(k?1)111111????????[?] k?2k?32k2k?1k?12(k?1)??1111???????=右边; (k?1)?1(k?1)?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)所以当n?k?1时等式也成立.综合(1)(2)知对一切n?N*,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当n?k?1时向目标式靠拢是关键.12.证明：（1）当n=1时，f(1)?1?，原不等式成立 2（2）设n=k?k?N??时，原不等式成立 即1?k1111?1?????k??k成立，当n=k+1时， 22322111k111?????1??????22k?12k?22k?12k?22k?12k?1k111k1k?1?1??k?1?k?1???k?1?1???1?2?2222??22????????f?k?1??f?k??共2k项1111111??????k?????2k?12k?22k?122k?12k?22k?11111??k?k?k???k22???1?2??1???2?1??????f?k?1??f?k??共2k项?f?k?1??1??k?1?
即n=k+1时，命题成立 2综合（1）、（2）可得：原命题n?N?对恒成立。3.证明：由f?n???2n?7??3n?9得，f?1??36，f?2??3?36，f?3??10?36， f?4??34?36，由此猜想m=36下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，显然成立。（2）假设n=k时，f(k)能被36整除，即f?k???2k?7??3k?9能被36整除；当n=k+1时， ?2?k?1??7??3k?1?9?3??2k?7??3k?9??18?3k?1?1? 由于3k?1?1是2的倍数，故18(3k?1?1)能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n都有f?n???2n?7??3n?9能被36整除，m最大值为36。4.解: (1)当n?1时,一个圆把平面分成两部分,此时n2?n?2?2, 即命题成立;(2)假设当n?k时命题成立,即k个圆把平面分成k2?k?2个部分.那么当n?k?1时,这k?1个圆中的k个把平面分成k2?k?2个部分.第k?1个圆被前k个圆分成2k条弧,这2k条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加2k个部分,故k?1个圆把平面分成k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2个部分,这说明当n?k?1时命题也成立.
综上所述,对一切n?N*,命题都成立.例5.设f(k)满足不等式log2x?log23?2k?1?x?2k?1k?N?的自然数x的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记Sn?f(1)?f(2)???f(n)，求Sn的解析式；（3）令Pn?n2?n?1n?N?，试比较Sn与Pn的大小。x?0x?0????x?3?2k?1??x?3?2k?1?2k?1?x?2k 5.解：（1）原不等式???x?3?2k?1?x?22k?1?x?2k?1x?2k?0??????????????f?k??2k?2k?1?1?2k?1?1（2）Sn?f(1)?f(2)???f(n)?20?21???2n?1?n?2n?n?1（3）Sn?Pn?2n?n2n=1时，21?12?0;；n=2时，22?22?0;
n=3时，23?32?0;；n=4时，24?42?0; n=5时，25?52?0;；n=6时，26?62?0; 猜想：n?5时Sn?Pn下面用数学归纳法给出证明（1） 当n=5时，S5?P5，已证（2）假设n?k?k?5?时结论成立即Sk?Pk,2k?k222那么n=k+1时，2k?1?Pk?1而2k2??k?1??k2?2k?1??k?1??222在k?5范围内，?k?1??2?0恒成立则2k2??k?1?，即SK?1?Pk?1由（1）（2）可得，猜想正确，即n?5时，Sn?Pn 综述：当n=2,4时，Sn?Pn当n=3时，Sn?Pnn=1或n?5时，Sn?Pn。 作业1―5、CCDCC包含各类专业文献、中学教育、高等教育、生活休闲娱乐、122012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1029数学归纳法等内容。　
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