已知函数$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．
试题及解析
学段：高中
学科：数学
已知函数$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．
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解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$；
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$；．
∴函数f（x）的单调增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ\;，\;\;\frac{π}{6}+kπ\;]\;\;（{k∈Z}）$．
（2）由f（α）=3，得$2sin（2α+\frac{π}{6}）+2=3$．
∴$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∴$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2{k_1}π$，或$2α+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}+2{k_2}π$（k
1π或$α=\frac{π}{3}+{k_2}π$（k
2∈Z）．∵α∈（0，π），
∴$α=\frac{π}{3}$．
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本题考查了三角函数的性质：单调性，还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的综合运用，在处理三角函数的单调区间的问题时，常用整体思想，类比正（余）弦函数的性质．
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＞＞＞已知函数f（x）=sin（23x+π3），（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函..
已知函数f（x）=sin（23x+π3），（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）经过怎样的图象变换，可由f（x）的图象得到y=sin（2χ+2π3）的图象．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）函数f（x）=sin（23x+π3）的周期是T=2π23=&3π，函数f（x）的最小正周期是：3π．（Ⅱ）因为23x+π3∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]k∈Z 解得 3kπ+π4≤x≤3kπ+7π4&k∈Z函数f（x）的单调递减区间：[3kπ+π4，3kπ+7π4]&&k∈&Z（Ⅲ）函数f（x）=sin（23x+π3）的图象向右平移π2，纵坐标不变，得到函数y=sin23x的图象，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍，得到y=sinx的图象，然后向左平移2π3个单位，纵坐标不变，得到函数y=sin（x+2π3）的图象，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍得到函数y=sin（2χ+2π3）的图象．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=sin（23x+π3），（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函..”主要考查你对&&任意角的三角函数，正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等），函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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任意角的三角函数正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质
任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是，那么，，以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
象限角的三角函数符号：
一全正，二正弦，三两切，四余弦。 特殊角的三角函数值：（见下表）
正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。函数的图象：
1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T=，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。 2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。 3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系： 把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（φ＞0）或向右（φ＜0），y=sin（x+φ） 把y=sin（x+φ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，y=sin（ωx+φ） 把y=sin（ωx+φ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，y=Asin（x+φ）把y=Asin（x+φ）的图象横坐标不变，纵坐标向上（k＞0）或向下（k＜0），y=Asin（x+φ）+K； 若由y=sin（ωx）得到y=sin（ωx+φ）的图象，则向左或向右平移个单位。 函数y=Asin（x+φ）的性质：
1、y=Asin（x+φ）的周期为； 2、y=Asin（x+φ）的的对称轴方程是，对称中心（kπ，0）。
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已知函数f(x)=23sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）若x∈(-π6，π]，求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π8]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f(x)=23sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)∴利用三角函数的降次公式，得f（x）=3sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+π6）∵函数f（x）的最小正周期为T=2π2ω=π∴2ω=2，可得函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x+π6）令π2+2kπ＜2x+π6＜3π2+2kπ，得π6+kπ＜x＜2π3+kπ，其中k是整数，∵x∈(-π6，π]，∴取k=0，得x∈(π6，2π3)所以函数f（x）的单调递减区间是(π6，2π3)；（2）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，所得函数解析式为：y=2sin（4x+π6）再把所得到的图象再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin[4（x+π6）+π6]=2sin（4x+5π6）∵函数y=g（x）定义在区间[0，π8]上，∴4x+5π6∈[5π6，4π3]=>sin4π3≤sin（4x+5π6）≤sin5π6即-32≤sin（4x+5π6）≤12∴函数y=g（x）的值域为[-3，1]，函数的最小值为-3．
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已知三角函数值求角函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质
反三角函数的定义：
（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx； 注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。 （2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。 （3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。 反三角函数的性质：
（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a（-1≤a≤1）， tan（arctana）=a； （2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana； （3）arcsina+arccosa=； （4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。已知三角函数值求角的步骤：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）； （2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1； （3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。 函数的图象：
1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T=，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。 2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。 3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系： 把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（φ＞0）或向右（φ＜0），y=sin（x+φ） 把y=sin（x+φ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，y=sin（ωx+φ） 把y=sin（ωx+φ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，y=Asin（x+φ）把y=Asin（x+φ）的图象横坐标不变，纵坐标向上（k＞0）或向下（k＜0），y=Asin（x+φ）+K； 若由y=sin（ωx）得到y=sin（ωx+φ）的图象，则向左或向右平移个单位。 函数y=Asin（x+φ）的性质：
1、y=Asin（x+φ）的周期为； 2、y=Asin（x+φ）的的对称轴方程是，对称中心（kπ，0）。
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