递归---斐波那契 - java - ITeye技术网站
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从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和
千万记住：斐波那契的场景只是巧合。。。
有一个序列，首两项为0,1，以后各项值为前两项值之和，写一个方法来
实现这个序列的和
这就是著名的斐波那契哦。。。。
public static int getNumber(int curCount){
if(curCount == 1){
if(curCount == 2){
int s = getNumber(curCount-1)+getNumber(curCount-2);
/*这里只能得到当前的值。。。各项值为前两项值之和---说明要得到每一项的值需要递归
那么我要计算总数呢。。。如果用这个递归函数的话，则用最傻的方法。。循环的get每一值，显然效率不高。。。怎么办。。？？？
换思维方式：
如果我要求和：Sn = an + Sn-1 这个式子要求已知an才可以用。。。新定义一种求和：
Sn = a1 + Sn-1
其中Sn-1 = a2+a3+a4+ ...+ an 这样的话a1是已知的了
注意：只能用递归的观点来理解，sum(int n) 就是计算前n项之和，如果n=2 那么代表前两个数之和 1+0 =1 这里返回1 ，n=1 其实没有什么含义，只是为了兼容n=1的情况，完全可以不要，当n&2时，我们先计算 curC + sum(curB, curC,n-1); 也就是a3+a4+...an-3,最后计算
a1+a2,从运行的宏观顺序来看是这样的。
public static int sum(int curA, int curB,int n) { //计算前n项的和
//如果前n项计算完毕则返回,注意第一项和第二项已经不用计算了
}else if(n == 1){
int curC = curA+curB;
//这个是这一步求出来的数，作为下一步的B
return curC + sum(curB, curC,n-1);
}//与先前不同的是初始值应该设置进去，因为这是递推式的递归
public static int sum(int curA, int curB,int n,int startA,int startB) { //计算前n项的和
return startA+startB;
int curC = curA+curB;
return curC + sum(curB, curC,n-1);//先计算a3+a4+...到了终止的时候再加a1+a2
斐波那契的应用：
有一对兔子从出生后第三个月起每个月都生一对兔子,小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子,假如兔子都不死,问每个月的兔子总数为多少
像这种场景----请记住---它就是斐波那契场景，因为人们通过最笨的办法数这个兔子总数的时候，发现出生的兔子数符合斐波那契规律，所以才能用斐波那契来求。。。我们把这道题作为一个模板，以后看到类似的情况，就先猜想他是不是斐波那契，如果是，那么直接用斐波那契就简单许多，注意：这里是数出来的东西符合斐波那契，而不是他很清楚的具有斐波那契语义
因为这种东西很晕，所以我把兔子分成两类，第一类是可以生的，第二类是不可以生的
离可以生1个月
离可以生2个月
这样就不晕菜了。。。
然后汇总一下：
注意：如果把题目改成有一对兔子从出生后第四个月起。。。。那么他就不是斐波那契数列了，只是这个题目恰好他的数列是斐波那契，才可以用这个函数来求解而不用考虑他的语义，如果改掉之后就只能用面向对象来做了。。。
private static long rabbit(int monthNum) {
if(monthNum == 1 || monthNum == 2){
return 1L;
return rabbit(monthNum-1) + rabbit(monthNum-2);
树枝生长问题：
一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝老枝便可每年长出一条新枝，如此下去，十年后树枝将有多少？
蜜蜂的路径问题：
一只蜜蜂从蜂房 A 出发，想爬到 1 ， 2 ， 3…… ， n 号蜂房，但只允许它自左向右（不许反方向倒走） . 则它爬到各号蜂房的路线数各是多少？
7 。。。 n-1
6。。。。n-2
蜜蜂爬进n 号蜂房有下面两种途径： 一．不经过n-1 号蜂房，直接从n-2 号蜂房进入第 n号蜂房的路线有f(n-1) 条； 二．经过n-1 号蜂房进入第n 号蜂房的路线有f(n) 条 . 所以就有f(n+1)=f(n)+f(n-1) . 即 1 、 1 、 2 、 3 、 5 、 8 、 13 、 21 、 34 、 55 、 89 ……
1，有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十级，有89种。
2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
答：这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
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/articl ...
------------------------- ...
大神，请问 string 类型 定义为 oracle的 cha ...
Line:103
f.doFilter(msg);
是否需要 ...Fibonacci数列的第N项&log(N)算法（转）
&题目：定义Fibonacci数列如下：
/&&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&n=0
&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&n=1
/&&f(n-1)+f(n-2)&&&&&&&&&&n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
int result[2] = {0, 1};
&&&&&&&&&&&
return result[n];
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n -
但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系
&&&&&&&&&&&&&&&&&&f(10)
&&&&&&&&&&&&&&&/&&&&&&&&/
&&&&&&&&&&&&f(9)&&&&&&&&&f(8)
/&&&&&/&&&&&&&/&&&&/
f(7)&&f(6)&&&f(5)
&&/&&&&&/&
&f(6)&&f(6)
我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。
其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
int result[2] = {0, 1};
&&&&&&&&&&&
return result[n];
long long& fibNMinusOne = 1;
long long& fibNMinusTwo = 0;
long long& fibN = 0;
for(unsigned int i = 2; i &= ++ i)
&&&&&&&&&&&
fibN = fibNMinusOne + fibNMinusT
&&&&&&&&&&&
fibNMinusTwo = fibNMinusO
&&&&&&&&&&&
fibNMinusOne = fibN;
return fibN;
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n),
f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1,
1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1,
0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
an/2*an/2&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& n为偶数时
a(n-1)/2*a(n-1)/2&&&&&&
&&&&&n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2&2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
#include &cassert&
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// A 2 by 2 matrix
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Matrix2By2
Matrix2By2
&&&&&&&&&&&
long long m00 = 0,&
&&&&&&&&&&&
long long m01 = 0,&
&&&&&&&&&&&
long long m10 = 0,&
&&&&&&&&&&&
long long m11 = 0
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)&
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixMultiply
const Matrix2By2& matrix1,&
const Matrix2By2& matrix2
return Matrix2By2(
&&&&&&&&&&&
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
&&&&&&&&&&&
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
&&&&&&&&&&&
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
&&&&&&&&&&&
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix&
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
assert(n & 0);
Matrix2By2
if(n == 1)
&&&&&&&&&&&
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
else if(n % 2 == 0)
&&&&&&&&&&&
matrix = MatrixPower(n / 2);
&&&&&&&&&&&
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
else if(n % 2 == 1)
&&&&&&&&&&&
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
&&&&&&&&&&&
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
&&&&&&&&&&&
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
int result[2] = {0, 1};
&&&&&&&&&&&
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
相关的数学问题
1.排列组合
　　有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
　　类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
　　答案是(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2） - [(1-√5)/2]^（10+2）}=144种。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表的和谐的一个数字。
　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
　　由可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
3.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）
　　斐波那契数列又学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“”。
　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对
　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
　　－－－－－－
　　依次类推可以列出下表：
　　幼仔对数=前月成兔对数
　　成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
　　总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
　　可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
　　这个数列是意大利数学家斐波那契在&算盘全书&中提出的，这个的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
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有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨两级或三级,要登上十级台阶共有多少种不同的走法?
先想极端情况,即5个2级.2与3互质,所以每少3个2级,则增加2个3级.只有这两种情况.所以一共有1+C(4,2)=7种走访
共1+（4*3)/2=7种 ，设每次走两阶共走了x次，每次3阶共走了y次2x+3y=10,利用奇偶分析法，y=0,x=5;y=2,x=2;当y=0时共有1种走法，y=2时在4次中选2次每次走3阶，共6种走法
分析：最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，设上n级楼梯的走法是a（n），则a（n）的值与等于a（n-1）与a（n-2）的值的和，得到关于走法的关系式a（n）=a（n-1）+a（n+2），这样可以计算出任意台阶数的题目．∵最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，∴设上n级楼梯的走法是a（n），则a（n）的值与等于a（n-1）与a（n-2...
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&(字节数: 37101)1 |
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