已知若数列an a1 a2{an}中，a1=1，a2=2...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-19 17:27 标签： 若数列an a1 a2
已知数列{an}满足a1=1.a2=a＞0.数列{bn}满足bn=an•an+1(1)若{an}为等比数列.求{bn}的前n项的和sn,(2)若bn=3n.求数列{an}的通项公式,(3)若bn=n+2.求证:1a1+1a2+-+1an＞2n+2-3． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知数列{an}满足a1=1，a2=a＞0，数列{bn}满足bn=an•an+1（1）若{an}为等比数列，求{bn}的前n项的和sn；（2）若bn=3n，求数列{an}的通项公式；（3）若bn=n+2，求证：1a1+1a2+…+1an＞2n+2-3．
考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{an}的通项公式，进一步求得{bn}是等比数列，则其前n项和sn可求；（2）把bn=3n代入bn=an•an+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{an}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由bn=n+2得到anan+1=n+2，进一步得到an+1-an-1=1an，代入1a1+1a2+…+1an整理后利用基本不等式证得结论．
（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{an}为等比数列，则an=an-1，∴bn=an-1•an=a2n-1．当a=1时，bn=1，则sn=n；当a≠1时，sn=a(1-a2n)1-a2．（2）解：∵3n=an•an+1，∴3n-1=an-1•an（n≥2，n∈N），∴an+1an-1=3(n≥2，n∈N)．当n=2k+1（k∈N*）时，a2k+2a2k=3∴a2k=a2&#=a&#；当n=2k，（k∈N*）时，a2k+1a2k-1=3∴a2k-1=3k-1．∴an=3n-12(n=2k-1)a&#(n=2k)．（3）证明：∵anan+1=n+2 ①，∴an-1an=n+1（n≥2）②，①-②得an(an+1-an-1)=1∴an+1-an-1=1an(n≥2)∴1a2+1a3+…+1an=（a3-a1）+（a4-a2）+…+（an+1-an-1）=an+an+1-a1-a2∴1a1+1a2+1a3+…+1an=an+an+1-a1-a2+1a1=an+an+1-3．∵an+an+1＞2an•an+1=2n+2，∴1a1+1a2+1a3+…+1an＞2n+2-3．
点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．
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荣光万丈4492
令i＝ai+1ai(1≤i≤8)，则对每个符合条件的数列{an}，满足bi=i+1ai=9a1=1，且bi∈{2，1，-}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}．记符合条件的数列{bn}的个数为N，由题意知bi（1≤i≤8）中有2k个-，2k个2，8-4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．（1）对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．（2）N=1++=491．
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本题考点：
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考点点评：
本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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