数列前n项和的求法特征根法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-25 11:22 标签： 特征根法
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特征方程特征根法求解数列通项公式
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ajYI71II59
对于αa[n+1]+βa[n]+γa[n-1]=0设u,v,使得a[n+1]-ua[n]=v(a[n]-ua[n-1]) (这个式子可以看成等比)展开后有:a[n+1]-(u+v)a[n]+uva[n-1]=0,所以u+v=-β/α,uv=γ/α所以u,v是αx^2+βx+γ=0的两根 这个式子被称为特征方程对于a[n+1]-ua[n]=v(a[n]-ua[n-1])有:a[n+1]-ua[n]=(v^(n-1))(a[2]-ua[1]),所以a[n+1]=ua[n]+(v^(n-1))(a[2]-ua[1])u≠v时,a[n+1]-[v^n/(u(v-u))](a[2]-ua[1])=u(a[n]-[v^(n-1)/(u(v-u))](a[2]-ua[1]))所以a[n+1]-[v^n/(u(v-u))](a[2]-ua[1])=(u^n)(a[1]-(a[2]-ua[1])/(u(v-u)))所以a[n+1]=[v^n/(u(v-u))](a[2]-ua[1])+(u^n)(a[1]-(a[2]-ua[1])/(u(v-u)))所以a[n+1]=[v^(n-1)/(u(v-u))](a[2]-ua[1])+(u^(n-1))(a[1]-(a[2]-ua[1])/(u(v-u)))此时A=a[1]-(a[2]-ua[1])/(u(v-u)),B=(a[2]-ua[1])/(u(v-u)),(x1=u,x2=v,下同)u=v时,a[n+1]=ua[n]+(u^(n-1))(a[2]-ua[1])所以a[n+1]-(a[2]-ua[1])(n+1)u^(n-1)=u(a[n]-(a[2]-ua[1])nu^(n-2))所以a[n+1]-(a[2]-ua[1])(n+1)u^(n-1)=(u^n)(a[1]-(a[2]-ua[1])u^(-1))=(u^n)(2a[1]-a[2]/u)所以a[n+1]=(a[2]-ua[1])(n+1)u^(n-1)=(u^n)(2a[1]-a[2]/u)所以a[n]=[(a[2]-ua[1])/u]nu^(n-1)=(u^(n-1))(2a[1]-a[2]/u)此时A=(2-u)a[1],B=(a[2]-ua[1])
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