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设函数f（x=ex，其中e为自然对数的底数。（1求函数g（x=f（xex的单调区间；（2记曲线y=f（x在点P（x0，f（x0（
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设函数f（x=ex，其中e为自然对数的底数。（1求函数g（x=f（x-ex的单调区间；（2记曲线y=f（x在点P（x0，f（x0（其中x00处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值。
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首先 对数真数必须大于0则x-2>0其次根号下边必须大于零因为底数小于1，所以真数必须小于等于1则x-2<=1解得x在（2，3]
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& 高一数学北师大版必修1：3.5.1、3.5.2《对数函数的概念、对数函数y＝log2x的图像和性质》课件
高一数学北师大版必修1：3.5.1、3.5.2《对数函数的概念、对数函数y＝log2x的图像和性质》课件
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指数函数和对数函数
对数函数的概念
对数函数y＝log2x的图像和性质1．掌握对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系．
2．了解反函数的概念，会求已知函数的反函数．
重点：对数函数的概念及y＝log2x的图像和性质．
难点：对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系．
一、对数函数的概念
由函数y＝ax(a>0，a≠1)，把x看成y的函数，则这个函数叫作对数函数，习惯上记作y＝logax(a>0，a≠1)，它的定义域是(0，＋∞)．
注意：从函数定义去理解．
(1)根据对数式x＝logay(a>0，a≠1)，对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应．根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系．其中y是自变量，x是因变量．函数x＝logay(a>0，a≠1，y>0)叫作对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集R.
(2)由对数函数的定义可知，在指数函数y＝ax和对数函数x＝logay中，x、y两个变量之间的关系是一样的，所不同的只是在指数函数y＝ax里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数x＝logay中，y当作自变量，x是因变量，习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成y＝logax(a>0，a≠1，x>0)．
二、反函数
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
注意：深刻理解定义．
(1)函数y＝f(x)的反函数常用y＝f－1(x)来表示．
(2)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．
(3)对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．(a>0且a≠1)
(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．
(5)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数．
三、求反函数的步骤
由反函数的概念可以得出求反函数y＝f－1(x)的步骤如下：
由y＝f(x)反解得出x＝φ(y)；
求出y＝f(x)的值域，即y＝f－1(x)的定义域；
将x＝φ(y)改写成y＝f－1(x)，并注明其定义域．
四、函数y＝log2x的性质
1．对数函数的有关概念
(1)对数函数：我们把函数y＝________(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的________．
(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lgx为________，以无理数e为底的对数函数y＝lnx为________．
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数________(a>0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数________(a>0，a≠1)的反函数．互为反函数的图像关于________对称．
3．y＝log2x的图像和性质
对数函数y＝log2x的图像过点________，函数图像都在________，表示了________没有对数；当x>1时，y＝log2x的图像位于________，当0<x0，a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的有，，其他的不符合．
[方法总结]　同指数函数一样，对数函数也是形式化定义，形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数是对数函数，否则不是．
下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(x＋7)(a>0，且a≠1)
B．y＝log3x2
C．y＝log2(x＋1)
D．y＝log5x
[解析]　只有形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数.
求对数函数的定义域
[例2]　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝.
[分析]　列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．
[解析]　(1)要使函数有意义，需
<x<2，且x≠1，
故函数的定义域为{x|<x<2，且x≠1}．
(2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x)≥0，
解得3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x0，
即log(x－1)>0，所以log2>0，
，即1<x<2.
故函数的定义域为{x|1<x0得(x－5)(x＋1)>0，所以x5，故定义域为{x|x5}．
(2)由已知得得
故定义域为{x|－1<x<0，或0<x1.
故函数的定义域为(1，＋∞).
对数函数的值域与最值
[例3]　(1)求函数y＝log2(x2－2x－3)的值域；
(2)设x≥0，y≥0且x＋2y＝，求函数log2(8xy＋4y2＋1)的最大值和最小值．
[分析]　(1)本题是复合函数，先求函数的定义域以及真数的范围，再求函数的值域；(2)欲求函数的最值，先求真数的最值，将真数的x，y统一，并注意自变量的取值范围．
[解析]　(1)定义域：x2－2x－3>0，即x>3或x0，y＝log2u的值域为R.
(2)x＋2y＝，2y＝－x.
设P＝8xy＋4y2＋1＝4x＋2＋1
＝－3x2＋x＋＝－32＋.
又x≥0，y≥0，x＋2y＝，－x＝2y≥0，
即x≤，0≤x≤，在此范围内，P的最大值为，此时x＝.P的最小值为1，此时x＝.
又y＝log2x是增函数，因此函数log2(8xy＋4y2＋1)的最小值是0，最大值是log2.
[方法总结]　(1)考查复合函数值域的求法，先求定义域，再确定真数的范围，最后根据对数运算并求出值域．(2)关键是真数的范围，特别注意的是隐含的自变量的取值范围．
求下列函数的值域：
(1)y＝log2；(2)y＝log2(x2－2x＋2)；
(3)y＝logx－log2x2＋3，x[2,4]．
[解析]　(1)＝4＋≠4，
只要满足>0且≠4，即可．
y≠log24＝2，故函数的值域为{y|yR且y≠2}．
(2)由y＝log2(x2－2x＋2)，知
x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1.
log2(x2－2x＋2)＝log2[(x－1)2＋1]≥log21＝0.
y＝log2(x2－2x＋2)的值域为[0，＋∞)．
(3)设u＝log2x，x[2,4]，y＝u2－2u＋3，u[1,2]．
又由于y＝u2－2u＋3＝(u－1)2＋2，且u[1,2]，
2≤y≤3.故函数的值域为[2,3].
[例4]　求下列函数的反函数．
(1)y＝log4x；(2)y＝logx；(3)y＝9x；(4)y＝x.
[分析]　根据指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数进行求解．
[解析]　(1)对数函数y＝log4x，它的底数是4，它的反函数是指数函数y＝4x.
(2)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝x.
(3)指数函数y＝9x，它的底数是9，它的反函数是对数函数y＝log9x.
(4)指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
[方法总结]　要寻求函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来写成y＝g(x)的形式，如果这种表达式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)．
写出下列函数的反函数．
(1)y＝logx；(2)y＝lnx；(3)y＝()x；
(4)y＝2x－1.
[分析]　通过观察要清楚底数是什么，再利用指数函数与对数函数互为反函数得结果．
[解析]　(1)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝()x.
(2)对数函数y＝lnx，它的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
(3)指数函数y＝()x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
(4)由y＝2x－1得2x＝y＋1，x＝log2(y＋1)，
它的反函数是对数函数y＝log2(x＋1)(x>－1)．
指数函数与对数函数关系的综合应用
[例5]　(1)若点A(1,2)既在函数f(x)＝的图像上，又在f(x)的反函数的图像上，求a，b的值；
(2)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
[分析]　(1)可由A关于y＝x的对称点A′(2,1)也在f(x)上，建立a，b的方程组求解．
(2)根据方程的特点，难以从正面下手，可转变方程形式，用数形结合的方法求解．
[解析]　(1)依题意可得f(1)＝2，f－1(1)＝2，
即f(2)＝1，解得
即a＝－3，b＝7.
(2)将方程整理得2x＝－x＋3，
log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
则A、B都在直线y＝－x＋3上，
b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
[方法总结]　1.互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f－1(x)图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f(x)图像上．
2．根据指数函数与对数函数图像的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．
设a，b，c均为正数，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，则(　　)
A．a<b<c　　　　　　B．c<b<a
[解析]　由函数y＝2x，y＝()x，y＝log2x，y＝logx的图像知：0<a<b<10)，求函数f－1(x)的定义域和值域．
[误解]　由f(x)＝4x，可得f－1(x)＝log4x是对数函数，
f－1(x)的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
[解析]　反函数的值域是原函数的定义域，反函数的定义域是原函数的值域．因此，求反函数的定义域、值域，应从原函数值域、定义域入手，而不是从反函数的解析式出发．
[正解]　x>0，4x>1.
故f(x)的定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)，
f－1(x)的定义域为(1，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
[方法总结]　由原函数与反函数的关系知，f(x)与f－1(x)的定义域、值域互换．
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
[解析]　，
∴其定义域为[4，＋∞)．选D.
2．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(9，＋∞)
C．(10，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析]　反函数f－1(x)的定义域是原函数的值域．
又3x>0，f(x)＝3x＋9>9.
值域为(9，＋∞)，故选B.
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
[解析]　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，
故f(x)＝log2x，选A.
二、填空题
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
[答案]　log32
[解析]　当x(－∞，1]时，f(x)(0,3]；
当x(1，＋∞)时，f(x)(－∞，－1)．
f(x)＝2，3x＝2x＝log32.
5．对数函数的图像过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________．
[答案]　y＝log3x
[解析]　设对数函数为y＝logax，2＝loga9，
a＝3，解析式为y＝log3x.
三、解答题
6．说出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由．
(1)y＝7x和y＝log7x；
(2)y＝3x和y＝logx；
(3)y＝x和y＝log0.2x；
(4)y＝()x和y＝logx.
[解析]　(1)，(3)组是，因为它们的定义域、值域互换，对应法则互逆，符合y＝ax与y＝logax的关系．
(2)，(4)组不是，因为它们底数不同，不符合y＝ax与y＝logax的关系．
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1（1是真数）→3x-2≥1 → x≥1真数3x-2＞0→x＞2/3我得出的结果x≥1，x＞2/3
但是答案是2/3＜x≤1的
hoMI60EI69
首先二次根号下的数应该大于0 对数函数下的底数大于0小于1 在(0,﹢∞)上是减函数 要使整个对数大于0 则要求 0＜3x-2＜1 即可求得2/3＜x≤1
因为有√ ..所以log1/2(3x-2)>=0...所以3x-2>=1所以X>=1
应该是大于2/3小于1吧
你画出log的函数就知道了
可以看到真数是要大于零的
也就是说（3x-2）>0
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