求解微分方程_百度知道
求解微分方程
求解微分方程 y'=a/y+b
xiajinjinjin：有一步写错了dx=[y/(a+by)]dy=[(1/b)-a/(b*b*y+a)]dy应为dx=[y/(a+by)]dy={(1/b)-a/[b*(b*y+a)]}dy我就是想不到这步，卡住了。多谢了
提问者采纳
上面答的是都是什么呀。y'明显的是对x求导。这是一个高等数学问题，绝对的本科内容。dy/dx=a/y+b=(a+by)/ydx/dy=y/(a+by)dx=[y/(a+by)]dy=[(1/b)-a/(b*b*y+a)]dy两边同时积分，得x=y/b-a*ln|b*b*y+a|/(b*b)
+C得到了x关于y的函数。可以反求出y关于x方程。需要注意的是，x关于y的函数有绝对值符号的出现，也就是一个x对应两个y了。由于x关于y是一个超越式，不是代数式。故很难求出y关于x的方程。不过在实际运用中，求出x关于y的函数即可。这是由于一旦x关于y的函数确定了，y关于x的方程也就自然确定了（可以由图象法或数值法得到）。
提问者评价
多谢了。你的第一句话道出了我的心声
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微分方程的相关知识
其他5条回答
直接积分，y=∫（a/y+b）dy =alny+by+C
y=∫（a/y+b）dy =alny+by+C 其中C是常数 常数变易法、积分因子法，函数变换法。大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。[编辑本段]常微分方程的内容
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。
一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程的特点
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。[编辑本段]二阶常系数齐次线性微分方程解法
见大学课本《微积分》。
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
1 若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
令 t=1/y ，y=1/t，y'=-1/t??，得 t'=-at??-bt??，dt/(at??+bt??)=-dx，两边积分，再把y代回即可。
这题这么简单 干嘛用150分啊 浪费啊y=∫（a/y+b）dy =alny+by+C 其中C是常数
是不是想解决机车功率不变的启动问题呀 x*dy/dx=b/y+c [y/(b+cy)]dy=[1/x]dx 积分得： y/c-(b/c^2)ln(b+cy)=lnx+k k为常数 这个问题我也思考过
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出门在外也不愁求解微分方程的微分变换法--《南京农业大学》2009年硕士论文
求解微分方程的微分变换法
【摘要】：
本论文系统研究了数值求解常微分方程(ODE)、微分代数方程(DAE)、二阶振荡微分方程和孤立波方程的微分变换法(differential transformation method,简称为DTM).这些方程在诸如电路问题、约束力学等应用科学领域经常出现,我们的工作重点落在对这些问题设计有效的数值方法上,希望数值算法时尽可能保持精确解的定性行为.
微分变换法是求解微分方程的一种新方法,它来源于函数的Taylor,展开,但其根本的思想是避开直接求未知函数的高阶导数值,而通过对微分方程的微分变换得到相邻阶的高阶导数值之间的代数关系,再从初值出发通过代数递推得到各阶导数的值.
本论文分为五章.
第一章概述了微分方程和微分代数方程数值解的基本概念,包括常微分方程(ODE)初值问题解的存在唯一性和微分代数方程(DAE)的指数(index)概念.
第二章给出了一维微分变换的定义和基本性质,建立了求解常微分方程的微分变换法,并将其应用于一个励磁电路系统.研究结果显示：微分变换法适用于直流变化过程,而不适于交流高频变化过程.
第三章利用Butcher根树理论证明了关于复合函数高阶微分的Faa di Bruno公式,建立了的求解高指数线性微分代数方程(DAEs)微分变换法(DTM),并将微分变换法应用于某些非线性高指数微分代数方程组,对约束系统建立了基于局部参数化的微分变换法.
第四章针对解具有振动特征的微分方程建立了修正的微分变换法.首先用微分变换法求出方程的一个有限幂级数解,再作Laplace变换,然后通过Pade逼近将其转化为亚纯函数形式,最后通过Laplace逆变换得到方程数值解.数值实验结果表明,这种用修正的微分变换法大步长计算得到的数值解能保持精确解的振荡性态.
第五章将一维微分变换推广到二维情况,得到适用于偏微分方程(PDE)的二维微分变换方法(2DTM),并将其应用于Klein-Gordon方程,Schrodinger方程,KdV方程等孤立波方程.数值实验结果验证了二维微分变换方法的高效性.
概括起来,本论文主要获得了以下成果：
●建立了复合函数的微分变换法则；
●提出了对线性微分代数方程的微分变换通法；
●将微分代数方程看成流形上的微分方程,建立了求解微分代数方程(特别地,约束系统)的基于局部参数化的微分变换法；
●针对振动问题解的特征,建立了适应于振动问题修正的微分变换法；
●建立了二维微分变换方法,并用于求解几种孤立波方程.
【关键词】：
【学位授予单位】：南京农业大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2009【分类号】：O241.8【目录】：
ABSTRACT7-9
第一章 预备知识9-15
1.1 引言9-10
1.2 常微分方程初值问题10
1.3 微分方程数值解法的基本思想与途径10-12
1.4 微分代数方程12-15
1.4.1 常系数线性微分代数方程与Kronecker指数12-14
1.4.2 非线性微分代数方程的微分指数14-15
第二章 求解常微分方程的微分变换法15-21
2.1 引言15
2.2 微分变换及其性质15-17
2.3 微分变换法求解常微分方程17-19
2.4 结论19-21
第三章 求解高指数微分代数方程的微分变换法21-38
3.1 引言21
3.2 求解线性微分代数方程组的微分变换法21-28
3.3 非线性微分代数方程的微分变换法28-37
3.3.1 Faa diBruno公式及非线性微分代数方程组的微分变换法28-32
3.3.2 求解约束系统基于局部参数化的微分变换法32-37
3.4 结论37-38
第四章 求解振动问题的修正微分变换法38-47
4.1 引言38
4.2 Laplace变换法38-40
4.3 Pade逼近方法40-42
4.4 修正的微分变换法42-46
4.5 结论46-47
第五章 求解偏微分方程的二维微分变换方法47-56
5.1 引言47
5.2 二维微分变换法及其性质47-49
5.3 二维微分变换法求解孤立波方程49-55
5.3.1 Klein-Gordon方程49-51
5.3.2 Schrodinger方程51-52
5.3.3 KdV方程52-55
5.4 结论55-56
总结和展望56-57
参考文献57-61
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京公网安备74号来源：《高等继续教育学报》1995年第01期 作者：张祖发
一阶微分方程的求解
一阶微分方程的求解张祖发对于一阶方程的一些常见的特殊类型，可以用积分的方法求解，即用初等积分法求解。有关一阶微分方程的一些可积类型的求解方法，是学习本课程的基础，其中导数解出的初等积分法，是第一章的重点，而变量可分离方程，一阶线性方程与全微分方程叉是重点中的重点。学员在求解这些类型的方程时不会遇到本质上的困难，其难点是积分因子。一阶隐式方程。寻求积分因子具有很大的灵活性和技巧性，这只能在多做习题中，积累经验，提高观察能力，从而熟悉并掌握求积分因子的方法和技巧。一阶隐式方程有时不仅明显解难于求得，就是隐式解也不容易寻求，解题时要注意到隐式方程的解在（ｘ．，ｙ）平面上的图象是一条曲线，而曲线是容许有参数表示的，因此求方程的所谓参数形式的解，引入参数时要根据方程的特点，适当地选择参数。值得注意的是，求解微分方程，一般首先要判断方程属于什么类型，然后用相应类型方程的求解方法求解，如果所遇方程不明显地属于那一类型，则需适当地施行变换把它化成已知的类型。下面谈谈有关求解的方法和技巧。一、变量可分离的方程变量可分离方程是微分方程中最基本、最简单的方程，不过对变量可分离的......(本文共计5页)
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微分方程VI
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