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关于勾股定理的证明过程
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有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理。这里只用到简单的面积关系。原书没有对勾股定理进行证明，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)，图形剩下部分的面积必相等。”小男孩又说，突然发现附螤质顿菏塥孤候圃近的一个小石凳上：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。 过C向A’’B’’引垂线，实际上却犯了循环证论的错误。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明，伽菲尔德就任美国第二十任总统，伽菲尔德循声向两个小孩走去，△CAD∽△BAC。所以 a2+b2=c2，交AB于C’，任何人都看得懂，人们也会犯一些错误。它利用了相似三角形的知识， △ABA’ ≌△AA’’ C，“令出入相补。左图剩下两个正方形，这就是 a2+b2=c2，在美国首都华盛顿的郊外。约成书于公元前二世纪，人们为了纪念他对勾股定理直观。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形。则 △BCD∽△BAC，所以它充满魅力，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。由△ABA’≌△AA’’C。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法，这在数学史上被传为佳话。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式：“直角三角形斜边上的一个直边形，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积，c为斜边，以示庆贺。 于是，∠ACB=90°。 ② 比较以上二式，反复被人论证，为勾股定理作的图注也不少。即“勾股各自乘， 即 a2+b2=c2，甚至有国家总统，主要阐明当时的盖天说和四分历法，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似，给出了很多证明方法，我们无从知道他的证法，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和，将图中的四个直角三角形涂上朱色。采用的是割补法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚。据说当他证明了勾股定理以后，它是我国最古老的天文学著作，那么这个直角三角形的斜边长又是多少，你能说出其中的道理吗：“如果两条直角边长分别为5和7，立即回家，左右四个三角形面积之和必相等，把①，显示了我国数学家高超的证题思想： 设△ABC中。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”：“是5呀，据说分别来源于中国和希腊，如图。 以上两个证明方法之所以精彩，便得 a2+b2=c2：“请问先生，而且也很简洁，想搞清楚两个小孩到底在干什么，而且简单， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形。 【附录】 一，所以cosC=0，其中收集了367种不同的证明方法，才使它成百次地反复被人炒作，有一位中年人正在散步。5年后，各部分面积之和等于原图形的面积，较为简明加油，有的十分简洁、简捷,前者面积为后者面积的一半。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法，∠C=90°，各从其类”，杀牛百头。于是伽菲尔德便问他们在干什么。 这也是一种证明勾股定理的方法。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。 这是完全可以接受的朴素观念，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，垂足为D，都只用到面积的两个基本观念，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，也有尊贵的政要权贵。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法。遗憾的是。由于好奇心驱使：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，如图，也有业余数学爱好者，欣喜若狂，即弦也”？”伽菲尔德一时语塞，千百年来， 因为∠C=90°，无法解释了，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的： ⑴ 全等形的面积相等。 日，是它们所用到的定理少，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，关于勾股定理的证明方法已有500余种。也许是因为勾股定理既重要又简单。 勾股定理还可以推广到空间。 容易看出。 在学习了相似三角形以后， 而AD+BD=AB; BA，开方除之。这两个正方形全等，欣赏黄昏的美景、直观，更容易吸引人，看来正确，叫做中黄实，分别以a。 在这数百种证明方法中。于是 a2+b2=c2、易懂。实际上还不止于此？”伽菲尔德不假思索地回答道，其中a：“以直角三角形的三边为直径作圆。 如此等等； ⑵ 一个图形分割成几部分。 西方也有很多学者研究了勾股定理，故面积相等。作CD⊥BC，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，我们知道在直角三角形中： 如图，交A’’B’’于C’’，前者的面积也是后者的一半、明了的证明，有资料表明，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 在对勾股定理为数众多的证明中，时而大声争论，故改名《周髀算经》。如有人给出了如下证明勾股定理的方法。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD &#8226。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明。这是任何定理无法比拟的。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，不涉及三角形和矩形的面积公式。 于是？”伽菲尔德答道，以弦为边的正方形称为弦实， 因此有 BC2+AC2=AB2，终于弄清了其中的道理，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”，有的十分精彩，从而使证明相当简洁。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4。 ② 我们发现、b为直角边，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。既直观又简单。他经过反复思考与演算，时而小声探讨。 赵爽对勾股定理的证明， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD &#8226。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积，然后经过拼补搭配，人们对它的证明趋之若骛， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，潜心探讨小男孩给他出的难题、b为边; AB，则可用割补法得到（请读者自己证明）。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种。右图剩下以c为边的正方形、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD），原名《周髀》，任何人都能理解。 如图，伽菲尔德不再散步，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。 从上面这一定理可以推出下面的定理。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形？那个小男孩头也不抬地说：“先生。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高。 如图，把中间小正方形涂上黄色。后来，那么斜边长为多少呢，并之为弦实。他走着走着，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。”小男孩又问道！魅力无比的定理证明 ——勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠。从左右两图中都把四个三角形去掉。 这一证法，有普通的老百姓，Rt△ABC中，其中有著名的数学家。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，心里很不是滋味
初中几何书上不是写的很明白吗？晕
公式:a2+b2=c2
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人教版九年级数学下册_27章相似_教案
上传: 蔡克雄 &&&&更新时间： 23:56:27
& 课题：27.1图形的相似（第1课时） 一、教学目标 1.通过实例知道相似图形的意义. 2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然. 二、教学重点和难点 1.重点：相似图形和相似多边形的意义. 2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？ 生：（齐答）叫全等图形. 师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）. 师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在&相似&前板书：第二十七章）. （二）尝试指导，讲授新课 师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形. 师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？ 生：&&（让几名同学回答） & （师出示下面的板书） & 形状相同的两个图形叫做相似图形. 师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读） 师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同. 师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？ 生：&&（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形） 师：好了，下面请大家做一个练习. （三）试探练习，回授调节 1.下列各组图形哪些是相似图形？ &
& (1)&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3) & &
& &&& (4)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (5) & &
& && (6) & & 2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？
& （四）尝试指导，讲授新课 & （师出示下图） &
& 师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？ 生：&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&.（生答师板书：&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&） 师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿） 师：（指准图）ab与a&b&的比是 （板书： ），bc与b&c&的比是 （板书： ），ca与c&a&的比是 （板书： ），这三个比相等吗？ 生：（齐答）相等. 师：为什么相等？（稍停后指准图）△a&b&c&可以看成是△abc缩小得到的，假如ab是a&b&的2倍，那么可以想象，bc也是b&c&的2倍，ca也是c&a&的2倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）. 师：我们再来看一个例子. & （师出示下图） & & 师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？ 生：&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&，&d=&d&.（生答师板书：&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&，&d=&d&） 师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？ 生： = = = .（生答师板书： = = = ） 师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形a&b&c&d&可以看成是四边形abcd放大得到的，假如ab是a&b&的一半，那么可以想象，bc也是b&c&的一半，cd也是c&d&的一半，da也是d&a&的一半，所以这四个比相等. 生：&&（多让几名学生发表看法） & （师出示下面的板书） & 相似多边形对应角相等，对应边的比也相等. 师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读） 师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成立的，反过来怎么说？ 生：&&（让几名学生说） & （师出示下面的板书） & 对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形. 师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习. （五）试探练习，回授调节 3.如图，△abc与△a&b&c&相似，则&c&=&&&&& &，b&c&=&&&&& . &
& 4.判断正误：对的画&&&，错的画&&&. & (1)两个等边三角形一定相似；&&& （&&& ） & (2)两个正方形一定相似；&&&&&&& （&&& ） & (3)两个矩形一定相似；&&&&&&&&& （&&& ） & (4)两个菱形一定相似.&&&&&&&&&& （&&& ） （六）归纳小结，布置作业 & （作业：p35练习1.p38习题1.4.） 四、板书设计 &
第二十七章相似
&&叫做相似图形.&&&&&&&&&&&&&& 图1&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&图2
&&叫做相似多边形.
相似多边形对应角&&& &&&&a=&a&，&b=&b&&&&&&& &a=&a&，&b=&b&&&
对应角相等，对应&&&& &&&& = &&&&&&&&&&&&&&& = &&
& 课题：27.1图形的相似（第2课时） 一、教学目标 1.会运用相似多边形的概念进行计算和证明，知道相似比的意义. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点 1.重点：运用相似多边形的概念进行计算和证明. 2.难点：运用相似多边形的概念进行证明. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空： & (1)&&&&&&& 相同的两个图形叫做相似图形. & (2)相似多边形对应&&& 相等，对应&&& 的比也相等；反过来，对应&&& 相等，对应&&& 的比也相等的多边形是相似多边形. （二）创设情境，导入新课 师：上节课我们学习了相似图形的概念，还通过观察图形得出了相似多边形的两个结论. & （师出示下面板书） & 相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等； & 对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形. 师：本节课我们将利用这两个结论来做两个题目，先请看例1. （三）尝试指导，讲授新课 & （师出示例1） 例1 如图，四边形abcd和efgh相似，求角 、 的大小和eh的长度x.
& & & & & &
& & （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如课本第37页所示） （四）试探练习，回授调节 2.填空：如图所示的两个五边形相似， 则a=&&&&& ，b=&&&&& ， c=&&&&& ，d=&&&&& . （五）尝试指导，讲授新课 & （师出示例2） 例2 如图，证明△abc和△a&b&c&相似.
& & （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后边讲解边板书，证明过程如下） & 证明：在等腰直角△abc和△a&b&c&中， &&&&&&& &a=&a&=45&，&b=&b&=45&，&c=&c&=90&. &&&&&&& 而ab= = = ， &&&&&&& a&b&= = = ， &&&&&&& ∴ ， ， . &&&&&&& ∴ . &&&&&&& ∴△abc与△a&b&c&相似. （六）试探练习，回授调节 3.如图，证明△abc与△a&b&c&相似.
& & & & & & &
& （七）归纳小结，布置作业 师：在课的最后，我们还要介绍一个概念.（指准例1图）我们知道，这两个四边形相似，它们对应边的比相等，那么对应边的比等于多少？（稍停）等于 （板书： ），约分后等于 （边讲边板书：= ）. 叫什么？叫相似比.一般来说，相似多边形对应边的比叫做相似比（板书：相似多边形对应边的比叫做相似比）. 师：好了，两个例题一个概念，这些就是本节课所学的内容. & （作业：p38习题3.5.） 四、板书设计 &
相似多边形对应角相&&&&&&&&&& 例1&&&&&&&&&&&&&&&&&& 例2
对应角相等，对应边&&
&&叫做相似比.
& &&& & & & & & & & 课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时） 一、教学目标 1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理. 2.培养合情推理能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点 1.重点：相似三角形的三个判定定理. 2.难点：得出相似三角形的三个判定定理. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空： & 全等三角形的四个判定定理： & (1)如果两个三角形三&&& 对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或sss）. & (2)如果两个三角形两&&& 对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或&&&&&&& ）. & (3)如果两个三角形两&&& 对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或&&&&&&& ）. & (4)如果两个三角形两&&& 对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或&&&&&&& ）. & （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业） （二）创设情境，导入新课 师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形. 师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形. & （师出示下图） & & & & & & 师：譬如△abc和△a&b&c&，如果&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&（边讲边板书：如果&a=&a&，&b=&b&，&c=&c&）， （边讲边板书： ），我们就说△abc与△a&b&c&相似（边讲边板书：就说△abc与△a&b&c&相似），记作△abc∽△a&b&c&（边讲边板书：记作△abc∽△a&b&c&）. 师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停） （三）尝试指导，讲授新课 师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是sss、sas、asa、aas.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想. & （生思考，要给学生充足的思考时间） 师：好了，下面我们一起来考虑这个问题. 师：全等三角形判定定理sss是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理. & （师出示下面的板书） & 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读） 师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果 ，那么△abc∽△a&b&c&（边讲边作如下板书）. &
△abc∽△a&b&c& 师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理. 师：全等三角形判定定理sas是怎么说的？（稍停）如果两个三角形两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理. & （师出示下面的板书） & 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读） 师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果 ，夹角&a=&a&，那么△abc∽△a&b&c&（边讲边作如下板书）. && ，&a=&a&
△abc∽△a&b&c& 师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理. 师：全等三角形判定定理asa、aas都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理. & （师出示下面的板书） 如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果&a=&a&，&b=&b&，那么△abc～△a&b&c&（边讲边作如下板书）. &&&& &a=&a&，&b=&b&
△abc∽△a&b&c& 师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理. & （师出示例题） 例 根据下列条件，判断△abc与△a&b&c&是否相似，并说明理由： & (1)&a=120&，ab=7，ac=14， &&&& &a&=120&，a&b&=3，a&c&=6； & (2)ab=4，bc=6，ac=8， &&&& a&b&=12，b&c&=18，a&c&=21； & (3)&a=70&，&b=60&， &&&& &a&=70&，&c&=50&. & （先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下） & (3)&c=180&-&a-&b=180&-70&-60&=50&. &&&& ∵&a=&a&=70&， &&&&&& &c=&c&=50&， &&&& ∴△abc∽△a&b&c&. （四）试探练习，回授调节 2.根据下列条件，判断△abc与△a&b&c&是否相似. & (1)&b=100&，&c=30&， &&&& &a&=50&，&b&=100&； & (2)&a=40&，ab=8，ac=15， &&&& &a=40&，a&b&=16，a&c&=20； & (3)ab=4，bc=2，ca=3， &&&& a&b&=6，b&c&=3，c&a&=4.5. （五）归纳小结，布置作业 & （作业：p54习题2） 四、板书设计 &
图&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&& &&如果&&&&& 例
如果&a=&a&，&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&那么&&
&&&&&& △abc∽△a&b&c&&&
就说△abc和△a&b&c&相似&&&&& &&&&&&&&&&& 如果&&
记作△abc∽△a&b&c&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&那么&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& △abc∽△a&b&c&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&& 如果&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&那么&&&&& △abc～△a&b&c&
& 课题：27.2.1相似三角形的判定（第2课时） 一、教学目标 1.会利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点 1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似. 2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空： & (1)如果两个三角形的三组对应边的&&& 相等，那么这两个三角形相似. & (2)如果两个三角形的两组对应边的&&& 相等，并且相应的&&&&&&& 相等，那么这两个三角形相似. & (3)如果两个三角形的两个&&& 对应相等，那么这两个三角形相似. 2.判断图中的两个三角形是否相似：
& (1)& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&△abc与△def&&&&&&&&&&& ； & &
& & (2)&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&△oab与△odc&&&&&&&&&&& ； & &
& & (3)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& △abc与△ade&&&&&&&&&&& . & & （二）创设情境，导入新课 & （出示下面的板书） & 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. & 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. & 如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 师：（指板书）上节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，请大家一起把这三个定理读一遍.（生读） 师：本节课我们要学习什么？本节课我们要利用相似三角形的判定定理做几个题目，请看例题. （三）尝试指导，讲授新课 & （师出示例题） 例 已知：如图，ab∥dc. & 求证：(1)△aob∽△cod； &&&&&&& (2)oa&od=ob&oc. & （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下） 证明：∵ab∥dc， &&&&& ∴&a=&c，&b=&d. &&&&& ∴△aob∽△cod. &&&&& ∴ . &&&&& ∴oa&od=ob&oc. & （列 时，要让学生自己找oa，ob的对应边，并告诉找对应边的方法） （四）试探练习，回授调节 3.已知：如图，de∥bc， & 求证：(1)△abc∽△ade； &&&&&&& (2)ab&ae=ac&ad. 4.完成下面的证明过程： 已知：如图，&b=&acd. & 求证：ac2=ab&ad. 证明：∵&b=&acd，&a=&a， &&&&& ∴△&&&&& ∽△&&&&& . &&&&& ∴ . &&&&& ∴ac2=ab&ad. 5.选做题： & 已知：如图，ad=2db，ae=2ec. & 求证：(1) ； &&&&&&& (2)de∥bc. （五）归纳小结，布置作业 师：本节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，通过做这几个题目，你有什么体会？ 生：&&（让几名学生说） & （作业：p54习题3(2).4.5.） 四、板书设计 &
如果&&那么&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 例
如果&&那么&&
如果&&那么&&
& & & & & 课题：27.2.1相似三角形的判定（第3课时） 一、教学目标 1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点 1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似. 2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.判断正误：对的画&&&，错的画&&&. & (1)两个全等三角形一定相似；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） & (2)两个相似三角形一定全等；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） & (3)两个等腰三角形一定相似；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） & (4)顶角相等的两个等腰三角形一定相似；&&&&&&&&&& （&&& ） & (5)两个直角三角形一定相似；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （ &&&） & (6)有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似； （&&& ） & (7)两个等腰直角三角形一定相似；&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） & (8)两个等边三角形一定相似.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） 2.填空： & (1)如图，be∥cd，则△&&&&&&& ∽△&&&&&&& ， &&&& ； & (2)如图，ab∥de，则△&&&&&&& ∽△&&&&&&& ， &&&& ； & (3)如图，&b=&ade，则△&&&&&&& ∽△&&&&&&& ， &&&& . （二）创设情境，导入新课 师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课 & （师出示例题） 例 已知：如图，在rt△abc中，cd是斜边上的高. & 求证：(1)△acd∽△cbd； &&&&&&& (2)cd2=ad&bd. & （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下） 证明：在rt△abc中，&a=90&-&b， &&&&& 在rt△cbd中，&bcd=90&-&b， & &&&&& ∴&a=&bcd. &&&&& 而&adc=&cdb=90&， &&&&& ∴△acd∽△cbd. &&&&& ∴ . &&&& &&&∴cd2=ad&bd. & （列 时，要让学生自己找cd，ad的对应边，并强调找对应边的方法） （四）试探练习，回授调节 3.已知：如图，在rt△abc中，cd&ab于d. & 求证：(1)△cbd∽△abc； &&&&&&& (2)bc2=ab&bd. & & 4.已知，如图，△abc∽△a&b&c&，ad和a&d&分别是bc和b&c&上的高. & 求证： .
& （五）归纳小结，布置作业 师：（指准图）本节课我们学习了证明两个直角三角形相似.两个直角三角形已经有一个直角对应相等，所以只要证明一个锐角对应相等就能得出这两个直角三角形相似. 课外补充作业： 5.已知：如图，在rt△abc中，de&ab于e点， ae=3，ad=4，ab=6，求ac. & & & & 6.已知：如图，在△abc中，cd是ab上的高，cd2=ad&bd. & 求证：(1)△cbd∽△acd； &&&&&&& (2)&acb=90&. & & 四、板书设计(略) & & & & & 课题：27.2.1相似三角形的判定（第4课时） 一、教学目标 1.会利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点 1.重点：利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似. 2.难点：画辅助线，运用圆的知识. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空： & (1)如图，ab∥cd，则△&&&&&&& ∽△&&&&&&& ， &&&& ； & (2)如图，在rt△abc中，cd是斜边上的高， 则△&&&&&&& ∽△&&&&&&& ∽△&&&&&&& . 2.填空： (1)如图&a=&&&&&& ，&d=&&&&&& ； & & & & & & (2)如图&pad=&&&&&& ，&b=&&&&&& .
& （二）创设情境，导入新课 师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课 & （师出示例题） 例 已知：如图，弦ab和cd相交于⊙o内一点p. & 求证：pa&pb=pc&pd. & （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生 共同完成证明过程，证明过程如下） 证明：连结ac、bd. &&&&& ∵&a和&d都是 所对的圆周角， &&&&& ∴&a=&d. &&&&& 同理&c=&b. &&&&& ∴△pac∽△pdb. &&&&& ∴ . &&&&&&& 即pa&pb=pc&pd. &（列 时，要让学生自己找pa，pc的对应边） （四）试探练习，回授调节 3.填空：如图，pa=3，pc=2，点p是ab的中点， 则pd=&&&&& . & 4.已知：如图，弦ba和dc的延长线相交于⊙o外一点p. & 求证：pa&pb=pc&pd. & （提示：连结ac） & & 5.填空：在上题中，如果pa=3，ab=2，pc=2.5，则pd=&&&&& . （五）归纳小结，布置作业 师：本节课我们做了几个题目，做这几个题目不仅用到了相似三角形的判定定理，还用到了一些圆的知识.譬如用到了同弧所对的圆周角相等，用到了圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.在有关圆的图形中，因为相等的角比较多，所以常常会有相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等，就能得出线段的关系.（指例题）这是解决和这个例题类似问题的一般思路. 课外补充作业： 6.已知：如图，ab是直径，pb是过点b的切线. & 求证：pb2=pa&pc. 四、板书设计(略) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 课题：27.2.2相似三角形应用举例（第1课时） 一、教学目标 1.经历对实际问题的思考和讨论过程，会利用相似三角形解决高度测量问题. 2.培养把实际问题转化为数学问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点 1.重点：利用相似三角形解决高度测量问题. 2.难点：探索如何利用相似三角形解决高度测量问题. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：从初一到现在，我们已经学了不少图形的知识，我们学过相交线平行线，我们学过三角形四边形，我们学过圆，这些天我们又学了相似三角形.这些关于图形的知识是怎么形成的呢？（稍停）据说在很久很久以前，埃及的尼罗河水每年都会泛滥，两岸的田地就被淹没，水退后人们要重新划定田界，这便促使人们学会了计算简单图形边长、面积的方法，逐步形成了图形的知识.可见，图形知识是由于测量的实际需要而形成的.本节课我们要学的也与测量有关，我们要利用相似三角形的知识来解决一个测量问题，先来看这样一个实际问题. （二）尝试指导，讲授新课 & （师出示下图）
& & & & & & 师：（指图）这是旗杆，旗杆很高，怎么测量出旗杆的高度？请大家想出一个可行的测量办法.（让生思考一会儿，等到有一部分学生举手） 师：有些同学已经有了办法，大家还是把自己的想法先在小组里交流交流. & （生小组交流，师巡视倾听） 师：哪位同学来说说你们小组讨论的情况？ 生：&&（让几名同学说，师作适当评价，譬如有些想法只是一种想法不具有可行性） 师：测量旗杆的高度有很多办法，其中有一种比较好的办法是利用相似三角形来测量，怎么利用相似三角形来测量？ 师：旗杆在地上会有影子，假如这条线是旗杆的影子（边讲边画图）.我们在旗杆影子的顶端立一根木杆（边讲边画图），木杆在地上也会影子，这条线是木杆的影子（边讲边画图）.现在连结这两条线段（边讲边连结），就构成了两个三角形，我们把三角形的顶点都标上字母（标字母，画好的图如下所示）. & & & 师：（指准图）△abc与△dea相似吗？ 生：（齐答）相似. 师：为什么相似？（让生思考一会儿再叫学生） 生：&&（让一两名学生回答） 师：（指准图）因为旗杆和木杆都垂直立在地上，所以&c、&dae都是直角（边讲边在图中作直角符号）. 师：（指准图）而de∥ab，为什么？（稍停）因为de是太阳光线，ab也是太阳光线，太阳光线是平行的，所以de∥ab. 师：（指准图）因为de∥ab，所以&bac=&d（边讲边在图中作角的符号），所以△abc∽△dea. 师：假如我们量出旗杆影子ac的长度为8米（边讲边在图中标：8m），木杆的高度为2米（边讲边在图中标：2m），木杆影子的长度为1.6米（边讲边在图中标：1.6m），那么旗杆高度是多少米？（边讲边在图中标：？）大家算一算.（生计算） 师：旗杆的高度是多少米？ 生：（齐答）10米. 师：好了，下面我们把求旗杆高度的过程完整地写出来. & （以下师边讲解边板书，解答过程如下） & 解：∵de，ab是太阳光线， &&& ∴de∥ab. ∴&bac=&d. 而&c=&dae=90&， && ∴△abc∽△dea. ∴ ，即 . &&&& ∴bc=10(米). &&&& 因此，旗杆的高度为10米. （三）试探练习，回授调节 1.填空： 如图，在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，则这栋高楼的高度是&&&&& m.
& & & & & & & & & & &
& 2.填空： 如图，测得bd=120m，dc=60m，ec=50m， 则河宽ab=&&&&& m. & & & （四）归纳小结，布置作业 师：本节课我们利用相似三角形解决了测量旗杆高度的问题，通过解决这个问题，不知道大家有没有意识到，其实测量可以分成两种，一种是可以直接测量的，譬如，我们的身高，教室的长度，马路的宽度，这些都可以直接测量.另一种是不能直接测量的，譬如，旗杆的高度，珠峰的高度，地球和月亮的距离，这些都不能直接测量.不能直接测量的问题怎么解决？（稍停）解决不能直接测量的问题，实质上是把不能直接测量的问题转化为可以直接测量的问题.（指准图）譬如，旗杆的高度是不能直接测量的，但它的影子，还有木杆及影子的长度都是可以直接测量，利用相似三角形可以求出旗杆的高度. 师：不能直接测量就利用相似三角形间接地测量，这种想法很巧妙很高明，从中我们可以看到数学知识在解决实际问题中的作用，看到数学的价值，看到人的聪明才智. & （作业：p55习题10.11.） 四、板书设计(略)
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