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结构小白。一次反演轴的意思是：图中A绕轴旋转360度后，再经过中心对称后到B点？二次反演轴：平面以上的黑点旋转189度后到白点，然后再中心对称直平面下黑点？三次反演：1旋转120度后到5，5中心对称至2？四次反演：1旋转90度后到1'，再中心对称至2？这里为什么不能用4次旋转到1'后中心对称到2呢？不是可以用4次旋转轴+中心对称替代吗？
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四次旋转加反演的组合最后的操作结果与四次反演的结果不同,二者不等价,故四次反演独立
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你可能喜欢晶体的对称性
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晶体结构中结构基元的规则排列，使晶体除了具有由空间点阵所表征的周期性外，还具有重要的对称性。在自然界中，天然金刚石、雪花、枝叶、花瓣、动物躯体的器
官等无不呈现出各种各样的规则排列和对称分布，各具有不同的对称规律。晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结构微观对称性的表现。晶体的某些物理参数如热膨
胀、弹性模量和光学常数等也与晶体的对称性密切相关。因此，分析探讨晶体的对称性，对研究晶体结构及其性能具有重要意义。
对称是指物体相同部分作有规律的重复。使一个物体或一个图形作规律重
复的动作称为对称操作或对称变换。在进行对称操作时，所借助的几何元素称为对称元素。对称操作是用来揭示物体或图形的对称性的手段。晶体的对称操作可以分
为宏观和微观两类，宏观对称元素是反映晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。
一、宏观对称元素
晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或晶面（见图1-24中的P面），用符号“m”表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过晶体的几何中心。
2．对称轴（旋转）
围绕晶体中一根固定直线作为旋转轴，整个晶体绕它旋转2π/n角度后而能完全复原，称晶体具有n次对称轴，用n表示，重复时所旋转的最小角度称为基转角α ，n与α之间的关系为 n＝360°/α（n＝1、2、3、4、6；α为360°、180°、120°、90°、60°）。
晶体中不存在5次旋转轴和大于6次的旋转轴，因为它们与晶体结构的周期性相矛盾。晶体中的对称轴必定通过晶体的几何中心
（a）L2&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（b）L3&&&&&&&&&&&&&&&&
（c）L4&&&&&&&&&&&&
&&&（d）L6
图1-25 对称轴
①1次对称轴，习惯符号为L1，国际符号为1，n＝1，α＝360°，任何晶体旋转360°以后等同部分会重复；
②2次对称轴，习惯符号为L2，国际符号为2，n＝2，α＝180°，晶体旋转180°以后等同部分会重复，旋转一周重复2次，如图1-25（a）所示；
③3次对称轴，习惯符号为L3，国际符号为3，n＝3，α＝120°，晶体旋转120°以后等同部分会重复，旋转一周重复3次，如图1-25（b）所示；
④4次对称轴，习惯符号为L4，国际符号为4，n＝4，α＝90°，晶体旋转90°以后等同部分会重复，旋转一周重复4次，如图1-25（c）所示；
⑤6次对称轴，习惯符号为L6，国际符号为6，n＝1，α＝60°，晶体旋转60°以后等同部分会重复，旋转一周重复6次，如图1-25（d）所示；
3．对称中心（反演）
若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（见图1-26中的C点），用符号“i”表示。对称中心必然位于晶体中的几何中心。
4．旋转－反演轴
若晶体绕某一轴回转一定角度（360°/n），再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为旋转－反演轴。旋转－反演轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对此直线上一点反演。
旋转－反演轴的符号为1、2、3、 4、6，也可用Lin来表示，i代表反演，n代表轴次。n可以为1、2、3、4、6，相应的基转角为360°、180 °、120 °、90 °、60 °，旋转－反演轴的作用如下图1-27（a）～（e）所示：
（a）Li1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（b）Li2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（d）Li4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
图1-27 旋转－反演轴&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&（e）Li6
当已经考虑了对称面和反演对称元素后，Li1
、Li2 、Li3 、Li6 次旋转－反演对称轴就不必再列为基本的对称元素。原因如下：
Li1次旋转－反演对称轴就是对称中心，用i表示，即Li1＝i。
Li2次旋转－反演对称轴就是垂直于该轴的对称面，用m表示，即Li2＝m。
Li3次旋转－反演的效果和L3次转轴加上对称中心i的总效果一样。
Li6次旋转－反演的效果和L3次转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样。
综上所述，晶体的宏观对称性中，只有以下八种最基本的对称元素，即L1、L2、L3、L4、L6、i、m、Li4。
二、32种点群
体的宏观外形可以只有一种对称元素独立存在，也可以有若干对称元素同时存在，由上面八种对称元素的不同组合就可以组成形形色色晶体的各种宏观对称性，但是
晶体除了对称性以外，还必须具有周期性这样一个特点，因此这些对称元素的组合不能是任意的，必须遵循对称元素的组合规律，使对称元素之间相互制约而又相互
协调，利用数学方法可以导出这八个宏观对称元素可能有的组合数为32种，构成了晶体32种宏观对称类型，即32种点群。之所以称其为点群，是因为每种宏观对称类型中的各个对称元素必须至少相交于一点，此点称为点群中心。
八种宏观对称元素按照一定规则进行组合，可以得到32种点群。这32种点群概括起来不外乎属于以下四种组合之一。
1．对称轴的组合，当五个对称轴分别与一个二次轴组合后，可以得到4个双面群，2个等轴旋转群，加上原来5个单轴旋转群，共11个点群；
2．反演中心分别加到上述11个点群上，可以得到另外11个新的点群；
3．对称面与第一项中11个点群组合（分别以垂直和平行的方式加入镜面），这样又可以增加9个点群；
4．四次反演，因为它不能与其它对称元素组合成新的对称群，所以它独立成为一个点群。
这样，共计有32个点群，具体表示如表1-3所示。
表1-3& 32种点群
表1-3中点群的国际符号按一定次序表示了其中各种对称元素，一般场合下包括三位。在各晶系中，每位代表相应晶胞的a、b、c三个向量形成确定关系的方向。在某一方向上出现的旋转轴、旋转－反演轴系指与这一方向相平行的，在某一方向出现的晶面系指与这一方向垂直的，在某一方向同时出现旋转轴或旋转反演轴与镜面时，可将旋转轴或旋转反演轴写在分数的分子位置，而镜面m则写在分母的位置。如2/m指该方向上有一个二次轴和一个镜面。现将各晶系中与国际符号三位相应的方向列于表1-4。
表1-4& 各晶系中与国际符号三位相应的方向
国际符号中三位的方向
a、 a＋b＋c、 a＋b
c、 a、 2a＋b
c、 a、 a＋b
在一般场合，1与
&并不放在国际符号上。但三斜晶系中，1或放在第一位上。有时，在第三位上有对称元素，而在第二位上并无对称元素可以填入时，则可用1填注空白。国际符号的优点是可以一目了然地看出其中的对称情况，例如，在立方晶系中，4/m &2/m
表示在[100]与[110] 方向上有垂直的对称面，且平行于[100]与[110]方向分别存在一个四次轴和二次轴，平行于[111]方向存在一个三次轴。
如上文所述，晶体共有32种对称型，把属于同一对称型的所有晶体归为一类，称为晶类，所以也有32个晶类。根据有无高次轴和高次轴的多少将32个晶类划分为低、中、高三个晶族。
低级晶族：对称型中无高次轴；
中级晶族：对称型中只有一个高次轴；
高级晶族：对称型中高次轴多于一个。
根据有无二次旋转轴L2或对称面P，以及L2或P是否多于一个将低级晶族划分为
表1-5低级晶族
三个晶系：三斜晶系（无L2，无P），单斜晶系（
L2或P不多于一个），斜方晶系（或称正交晶系）（ L2或P多于一个）。
根据高次轴的轴次将中级晶族划分为3个晶系：三方晶系（ L3）、四方晶系（或正方晶系）（ L4或L 4 i）和六方晶系（ L6或L 6 i
高级晶族不再进一步划分，称为等轴晶系或立方晶系。
三个晶族、七个晶系、32个对称型的具体组成见表1-5和1-6所示。
表1-6中级和高级晶族
微观对称元素
宏观对称元素在晶体内部结构中仍然存在。此外，由于介入平移操作又出现了一些新的对称元素，一般将这些微观特有的对称元素称为微观对称元素。微观对称元素主要分为以下三类。
晶体最根本的特点是其内部结构具有空间点阵的特征，即晶体内部结构的周期性。若点阵沿着点阵中某一方向上任何两点的矢量进行平移，点阵必然复原，由这种平移操作所组合的对称群称为平移群，可以用下式来表达：
Tmnp＝m a ＋ n b ＋ p c
其中： m、n、p＝0、±1、±2……
因此，如果说空间点阵是反映晶体内部结构周期性的几何形式，那么平移群的表达式则是反映晶体内部结构周期性的代数形式。点阵与相应平移群间的对应关系还体现在下列两个重要的性质上：
①连接点阵中任意两点的矢量必属于平移群T中的一个平移矢量；
②属于平移群T中的任何矢量必定通过点阵中的二个节点。所以不难得出：平移群矢量之组合仍属于平移群。
晶体的宏观对称性与微观对称性的区别就在于：宏观对称操作至少要求有一点不动，而微观对称操作要求全部点都动。因此，宏观对称性无法反映微观对称性中的平移部分。然而，当宏观对称元素一旦与平移结合起来即可形成新的微观对称元素。
螺旋轴是设想的直线，晶体内部的相同部分绕其周期转动，并且附以轴向平移得到重复。螺旋轴是一种复合的对称要素，其辅助几何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线方向。相应的对称变换为，围绕此直线旋转一定的角度和此直线方向平移的联合。螺旋轴的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移变换其平移距离应等于沿螺旋轴方向结点间距的s/n，s为小于n的自然数。螺旋轴的国际符号一般为ns。
旋转轴根据其轴次和平移距离的大小的不同可分为21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65共11种螺旋轴。螺旋轴根据其旋转方向可分为左旋、右旋和中性旋转轴。
表1-7螺旋轴（ns）及其相应的基本操作
左旋方向是指顺时针旋转，右旋是指逆时针旋转，旋转方向左右旋性质相同时为中性旋转轴。总之，当转轴与平移组合后，可以形成以上所述的11种新的微观对称元素。在各种晶体结构中，可以存在的旋转轴的国际符号和对称操作见表1-7与图1-28。
图1-28各种旋转对称转轴图示
移面是设想的平面。晶体内部的相同部分沿平行于该面的直线方向平移后再反演而会得到重复。滑移面也是一种复合的对称要素，其辅助对称要素有两个：一个是假
想的平面和平行此平面的某一直线方向。相应的对称变换为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半。根据平
移成分τ的方向和大小，滑动面一般可归纳为以下三种：
①轴滑移面
用a、b、c各表示沿a、b、c方向平移对应轴一半a/2、b/2、c/2后又反演而得到重复的滑移机制，见图1-29所示。
t=(1/2)a的滑移面a& &&&&&&&&&&&&t=(1/2)b的滑移面b&&&&&&&&&&
t=(1/2)c的滑移面c
②对角滑移面
一律用n表示平移（a＋b)/2，(b＋c)/2，(a＋c)/2，(a＋b＋c)/2各种对角矢量的1/2平移，后再反演而重复的晶面，图1-30（a）列举了n滑移面滑移了（a＋b)/2。
③金刚石滑移面
对滑移量为（a＋b)/4，(b＋c)/4，(a＋c)/4，(a＋b＋c)/4的滑移反映对称面统称为金刚石滑移对称面，用d表示，图1-30（b）列举了d滑移面滑移了（a＋b)/4。
（a）对角滑移面n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（b）金刚石滑移面d
对角滑移面和金刚石滑移面
在各种晶体结构中，由镜面m和平移t结合而形成的滑移面的国际符号和滑移矢量等归纳在表1-8中。而反演、四次旋转－反演轴在进行对称操作时都要求有一点不动，所以只有平移一个周期才能使晶体规则复原，然而平移一个周期相当于不动，所以反演和四次旋转－反演轴均不能与平移结合而形成新的微观对称元素。
体外形的对称分类用点群来说明，而晶体内部结构――原子、离子、分子类别和排列的对称性类别则用空间群来说明。这种微观的对称性不但包括了所有宏观对称元
素而且又多出三类微观对称元素：平移、螺旋轴以及滑移面。导致这种差异的根本原因在于晶体内部结构具有特有的平移对称性。
滑移面的类型
把宏观对称元素的点群与微观对称元素的螺旋轴、滑移面结合作为一部分，将其与平移再组合而形成的对称群，称为空间群。很显然，有宏观对称元素和微观对称元素在三维空间中可能的组合排列数很多，经过熊夫利斯和费多罗夫的精确分析，晶体最多可能有230种空间群。但是，并非所有空间群都能找到与它相应的晶体结构。迄今为止，在测定的晶体中，大部分只属于230种空间群中的100个空间群，将近80个空间群还未找到与其相应的实际晶体结构。实际上，重要的空间群只有30个，对金属材料而言，比较重要的空间群只有15～16个。
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