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高二数学《任意角的三角函数的定义》说课稿
为了帮助老师们能够更好地讲课，精品学习网精心为大家搜集整理了&《任意角的三角函数的定义》说课稿&，希望对大家的数学教学有所帮助!
各位领导,各位老师:
我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④(必修)第1.2.1节。
一、教材结构与内容简析
本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的 &角的概念的推广&的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。
数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。
二、教学重点、难点、关键
教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。
教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
教学关键：如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( &确定，比值也随之确定)与依赖性(比值随着&的变化而变化)。
三、学情分析
学生已经掌握的内容及学生学习能力
1. 学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
2.学生的运算能力较差。
3.部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
4.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。
四、 教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，我制定如下教学目标：
1.基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义;
2.能力训练目标：通过学生积极参与知识的&发现&与&形成&的过程，培养合情猜测的能力。
3.情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。
下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：
五、教学理念和方法
教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用&启发探索、讲练结合&的方法组织教学教法， 在课堂结构上，设计了 ①创设情境&&揭示课题②推广认知&&形成概念③巩固新知&&探求规律④总结反思&&提高认识⑤任务后延&&自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。 接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：
六、教学程序及设想
总体来说, 由旧及新,由易及难,逐步加强,逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义.
先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。
(一)创设情境&&揭示课题
问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的?
【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗?
问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?
留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。
能表示吗?怎样表示?针对刚才的问题点名让学生回答。 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。
【设计意图】
从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的&再创造&征程。
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!
师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)。
问题 4：对于确定的角 ，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关?为什么?
先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，
联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角&的每一个确定值，
六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。
得出结论(强调)：当&为锐角时，六个比值随&的变化而变化;但对于锐角&的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角&为自变量、以比值为函数值的函数。
(二)推广认知&&形成概念
将锐角的比值情形推广到任意角&后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。
教师指出: sin&、cos&、tan&的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cot&、csc&、sec&的定义域不要求记忆。
(关于值域，到后面再学习)。
【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。
(三)巩固新知&&探求规律
为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，
例1.已知角 的终边过点 ，求 的六个三角函数值
要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。
巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养对于高一的学生来说，目前到了数学中最让他们头疼的一本书——《必修4》，因为如果想学好这本书，就必须彻底理解并记住书中的大量三角函数公式。所谓彻底理解，就是能够从最简单的概念推出最复杂的结论，所以当我们觉得某个知识很难理解的时候，首先应该想到的就是，这个知识背后那些最简单的概念我们有没有真正弄清楚。但是，由于三角函数的公式很多，很多同学更喜欢直接背诵，甚至很多在校老师并不给学生们讲解透彻“单位圆”的概念。结果导致很多学生在这里屡答屡错。所以，我们要把三角函数彻底搞清楚，记下来并且活学活用！先从初中的概念说开去三角函数最基本的几个概念是什么？显然，就是sin、cos、tan、cot 这四个概念。这是三角函数的基本元素。可惜有很多人学了很长时间的三角函数，这四个符号倒是认识了，却没有能够真正理解它们的内涵。在初中阶段，三角函数的概念很简单，就是直角三角形的几条边的比例关系。假设有直角△ ABC，∠ C=90°，对应斜边c，∠ A 和∠ B 分别对应直角边a 和b。那么就有下面的结论：其中，sinA cosA=b/c, tanA=a/b是我们最常用的三个公式。那么我们就知道了，三角函数就是为了把直角三角形的比例线段简单化，为了避免每次都要写一大堆线段的比例式，而发明出来的。把这些最简单的概念弄清楚了，有很多基础的三角函数公式就不用记了。比如tanA cotA=1，cosA tanA= sinA，sinA cotA= cosA，只要我们知道基本概念，就永远都不会记混淆。所以说真正高效的记忆是在彻底理解的基础上记忆，彻底理解了之后，过个十年八年都忘不掉，更不可能说什么听完课就忘、看完书就忘、过一天就忘了等等。&必修四：理解单位圆是重中之重！到了高中，三角函数最大的变化其实不是公式变得更多了，而是基础概念扩大了。也就是三角函数的取值范围从初中的0 到90 度，变成了任意角，要想学习好三角函数，如果你的思维只停留于初中的0°到90°的范围，在努力也不可能学习好三角函数。&所以，我们必须认真的理解“单位圆”的概念。把这个单位圆弄清楚了之后，整个高中的三角函数公式就迎刃而解，不管它怎么变来变去都逃不出我们的手掌心。&“标准圆”就是在坐标轴上以O 点为圆心，以1 为直径的圆。从这个圆上任意一点做一条到X 轴的垂线，这条垂线与X 轴还有这个点到圆心的连线，正好组成一个直角三角形。如图所示，在直角坐标系上的四个象限的单位圆上任取一点P（x，y），做PM、MO，则这里的PO=1，PM=y，所以sinO 的值就是PM 的长度，也就是P 点的纵坐标值y。我们现在就不难理解了，实际上我们就是把一个角固定在了一个斜边长为1的三角形里，cos就是横坐标，sin就是纵坐标。那么在第二象限，y 是正数，而x 是负数，所以在这个象限里sinO 是正数，而cosO 是负数；在第三象限，x和y 都是负数，所以sinO 和cosO 都是正数；在第四象限，y 是负数，x 是正数，所以sinO 是负数，而cosO 是正数。把这个道理彻底梳理清楚之后，高中三角函数的所有角度变化公式就全部都不用记忆了。比如：sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ 你就想到是角度沿着X 轴对折过来了，从第一象限跑到第四象限了，再看第四象限对应的y 肯定是负数，所以sin(-θ)=-sinθ，而x 值还是正数，所以cos(-θ)=cosθ。有了这个东西，剩下那些千变万化的什么，就完全可以遵循“奇变偶不变，符号看象限”。三角函数的周期性也顺带着完全弄明白了。三角函数的和与差然后就是三角函数和与差的公式，这个也是从单位圆出来的，无非就是单位圆上两个点的距离而已。这个推导课本上都有，看起来推导过程比较长，但只要自己动手在草稿纸上画一下，整个过程就一目了然了。三角函数和与差的公式很复杂常用的包括sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ当然，还有tan（α+β）和cot（α+β）的公式。这些公式颠来倒去的，死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解+ 把握规律”的方法来记忆，永远也别想学好三角函数。其实，我们只需要记住sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ这一个公式就行了，剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了，无论什么角度变化，只要大脑里面好像出现一个闹钟一样：加上一个角，指针就逆时针旋转；减去一个角，指针就顺时针旋转。有了这个东西，怎么变都不会糊涂。& & &所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+ cosαsin(-β)，这里多了个符号，是减，所以要把指针向顺时针方向转动，转到第四象限，y 是负数，x 是正数，sin 值变成负，cos 值还是正值， 所以sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ- cosαsinβ。这就出来了，不管是符号还是sin 和cos 的顺序，都绝不会记错。&&& 同理， c o s （ α + β ） = - s i n （ α + β + π / 2 ） =-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2)，这里是加上π/2，指针要逆时针转动，sin 要变成cos，根据我们的单位圆，我们又可以得出cos（ α+β）的公式了。同样，cos（ α-β）= cos［ α+（-β）］，我们又可以很容易地知道cos（ α-β）的公式了。& & 以此类推，看起来无比复杂的两角和与差的公式就很清楚地排列在脑海里面，而且过很长很长的时间，也不会记错一个符号，不会记错一个顺序。这样的记忆效果，又岂是任何一种投机取巧的方法所能够比拟的？至于三角函数的二倍角公式，那就更简单了。既然已经知道sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，那么sin2α= sin（α+α）=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。后面的cos2α、tan2α、cot2α 公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了，根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去，整个初中高中的三角函数那么复杂，其实记住两个东西就行了：第一，sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a；第二，单位圆的图形变化。实际上，有谁记不住吗？任何人都记得住这两个东西，但是，为什么那么多人把初高中的三角函数学视为畏途呢？很多人就是在复杂的公式中转晕了头，而忘记了那些最基本的概念和知识之间最基本的联系。所以，如果我们在学习一个看似很复杂的知识时觉得头痛，我们记忆一些看似很复杂的公式时觉得背完就忘，那么，请立即回到最基础的地方，去理解和寻找规律吧。这才是高效记忆的惟一法门。&“正确的学习方法，可以把普通人变成天才；错误的学习方法，可以把天才变成白痴。”记住我这句话！　
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