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集合的概念及其性质
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【网络综合-北师大版高一数学必修一集合教案】：以下是无忧考网为大家整理的关于《北师大版高一数学必修一集合教案》，供大家学习参考！1.1-1集合的含义及其表示（一）教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，教学重点：集合概念、性质；“∈”，“ ”的使用教学难点：集合概念的理解；课
型：新授课教学手段： 教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念――集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P17）。下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。二、新课教学 “物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。如：自然数的集合 0，1，2，3，……如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，
记作 a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作 aA 思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程 的实数解评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。3、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N
实数集R整数集Z
注：实数的分类 5、集合的分类
原则：集合中所含元素的多少①有限集
含有限个元素，如A={-2，3}②无限集
含无限个元素，如自然数集N，有理数③空
不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ三、课堂练习1、用符合“∈”或“”填空：课本P15练习惯12、判断下面说法是否正确、正确的在(
)内填“√”，错误的填“×”(1)所有在N中的元素都在N*中（
）(2)所有在N中的元素都在Ｚ中(
)(3)所有不在N*中的数都不在Z中（
）(4)所有不在Q中的实数都在R中（
）(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（
）(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（
）四、回顾反思1、集合的概念2、集合元素的三个特征其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3、常见数集的专用符号.五、作业布置1．下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数
（2）好心的人
（3）1，2，2，3，4，5．2．设a,b是非零实数，那么 可能取的值组成集合的元素是
3．由实数x,－x,｜x｜, 所组成的集合，最多含（
（A）2个元素
（B）3个元素
（C）4个元素
（D）5个元素4．下列结论不正确的是(
D.-1∈Z5．下列结论中，不正确的是(
)A.若a∈N，则-a N
B.若a∈Z，则a2∈ZC.若a∈Q，则｜a｜∈Q
D.若a∈R，则 6．求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；板书设计（略）1.1-2集合的概念及其表示（二）教学目标：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。教学重点：集合的表示方法教学难点：正确表示一些简单集合课
型：新课教学手段：讲授 教学过程：一、创设情境复习提问：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容―集合的表示 (板书课题)我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合二、新课讲解1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2） a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。 比如： 与
不同， ∈ （3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。例1（P4）2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。例:不等式 的解集可以表示为： 或 “中国的直辖市”构成的集合，写成{ 为中国的直辖市}；“maths中的字母” 构成的集合，写成{ 为maths中的字母}；“平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y）| x0}“方程x2+5x-6=0的实数解”
{x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1}注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}例2（P5）3、图示法：文氏图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
数轴法：{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10}
可用数轴表示为：
但{x∈N|3<x<10}呢？
连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示三、例题讲解例1解不等式 ，并把结果用集合表示.解：由不等式 ，知 所以原不等式解集是 例2 求方程 的解集解：因为 没有实数解，
所以 例3用描述法分别表示（1）抛物线y=x2上的点.（2）抛物线y=x2上点的横坐标.（3）抛物线y=x2上点的纵坐标.四、课堂练习练习：P5
2、3.五、回顾反思1．描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。3．本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：（1）元素是什么？（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。六、作业布置作业：P6
A组题：1,2,3,4,5思考：P6
B组题1.2-1
集合的基本关系教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；课
型：新授课教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系――属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0
Q；（3）-1.5
R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学1、 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作： 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作A
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
2、集合与集合之间的 “相等”关系； ，则 中的元素是一样的，因此 即 练习3、结论：任何一个集合是它本身的子集
4、真子集的概念若集合 ，存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A
A）读作：A真包含于B（或B真包含A）举例（由学生举例，共同辨析）5、 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。6、结论： ，且 ，则 三、例题讲解例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x 5}，并表示A、B的关系；例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。结论：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n真子集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2（在后继学习中会对此结论加以证明）四、课堂练习：P9练习题五、归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；六、作业布置1、书面作业：习题1.2
5个小题2、提高作业：○1 已知集合 ， ≥ ，且满足 ，求实数 的取值范围。○2 设集合 ， ，试用Venn图表示它们之间的关系。○2P10 B组题板书设计（略）1.3-1交集与并集教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2））能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。课
型：新授课教学重点：集合的交集与并集的概念； 教学难点：集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做”；教学过程：一、引入课题我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？思考（P9思考题），引入并集概念。二、新课教学1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”即：
A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。例题1求集合A与B的并集①A={6，8，10，12}
B={3，6，9，12}②A={x|-1≤x≤2}
B={x|0≤x≤3}（过度）问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B读作：“A交B”即：
A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。例题2求集合A与B的交集③A={6，8，10，12}
B={3，6，9，12}④A={x|-1≤x≤2}
B={x|0≤x≤3}拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集(用彩笔图出)说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3、例题讲解
例3(P12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析例4 P12例2）：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。4、集合基本运算的一些结论：A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩ = ,A∩B=B∩AA A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪ =A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则A B，反之也成立若A∪B=B，则A B，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B三、课堂练习（P13练习）四、归纳小结五、作业布置1、书面作业：P13习题1.1，第6-12题补充：（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B= （2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z 2、提高内容：（1）已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且 ，试求p、q；（2）集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q；（3）A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B1.3.2
全集与补集教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.课
型：新授课教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.教学过程：一、创设情境1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.2．相对某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ――全集和补集。二、新课讲解请同学们举出类似的例子如：U＝{全班同学} A＝{班上男同学}
B＝{班上女同学}
特征：集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合，可以用文氏图表示。我们称B是A对于全集U的补集。1、全集
如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。全集通常用字母U表示
2、补集（余集）
设U是全集，A是U的一个子集（即A U），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作“A在U中的补集”，简称集合A的补集，记作 ，即
补集的Venn图表示：说明：补集的概念必须要有全集的限制练习： ，则 。3、基本性质① ， ，
③ ， 注：借助venn图的直观性加以说明三、例题讲解例1(P13例3)例2(P13例4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质四、课堂练习1．举例，请填充（参考）(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则 SA＝____________.(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则 SB＝___________.(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝ ，则 SA＝_______.(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}， UA＝{5}，则a＝_______(5)已知A＝{0，2，4}， UA＝{－1，1}， UB＝{－1，0，2}，求B＝_______(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}， UA＝{5}，求m.(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求 UA、m.师生共同完成上述题目，解题的依据是定义例(1)解： SA＝{2}评述：主要是比较A及S的区别.例(2)解： SB＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类.例(3)解： SA＝3评述：空集的定义运用.例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A及 UA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}故满足题条件： UA＝{1，4}，m＝4； UB＝{2，3}，m＝6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.2．P14练习题1、2、3、4、5五、回顾反思
本节主要介绍全集与补集，是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念1.全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U”表示全集.在研究不同问题时，全集也不一定相同.2.补集也是一个相对的概念，若集合A是集合S的子集，则S中所有不属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补集（余集），记作 ，即 ={x| }. 当S不同时，集合A的补集也不同. 六、作业布置1、P15习题4，52、用集合A，B，C的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合
3、思考：p16各国著名数学家一生及其贡献（上） - 浩然考试网
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各国著名数学家一生及其贡献（上）
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歌德巴赫，C．（Goldbach，Christian）1690年 3 月 18 日生于普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）；日卒于俄国莫斯科。数学。
作为数学家，歌德巴赫是非职业性的。他对数学有着敏锐的洞察力，加上与许多大数学家的交往，以及其特殊的社会地位，使得他提出的问题激励了许多人研究，从而推动了数学的发展。关于歌德巴赫，最有名的莫过于&歌德巴赫猜想&！日，歌德巴赫在给欧拉的信中提出：每一个大于2的偶数都是两个素数的和。例如4＝2＋2，6＝3＋3，48＝29＋19，100＝97＋3，等等。欧拉在同年6月30日的回信中说他相信这个猜想，但他不能证明。这个猜想的叙述如此简单，却连大数学家欧拉都不能证明，这引起了大家的注意。历代数学家都试探过，但直到250多年后的今天，还没有人能完全证明这个猜想。
1770年，E．华林（Waring）将歌德巴赫猜想发表出来，并加上&每一个奇数或者是素数或者是三个素数的和&的命题。稍加改变的提法是&每一个大于或等于9的奇数都是三个奇素数的和&，这是歌德巴赫猜想的推论。
1900年，大数学家D．希尔伯特（Hilbert）在巴黎数学家大会上提出对本世纪数学发展有重大影响的23个问题，其中歌德巴赫猜想被列为第8个问题。
柯西，A．L．（Cauchy，Augustin－Louis）日生于法国巴黎；日卒于法国斯科。数学、数学物理、力学。
数学分析严格化的开拓者
分析严格化的需要
柯西怀着严格化的明确目标，为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系。他说：&至于方法，我力图赋予&&几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理。这种推理&&只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。&他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，&消除了所有不确定性&，并说：&我的主要目标是使严谨性（这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳）与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。&
极限与无穷小
柯西规定：&当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。&&当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。这类变量以零为其极限。&&当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作&；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作－&。&
从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进。
首先，柯西常常把他的定义转述为不等式。在讨论复杂表达式的极限时，他用了&－&论证法的雏型。其次，他首次放弃了过去定义中常有的&一个变量决不会超过它的极限&这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否&达到&它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态。最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。
函数及其连续性
柯西以接近于现代的方式定义单元函数：&当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数。&他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性。
柯西给出了连续的严格定义：&函数f（x）是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f（x＋a）－f（x）的数值随着a无限减小。换言之，&&变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量。&在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了&区间套&思想。
柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：&当这个极限存在时，&&用加撇符号y'或f'（x）表示。&这表明他已用崭新的方式考虑问题。他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理。
柯西以割线的极限位置切线，用中值定理证明极限点处切线的水平性。他证明了f'（x0）＝&&＝f（n－1）（x0）＝0时用f（n）（x0）的符号判断极大、极小的命题。他由自己的中值定理推导出洛必达法则。这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础。
他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性。他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用。他给出了现在通用的广义积分的定义。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点。
柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。他以部分和有限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和。18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论。他给出所谓&柯西准则&，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性。对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出&SUn与&S2nU2n同时收敛或发散，由此推出一些常用级数的敛散性；证明两个收敛级数&S的积级数&S收敛。对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收敛；收敛级数之和收敛，但积不一定收敛，并举出反例
对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式，他以例子f（x）＝e－1/x2表明，一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数。
在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。他的分析教程成为严格分析诞生的起点。
复变函数论的奠基人
19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作。
复函数与复幂级数
《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程。他以形式方法引进复数（&虚表示式&），定义其基本运算，得到这些运算的性质。他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性。
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。
柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的&柯西积分定理&。柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是&同伦&观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算。
术语&残数&首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中。他认为残数演算已成为&一种类似于微积分的新型计算方法&，可以应用于大量问题。
复变函数论的建立
C．A．布里奥于1859年出版了《双周期函数论》，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成。
斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170－约1250），意大利数学家，12、13世纪欧洲数学界的代表人物。生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。1200年左右回到比萨，潜心写作。
他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），算盘并不单指罗马算盘或沙盘，实际是指一般的计算。
其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。题目是一个不超过105的数分别被3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。解法和《孙子算经》一样。另一个&兔子问题&也引起了后人的极大兴趣。题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？这导致&斐波那契数列&：1，1，2，3，5，8，13，21，&，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。这数列与后来的&优选法&有密切关系。
克莱因（Felix Christian Klein ），克莱因在杜塞尔多夫读的中学，毕业后，他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家，但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。
在这一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年，克莱因接受哥廷根大学的邀请担任数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授，这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。在这里，他的学生包括胡尔维茨、冯戴克、洛恩、普朗克、毕安奇和里奇。五年之后，克莱因应邀去莱比锡大学讲授几何学。在这里他和他过去的出色的学生冯戴克、洛恩、司徒迪和恩格尔等成为了同事。
1886年，克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根，开始了他的数学家的生涯。他讲授的课程非常广泛，主要是在数学和物理之间的交叉课题，如力学和势论。他在这里直到1913年退休。他实现了要重建哥廷根大学作为世界数学研究的重要中心的愿望。
著名的数学杂志《数学年刊》就是在克莱因的主持管理下才能在重要性上达到和超过了《克莱尔杂志》的。这本杂志在复分析、代数几何和不变量理论方面很有特色。在实分析和群论新领域也很出色。
要了解克莱因对在几何学上所作的贡献的特点是有点难的，因为即使用我们今天数学思想的大部分来理解他的结果的新奇之处也是很困难的。
克莱因在数学上做出的第一个贡献是在1870年与李合作发现的。他们发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质。他进一步地与李合作研究W－曲线。1871年克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文，论文中证明了如果欧氏几何是相容的，那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。
克莱因在他的著名的埃尔朗根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，以此为标准来分类，从而统一了几何学。今天这些观点已经成为大家的标准。变换在现代数学中扮演者主要角色。克莱因指明了如何用变换群来表达几何的基本特性的方法。
而克莱因自己认为他对数学的贡献主要在函数理论上。1882年他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。他也经常把物理概念用在函数理论上，特别是流体力学。
克莱因对大于四次的方程特别是用超越方法来解五次的一般方程感兴趣。在厄尔米特和克隆耐克尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后，克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究。
1884年，克莱因在他的一本关于二十面体的重要著作中，得到了一种连接代数与几何的重要关系，他发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特&弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的著作，这本著作影响以后20年。另一个计划是出版一套数学百科全书。他积极地参与到这个工作中，与K，穆勒一起编辑力学部分的四卷。我们还要提到克莱因发现的克莱因瓶，一种只有一个面的曲面。
1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。
1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。
欧拉，L．（Euler，leonhard）日生于瑞士巴塞尔；日卒于俄国圣彼得堡。数学、力学、天文学、物理学。
在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继I．牛顿（Newton）之最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为&分析的化身&。
欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。
欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。
3．无穷级数
欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，&180&）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4．函数概念
18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。
5．初等函数
《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫佛（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式（这里i表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用i表示 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。
6．单复变函数
通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。
7．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。
8．微分方程
《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。
在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换 给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了&通解&和&特解&的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。
1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。
10．几何学
坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。
微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。
韦达，F（Viete，Francoic）1540年生于法国普瓦图地区[Poitou，今旺代省的丰特奈－勒孔特（Fontenay．－le－Comte）]；日卒于巴黎。
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家。他的成就主要有：
平面三角学与球面三角学
《应用于三角形的数学定律》是韦达最早的数学专著之一，也是早期系统论述平面和球面三角学的著作之一。韦达还专门写了一篇论文&截角术&，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将表示成的函数，并给出当n等于任意正整数的倍角表达式了。
符号代数与方程理论
《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus 表示，并将这种代数称为本&类的运算&以此区别于用来确定数目的&数的运算&。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为&代数学之父&。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著──《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A．安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G．卡尔达诺三次方程和L．费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲要，1600年以《幂的数值解法》为题出版。
几何学的贡献
1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》（Supplementum geometriae）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率&值的无穷运算式，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。
泊松，S－D（POISSON，Sieon－Denis）日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶；日卒于巴黎。泊松是一位数学家，力学家和物理学家。他毕生从事数学的教学和研究。泊松工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理学问题，并由此得到数学上的发现。他发表过300多篇论文，所著两卷《力学教程》在很长的时期内被认为是标准的教科书。泊松还将数学应用于物理学，涉及电，磁，热，声，光等许多方面。他把引力理论的泊松方程推广应用到电学和磁学的理论，为静电势理论的建立作出了贡献。泊松晚年从事概率论研究，作出了重要贡献。与他通过力学和物理学问题研究数学的惯常做法不同，泊松是从法庭审判问题出发研究概率论的。泊松在《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》等著作中，提出了描述随机现象的一种常用的分布，即泊松分布。泊松在数学上的研究涉及定积分，有限差分理论，偏微分方程，变分法，级数等许多方面。他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人。他给出了调和分析中的泊松求和公式。欧拉-马克劳林求和公式的余项也是由泊松首先加上去的。由于泊松研究的范围十分广泛而有成效，所以不少数学名词都与他的名字联系在一起。列如，在数学物理方面，有热传导问题中的泊松积分，波动方程柯西问题解的泊 松公式，位势理论中的泊松方程等。在概率论方面，除泊松分布外，还有泊松变量，泊松过程，泊松试验，泊松大数定律等。将摄动函数展开成幂级数和三角级数的混合级数，就叫做泊松级数。
莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，）是17.18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
一、生平事迹
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。
日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。
二、始创微积分
17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分&是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的&（恩格斯：《自然辩证法》）。
然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，&一种求极大极小的奇妙类型的计算&，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：&十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，&&这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。&（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，&表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。
三、高等数学上的众多成就
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。
莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。
四、丰硕的物理学成果
莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在《教师学报》上发表了&关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明&，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了&永动机是不可能&的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为&没有物质也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性&，&空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的&。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。
五、中西文化交流之倡导者
莱布尼兹对中国、的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼兹写道：&全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲──中国。&&中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过。&&在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹&，但&在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了。&在这里，莱布尼兹不仅显示出了不带&欧洲中心论&色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。
莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。他的虚心好学、对中国文化平等相待，不含&欧洲中心论&偏见的精神尤为难能可贵，值得后世永远敬仰、效仿。
达朗贝尔，J L R（D'Alembert Jean Le Rond）日生于法国巴黎；日卒于巴黎。物理学家，数学家。
达朗贝尔作为数学家，同18世纪其他数学家一样，认为求解物理（主要是力学，包括天体力学）问题是数学的目标。他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者。
力学基础研究
（1）动力学基础的建立。牛顿力学体系的建立，是18世纪的科学家们完成的。达朗贝尔是这批学者的杰出代表之一。他在力学基础上的贡献，集中反映在他的《动力学》中。
（2）流体力学研究。流体的力学研究从牛顿开始，但作为一门学科－流体力学，则是18世纪的欧拉，D 伯努利（Bernoulli），克莱洛和达朗贝尔打下的基础。1752年发表的&流体阻尼的一种新理论&一文，第一次用流体力学的微分方程表示场，并提出了著名的达朗贝尔佯谬
（3）天体力学的奠基者之一。其贡献主要集中在两部著作中：一是1749年出版的《分点岁差和地球章动的研究》；一是《宇宙体系的几个要点研究》共分3卷，1754年出版前2卷，1756年出版第3卷。其中贡献最大的是下面两个课题：一是月球运动理论，二是关于地球形状和自转的理论。
数学分析的开拓者
自牛顿GM 莱布尼茨（Leibniz）发现微积分后，数学发展到一个新阶段。英国数学界由于坚持几何方法而进展缓慢；欧洲大陆数学家却继续在分析方法上不断探索而迅速发展，进入数学分析的开拓时期。达朗贝尔是重要的开拓者之一，其成就仅次与欧拉，拉格朗日，拉普拉斯. D. 伯努利。达朗贝尔的数学成果后来全部收入《数学手册》。下面介绍其主要贡献。
（1）极限概念。达朗贝尔在《百科全书》的&微分&条目中写到：&微分学是作为最初和最终比的方法，即求出这些比的极限的一种方法。&文中还把导数看成极限，并论证0/0可等于任何量。
（2）级数理论。无穷级数在18世纪中，形式讨论占主导地位，一般都作为多项式的推广，只有少数人区别开收敛级数和发散级数。达朗贝尔是其中之一。18世纪已出现三角级数，达朗贝尔就是否所有函数都能表示为三角级数的问题，同欧拉和拉格朗日等进行了激烈的讨论，为19世纪建立三角级数理论打下基础。
（3）微分方程。随着18世纪的力学和天体力学课题的广泛深入研究，常微分方程得到迅速发展。达朗贝尔在这方面的贡献集中在求解上。
达朗贝尔在数学上还有很多其他成果：他是早期研究复数性质的人；还是证明代数学基本定理的最早数学家之一，虽然证明不完全；他对概率论也有研究。
伽罗华，E．（Galois，Evariste）日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；日卒于巴黎。
伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题。人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗华理论。他已成为近世代数学的最有生命力的一种理论。他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与他的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗华群。对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗华群中的每个置换都使该函数的值不变。反过来，如果伽罗华群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的。因此一个方程的伽罗华群完全体现了他的根（整体）的对称性。伽罗华的思想大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域（现在称之为方程的伽罗华域），这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗华群。这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题。这就是伽罗华工作的重大突破。伽罗华的工作主要基于两篇论文──&关于方程根式解的条件&和&用根式求解的本原方程&。在这些论文中，伽罗华将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念。在《关于方程代数解法论文的分析》中，伽罗华提出了一个重要定理（未加证明）：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数。伽罗华用它判别特殊类型方程的根式解问题。
黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨；日卒于意大利塞拉斯卡。
黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。
他的具体成就有：
一、复变函数论
黎曼和柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人。而黎曼：
1．通过复变函数的导数定义，建立复变函数论的基础。
2．对多值函数定义黎曼曲面。
3．黎曼曲面的拓扑（黎曼是第一个研究曲面拓扑的人，他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质）。
4．黎曼曲面上的函数论（黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题。他比以前数学家的先进之处在于，函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明，黎曼可以通过其奇点来定义，这对后世数学有重要影响。）。
5．狄利克雷原理（黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理，这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的）。
二、阿贝尔函数论
关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是《阿贝尔函数论》，一是《论函数的零点》。
1．阿贝尔积分的表示及分类（黎曼对由定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类。第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界。线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数，这p个阿贝尔积分称为基本积分。第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点。第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点。每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和。
2．黎曼－洛赫定理（这是代数函数论及代数几何学最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形态）。
3．黎曼矩阵，黎曼点集和阿贝尔函数。
4．函数及雅可比反演问题（为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比函数，引进了黎曼函数）。
5．双有理变换的概念和参模。
三、超几何级数和常微分方程
超几何微分方程有3个奇点0，1，&，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线形组合。黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线形变换。对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群。他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线形变换后，这n个独立函数满足一个n阶线形微分方程，但他没有证明这些奇点（支点）和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题。希尔伯特把他列入23个问题中的第21个问题。
四、解析理论
黎曼是现代意义下解析数论的奠基者，生前他只在1859年发表过一篇论文《论给定数以内的素数数目》。
五、实分析──函数观念，黎曼积分，傅立叶级数，连续不可微函数
黎曼积分是数学特别是物理应用的主要分析工具；黎曼还是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一。
六、几何学
黎曼的空间观念使数学及物理发生空前的变革。黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓《巴黎之作》，即《论热传导问题》。
罗马时代的科学史家普利尼把阿基米德誉为&数学之神&。的确，关于阿基米德（Archimedes，公元前287－212），有着许许多多神奇般的故事，其中，流传最广的莫过于&阿基米德和王冠&。
阿基米德是举世公认的上古亚历山大里亚时期最伟大的数学家、发明家，天才的思想家和伟大的爱国者。公元前287年生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，公元前212年卒于同地。
阿基米德有惊人的创造力。他不但能将高超的计算技巧和严格的论证溶为一体，而且还还善于将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密的组合起来。在欧洲，经历漫长的中世纪的黑夜之后，才达到他的数学水平。
阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他的主要著作有：《圆的测量》、《论球和圆柱》、《抛物线求积法》、《论锤形体和球形体》、《论螺线》、《砂计算法》。
阿基米德的著作都以精确和严谨著称。其完美性往往能在读者心中产生一种敬畏的情感。恩格斯认为阿基米德是对科学作出了&精密而有系统研究&的杰出科学家。
随着岁月的流逝，人们在回顾二千多年来的科学史时，如果要列出有史以来三位最伟大的数学家的名单，其中，必定有阿基米德的名字，另两个是牛顿与高斯。
阿基米德被称为&数学之神&，这表达了后人对他的无比崇敬。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯是希腊哲学家、数学家、音乐理论家、天文学家。约公元前560年生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛，约公元前480年死于梅塔逢图姆。
毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛跟费雷西底（Pherecydes）学习，后来师从爱欧尼亚学派的安纳西曼德，有的资料说他曾在被誉为&科学之祖&的泰勒斯指导下进行科学研究。以后游历埃及、巴比伦等地，学到了不少数学、天文知识，回到家乡后开始讲学。
毕达哥拉斯是历史上有可靠记载的第二个希腊数学家（第一个是指泰勒斯）。数学作为一门科学实际上始于毕达哥拉斯，正如公元前4世纪的科学史家区德缪斯所说：&毕大哥拉斯创立了数学并把它变成一门高尚的艺术。&
基于&万物皆数&的信念，比大哥拉斯及门人首先把抽象的数的观念放到首要地位，并把算术与几何紧密联系起来，例如把算术中的单位看作&没有位置的数&，而把几何的点看作&有位置的单位&。他们提出了区别奇数、偶数、素数的方法；发现了完全数（若一个数等于其全部真因子之河，则称这个数是完全数）、亲和数（两个数是亲和的，即两数之中任何一个数是另一个数的真因子之河。比大哥拉斯还证明了：若2n－1是素数，而2n－1是完全数。他们还研究了：三角形数、正方形数、五边形数等等。
比大哥拉斯本人尤以发现勾股定理著称世界。更重要的是由于这个学派对勾股定理的研究，导致了不可公度量的发现。它激起了后来区多克索斯（Eudoxus）去寻找同时适合于可公度与不可公度数量的高级比例理论。
比大哥拉斯学派对建立先验的演泽法，在一定范围内获得了显著的成就。他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，用实际事物有所区别。他们在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，这可以说做了大量的工作，这些工作为欧几里德公理化体系奠定了基础。他们证明了泰勒斯提出的三角形内角和定理；给出了多边形内角和定理；证明了平面可用等边三角形、正方形、正六边形填满，空间可用立方体填满；发现了正五边性和相似多边形的作法；发现了五种正多面体，并将它们与自然界中各种物质对应起来。
比大哥拉斯学派的一个很重要的贡献是面积帖合理论。它在希腊几何学中是基本理论，以致后来发展而产生了穷竭法。面积贴合的方法使他们能够说明一个由直线围称图形大雨、等于、小于另一个徒刑。在这种观念中，一个面积的单位被认为是为另一面积以一定的倍数所包容。希腊数学家不是说一个图形的面积，而只是说两个面的比。这样一种定义方法，由于不可公度问题的存在，在数的概念还没有发展到完善的程度以前无法使之精确化的。它一直到19世纪下半叶方才形成确切定义，也正是这样的概念才奠定了整个微积分学的基础。
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