已知ab ac：等腰三角形ABC中，AB=AC，...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-12 14:39 标签： ab bc ac
已知等腰三角形ABC中,AB=AC,腰上 高线为BD,求证：∠DBC=二分之一∠BAC.
唯爱一萌021143
∵BD⊥AC∴∠BAC +∠ABD =90°= ∠DBC +∠C ∴∠BAC = ∠DBC +∠C-∠ABD ∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC = ∠DBC +∠ABC -∠ABD∵∠ABC -∠ABD=∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC∴∠DBC=1/2∠BAC
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已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB于F．求证：△ADF是等腰三角形．
主讲：杨朝粉
【思路分析】
证法一：过点A作AG⊥BC于G，由于AB=AC，利用等腰三角形三线合一性质可知∠BAG=∠CAG，而据图易证EP∥AG，再利用平行线的性质可得∠BAG=∠AFE，∠CAG=∠E，等量代换可得∠AFE=∠E，于是AE=AF，即可证；证法二：据图易知∠AEF=90°-∠C，∠BFP=90°-∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠AEF=∠BFP，又∠AFE和∠BFP是对顶角，易得∠E=∠AFE，从而有AE=AF，易证之．
【解析过程】
证法一：过点A作AG⊥BC于G，∵AB=AC，∴∠BAG=∠CAG，∵EP⊥BC，∴AG∥EP，∴∠BAG=∠AFE，∠CAG=∠E，∴∠AFE=∠E，∴AF=AE，即△AEF是等腰三角形；证法二：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），∵EP⊥BC于P，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP（等角的余角相等），又∵∠BFP=∠AFE（对顶角相等），∴∠E=∠AFE（等量代换），∴AE=AF（等角对等边）∴△AEF是等腰三角形．
证法一：过点A作AG⊥BC于G，∵AB=AC，∴∠BAG=∠CAG，∵EP⊥BC，∴AG∥EP，∴∠BAG=∠AFE，∠CAG=∠E，∴∠AFE=∠E，∴AF=AE，即△AEF是等腰三角形；证法二：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），∵EP⊥BC于P，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP（等角的余角相等），又∵∠BFP=∠AFE（对顶角相等），∴∠E=∠AFE（等量代换），∴AE=AF（等角对等边）∴△AEF是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
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京ICP备号 京公网安备已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，求AD的长。
解：因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，因为DE垂直平分AC，所以AD=CD，所以∠CAD=∠C=30°，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-30°=90°，在Rt△ABD中，因为∠B=30°，所以AD=BD，又AD=CD，所以AD=。
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旗下成员公司相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
在△APQ与△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：PB=，
∴AP=ABPB=3=；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴AB=BP，点B为线段AB中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
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