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如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形。
（1）求证：△BOC≌△CDA （2）若AB=2，求阴影部分的面积。
22、如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形。
（1）求证：△BOC≌△CDA
（2）若AB=2，求阴影部分的面积。
【答案】(1)详见解析；（2）.
试题分析：(1)如图，利用△ABC的内心和同弧所对的圆周角相等可证得&1=&3，利用平行线的性质可证&4=&6，再根据AAS即可判定△BOC≌△CDA；（2）先判定△ABC是等边三角形，即可得O是△ABC的内心也是外心，所以OA=OB=OC.在Rt△OCE中,CE=1，&OCE=30&，可求得OA=OB=OC=，根据，求出扇形AOB和△AOB的面积即可得求得阴影部分的面积.
试题解析：
解：（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴&2=&3，&5=&6，
∵&1=&2，∴&1=&3，
由AD∥CO,AD=CO，∴&4=&5，∴&4=&6，
∴△BOC≌△CDA(AAS)
由（1）得，BC=AC,&3=&4=&6，
∴&ABC=&ACB
∴AB=AC
∴△ABC是等边三角形
∴O是△ABC的内心也是外心
∴OA=OB=OC
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.
在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，&OCE=30&，
∴OA=OB=OC=.
∵&AOC=120&，
考点：三角形内外心的性质；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质；扇形的面积公式.
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站长QQ：&&如图1.已知A．(1)当a.b满足a2-8a+b2-8b+32=0时.求∠BAO的度数,的条件下.点C为线段AB上一点.以点C为直角顶点.OC为腰作等腰Rt△OCD.连接BD.求证:∠BDO=∠BCO,(3)如图2.△ABO的两条角平分线AE.BF交于点Q.若△ABQ的面积为24.求四边形AFEB的面积． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图1，已知A（a，0），B（0，b）．（1）当a、b满足a2-8a+b2-8b+32=0时，求∠BAO的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C为线段AB上一点（BC＞CA），以点C为直角顶点，OC为腰作等腰Rt△OCD，连接BD，求证：∠BDO=∠BCO；（3）如图2，△ABO的两条角平分线AE、BF交于点Q，若△ABQ的面积为24，求四边形AFEB的面积．
考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质
分析：（1）根据平方值的非负性质即可求得a、b的值，即可解题；（2）过C作EF∥OB交OA于F，交BD延长线于点E，易证∠COF=∠DCE，即可证明△COF≌△DCE，可得CE=OF，即可求得EF=OB，即可证明四边形OFEB为矩形，即可求得∠BDO=∠DOF，易证∠DOF=∠BCO，即可解题；（3）过E作EG⊥BF交AB于G，过F作FH⊥AE分别交AE、AB于M、H，过H作HN⊥QG于N点，易证BE=BG，即可证明△BQE≌△BGQ，同理可得△AQH≌△AQF，易证S△EQF=S△GQH，可得S△AQB=S△BQE+S△AQF+S△EQF，即可求得四边形AFEB的面积，即可解题．
解答：解：（1）∵a2-8a+b2-8b+32=0，∴a2-8a+16+b2-8b+16=0，即（a-4）2+（b-4）2=0，∴a=b=4，∴∠BAO=45°；（2）过C作EF∥OB交OA于F，交BD延长线于点E，则∠OFC=∠CED=90°，∵∠OCF+∠COF=90°，∠OCF+∠DCE=90°，∴∠COF=∠DCE，在△COF和△DCE中，∠E=∠OFC=90°∠COF=∠DCECD=OC，∴△COF≌△DCE，（AAS）∴CE=OF，∵∠BAO=45°，∠CFA=90°，∴AF=CF，∴EF=CE+CF=OF+AF=OA=OB，∴四边形OFEB为矩形，∴BD∥OA，∴∠BDO=∠DOF，∵∠DOF=∠COD+∠COF，∠BCO=∠BAO+∠COF，∠COD=∠BAO=45°，∴∠DOF=∠BCO，∴∠BDO=∠BCO．（3）过E作EG⊥BF交AB于G，过F作FH⊥AE分别交AE、AB于M、H，过H作HN⊥QG于N点，∵BF平分∠ABO，EG⊥BQ，∴BQ是EG垂直平分线，∴BE=BG，在△BQE和△BGQ中，BE=BG∠FBE=∠FBGBQ=BQ，∴△BQE≌△BGQ，（SAS）同理△AQH≌△AQF，∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°．∵BF平分∠OBA，AE平分∠OAB，∴∠ABQ+∠BAQ=45°，∴∠GQH=∠HQM=45°，∴四边形QMHN是矩形，∵FH⊥AE，∴QM=HM，∴四边形QMHN是正方形，∴NH=HM，∵HM=FM，∴MF=HN，∴S△EQF=S△GQH，∴S△AQB=S△BQE+S△AQF+S△EQF=24，∴S四边形AFEB=24×2=48．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△COF≌△DCE、△BQE≌△BGQ和△AQH≌△AQF是解题的关键．
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某学校在统计学生成绩时，为了防止数据输入错误，3000名学生的成绩分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2个半小时输完．问这两个操作员每小时各能输入多少名学生的成绩？
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已知A=-3，B=，C=-且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求a、b及A+B-C的值．
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在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C（1）当a=1时，①求点Q的坐标和直线AQ的解析式；②点m在直线AQ上，点N为平面直角坐标系内，x轴下方一点，当以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，求所有符合条件的点N的坐标，直接写出答案． （2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．①求点Q运动路线对应的解析式；②当AP+BQ的值最小时求a的值，直接写出答案．
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科目：初中数学
某农场前年种植了10亩地的南瓜，亩产量为1500千克，去年种植相同亩数的南瓜，亩产量增加了20%．（1）求去年南瓜的总产量；（2）今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植高产的新品种南瓜，与去年相比今年南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为54000千克，求今年南瓜亩产量的增长率．
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探索与运用：（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD；&&&&（2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE；（3）若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角（如图③，∠ABC）、一个外角（∠ACF）和两个都是外角（如图④∠DBC、∠BCE）的角平分线，其它条件不变，则线段DE、BD、CE的数量关系分别是：图③为&&&&、图④为&&&&：并从中任选一个结论证明．
来源：学年江苏省苏州市太仓市八年级（上）期中数学试卷 | 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
探索与运用：（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD；&&&&（2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE；（3）若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角（如图③，∠ABC）、一个外角（∠ACF）和两个都是外角（如图④∠DBC、∠BCE）的角平分线，其它条件不变，则线段DE、BD、CE的数量关系分别是：图③为&&&&、图④为&&&&：并从中任选一个结论证明．
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
（2007o湖北）阅读下面的文字，完成各小题．彩陶--中国远古文化的辉煌代表陶器是新石器时代人类最重要的发明之一，也是现代有了解原始文化的最重要的依据之一．考古发掘显示，世界各地绝大多数新石器时代的陶器，都或前或后不约而同地经历了素陶、彩陶、釉陶的发展阶段．所谓彩陶，是远古先民在制作好的陶胚内外壁上用矿物颜料绘制各种纹饰，然后入窑烧制定型的一种带彩陶器．彩陶集实用和雕塑、绘画、烧制等各种艺术、工艺于一体，展现了那个时代人类物质生产和精神生活的最新成果和最高水平，反映了原始社会数千年的社会状况和人的生存情境．可以说，彩陶是一本浓缩的、独特的“史书”．中国是世界上最早发明陶器的地区之一，并在距今大约8000年前就出现了彩陶．中国彩陶的发展、繁荣和衰亡历经4000年之久．尽管彩陶文化并非一种考古文化，但在中国新石器时代的文化遗存中，除了各种各样的石器外，绝大多数是以陶器为其重要表征的．其中，色彩绚丽、图形优美、造型多样、工艺精湛、数量较多的各种彩陶，更成为这一时段最有系统、最具规模、最有价值的文化遗存，并因此而成为华夏远古文化的一种鲜明特征．“仰韶文化”的命名就是以在遗址中发掘的红底黑彩的陶片作为重要证据，而“仰韶文化”之所以又被划分为两种类型，即以鱼纹为主的半坡类型和以鸟纹、花卉纹为主的庙底沟类型，也是以遗址出土的彩陶坟饰作为区分的主要标志．据估计，中国出土的彩陶约有5万多件，很可能是世界上出土彩陶数量最多的国家．这些彩陶绝大多数都是日常实用器皿，如盆、碗、壶、罐等等，分布的地域几乎遍布全国．这些彩陶的形体虽然简单，但在造型设计上却颇具匠心．制作时对器物的各部分运用不同的比例变化．构成各种柔和优美的轮廓曲线，其式样繁多，并随各地习俗的不同而各具特色．在图案设计方面，中国的史前彩陶都能结合不同器形的特点和装饰部位的不同，或疏或密，或繁或简，饰以不同纹样．图案丰富多彩．有的宜于俯视，有的适于平观，将器物的实用性质和使用的审美效果结合起来．其中大量出现的编织纹和几何形纹，具有彩纹和底色相互衬托虚实相应的作用，形成“双关图案”．这种构图方式一直延续至今，成为中国传统工艺美术的一种基本装饰手法．探索中国文明的起源．无论是文字的始创、艺术的发端，原始巫术的产生，还是远古神话与图腾崇拜的出现，都离不开彩陶．因为彩陶除了作为原始人类日常生活器物之外，还是原始宗教、图腾崇拜的重要器物；彩陶的器形和陶壁上的纹饰，即体现了远古先民对关和艺术的追求，也是原始文字创造的一个重要源泉．在作为中国史前文化起源研究依据的几类原始文化遗存，如玉石器、彩陶、雕塑和岩画中，玉石器和雕塑的数量都较少，岩画的年代又往往引起争论．唯有彩陶数量最多，年代也最准确，因而最具有可靠性和系统性．可以说，彩陶是中国远古文化的辉煌代表．（1）下列对“彩陶”的解释，不正确的一项是&&&&A．彩陶是一种陶璧上有各种彩纹的远古陶器，其纹饰的特点有时作为原始文化类型划分的依据．B．彩陶是一种集实用、审美等文化功能于一体的远古陶器，在中国原始文化遗存中具有代表性．C．彩陶是中国远古先民发明的一种带彩陶器，在距今大约8000年前就已经出现．D．彩陶是在素陶基础上发展而来后一种带彩陶器，体现了中国远古先民对美的追求．（2）下列对“彩陶是一本浓缩的、独特的‘史书’”这句话的理解，错误的一项是&&&&A．彩陶保留着几千年原始社会人类生活变经的痕迹，反映了新石器时找人类历史发展的状况．B．彩陶呈现出不同地域的新石器时代人类生活的不同特点，再现了原始人类生活的独特情境．C．彩陶包含多重原始文化意蕴，为探索人类文明的起源提供了重要信息．D．彩陶上的纹饰具有原始文字的性质和作用，原始人类用它来记载历史．（3）下列表述完全符合原文意思的一项是&&&&A．世界各地新石器时代的陶器，不论先后，都经历过素陶、彩陶、釉陶的发展阶段，中国是出现陶器最早的地区之一．B．中国的彩陶制作精美，文化信息丰富，出土数量众多，分布地域广泛，年代最为准确，是中国远古文化的辉煌代表．C．彩陶的形体虽然简单，但造型却颇具匠心，例如让编织纹和几何形纹的彩纹与底色相互衬托，产生出虚实相应的双关效果．D．与其他几类原始文化遗存相比，只有彩陶能同时为探索文字的始创、艺术的发端、原始巫术的产生等文明起源问题提供依据．（4）根据原文提供的信息，下列推断不正确的一项是&&&&A．彩陶是中国远古文化的辉煌代表，也是其他经历过彩陶阶段的国家远古文化的辉煌代表．B．彩陶文化并非一种考古文化，因为从考古学来说，彩陶文化其实是从属于新石器时代文化的．C．彩陶的制作颇具匠心，体现了远古先民的审美追求，但它的制作主要还不是出于审美的需要．D．彩陶虽然是原始人类生产的一种器物，但它的一些制作经验却对后世工艺美术的发展产生了深远影响．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“探索与运用：（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD；（2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE；（3）若将图②中两个内角的角平分线改为一”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC根据平行线的性质得到∠DEO=∠BOC等量代换得到∠DEO=AOC根据等腰三角形的判定即可得到结论（2）根据△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．求证∠DBO=∠OBC∠ECO=∠BCO再利用两直线平行内错角相等求证出∠DOB=∠DBO∠COE=∠BCO即BD=DOOE=CE然后利用等量代换即可求出结论（3）选③证明：由（1）中证明可得：DB=DOEO=EC根据线段的和差即可得到结论
【解答】证明：（1）∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC∵DE∥OB∴∠DEO=∠BOC∴∠DEO=AOC∴DE=OD（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O∴∠DBO=∠OBC∠ECO=∠BCO∵DE∥BC交AB于点D交AC于点E．∴∠DOB=∠DBO∠COE=∠ECO∴BD=DOOE=CE∴DE=BD+CE（3）图③：DE=BD-CE图④：DE=BD+CE选③证明：由（1）中证明可得：DB=DOEO=EC∴DE=OD=OE=DB-CE．故答案为：DE=BD-CEDE=BD+CE．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
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知识点讲解
经过分析，习题“探索与运用：（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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