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2002年全国中考数学试题汇编《二次函数》（05）
1．已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．（1）证明：△OAB为等边三角形；（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．代数式ax2+bx+c=0（a≠0）当x取1和3时，代数式的值为0．（1）求b、c分别与a的关系式；（2）当代数式的值等于-a和3a时，求x；（3）用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x，y）作为直角坐标平面内的点的坐标．请在-3＜a＜3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x，y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x，y）的位置随x的增大而变化的规律．
3．已知抛物线y=（x-2）2-m2（常数，n＞0）的顶点为P．（1）写出抛物线的开口方向和P点的横坐标；（2）若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B，并且∠APB=90°，试求△ABP的周长．
4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．（1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=S△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．
5．设抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，且与y轴相交于点M．（1）求b和c（用含a的代数式表示）；（2）在抛物线y=ax2-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax2+bx+c上，试判断直线AC和x轴的位置关系，并说明理由．
6．已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，xl和x2是方程x2+2x-3=0的两个根（x1＜x2），而且抛物线与y轴交于C点，∠ACB不小于90°（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）求系数a的取值范围．
7．已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
8．已知抛物线y=-x2+bx+c与X轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n=4，．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C，试判断四边形ACBD是怎样的特殊四边形，并证明你的结论．
9．如图，一次函数y=-x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实数根，且a=b；（1）试判定△ABC的形状；（2）当时求此抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线经过三点A（4，3），B（x1，0），C（x2，0），且x1、x2是方程x2-6x-32-6x+21+17=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y=2x+h与该抛物线相交于两点M（m，y1）、N（n，y2），m、n满足关系式m2+n2=12，求这条直线的解析式．
11．已知抛物线y=x2+kx+k-1（-1＜k＜1）．（1）证明抛物线与x轴总有两个交点；（2）问该抛物线与x轴的交点分布情况（指交点落在x轴的正、负半轴或在原点等情形），并说明理由；（3）设抛物线的顶点为C，且与x轴的两个交点A、B，问是否存在以A、B、C为顶点的直角三角形并证明你的结论．（需要画抛物线示意图，请用如下坐标系）
12．如下图，已知抛物线y=x2+bx+c和x轴正半轴相交于A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，它的横坐标为9，∠PBO=135°，cot∠PAB=．（1）求点P的坐标；（2）求抛物线的解析式．
13．已知二次函数y=a（x+m）2+k（a≠0）的图象经过原点，当x=1时，函数y的最小值为-1．（1）求这个二次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数图象的草图；（2）若这个二次函数图象与x轴的交点为A、B，顶点为C，试判断△ABC的形状．
14．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；（2）当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC；（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
15．如图，已知直线y=-2x+12分别与Y轴，X轴交于A，B两点，点M在Y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（-，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n=4，．（1）求此抛物线的表达式；（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一平行于x轴的直线交抛物线于另一点P，请求出△ACP的面积S△ACP．
17．已知：如图，抛物线c1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线c1解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线c1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线c2经过点E（抛物线c2与抛物线c1不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）
18．如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．（1）求证：PC是⊙M的切线；（2）在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切、且与直线PC相切于D．问将过A、C、B三点的抛物线平移后能否同时经过P、D、A三点，为什么？
19．如图，在直角坐标系中，点O’的坐标为（2，0），OO’与x轴交于原点O和点A，B、C、E三点的坐标分别为?-1，0），（0，3）和（0，p），且0＜p≤3．（1）求经过点B、C的直线的解析式；（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'有哪几种位置关系？当P分别在什么范围内取值时，直线BE与⊙O'是这几种位置关系？（3）设过点A、B、E的抛物线的顶点是D，求四边形ABED的面积的最大或最小值．
20．已知，如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点．（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二方程；（2）C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC到E，使DE=2，连接EA，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由．
21．已知二次函数y=x2+ax+a-2（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由．
22．已知二次函数y=x2-x+m的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于B、C两点（点B在C的左边），P为它的顶点．（1）试确定m的值；（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求直线AD的解析式．
23．已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数，（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合．设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．阅读下列材料：如图1，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2外公切线，A、B为切点，求证：AC⊥BC证明：过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D，∵DA、DC是⊙O1的切线∴DA=DC．∴∠DAC=∠DCA．同理∠DCB=∠DBC．又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，∴∠DCA+∠DCB=90°．即AC⊥BC．根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图2），已知A、B两点的坐标为（-4，0），（1，0），求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式；（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由．
26．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
27．已知抛物线y=-x2+2mx+4．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且2+1OB2=12，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．
28．已知抛物线y=mx2-2mx+4m-与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B（x2，0）（xl＜x2），且x12+x22=34．（1）求m，x1，x2的值；（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=，tan∠DOB=（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当△OCD的面积等于，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．
30．如图，P为x轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交OC、CB于D、F．已知=，（1）求证：AD=CD；（2）若DF=，tan∠ECB=，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）设M为x轴负半轴上一点，OM=AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由．--博才网
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第二.4_二次函数与幂函数
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高中数学二次函数试题
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官方公共微信31．抛物线y=2（x-1）2-3的对称轴是直线（　　）A．x=2B．x=1C．x=-1D．x=-3★★★★★32．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（　　）A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，-1）D．（-2，-1）★★★★★33．二次函数y=2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）A．（1，3）B．（-1，3）C．（1，-3）D．（-1，-3）★★★★★34．抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是（　　）A．（-6，-3）B．（-6，3）C．（6，3）D．（6，-3）★★★★★35．给出下列函数：①y=2x；②y=-2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜-1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（　　）A．①②B．①③C．②④D．②③④★★★★★36．已知反比例函数y=（a≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数y=ax2+a的图象经过的象限是（　　）A．第三、四象限B．第一、二象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限★★★★★37．抛物线y=x2-4的顶点坐标是（　　）A．（2，0）B．（-2，0）C．（1，-3）D．（0，-4）★★★★★38．抛物线y=（x-3）2+2的对称轴是（　　）A．直线x=-3B．直线x=-2C．直线x=2D．直线x=3★★★★★39．抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标是（　　）A．（1，-1）B．（1，-2）C．（-1，-3）D．（1，-3）★★★★★40．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）A．y=xB．y=C．y=-D．y=x2★★★★★41．二次函数y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（　　）A．12B．11C．10D．9★★★★★42．对于y=2（x-3）2+2的图象下列叙述正确的是（　　）A．顶点坐标为（-3，2）B．对称轴为直线x=3C．当x=3时，y有最大值2D．当x≥3时y随x增大而减小★★★★★43．二次函数y=x2-x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-1时，函数值（　　）A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m★★★★★44．当k取任意实数时，抛物线y=（x-k）2+k2的顶点所在的曲线是（　　）A．y=x2B．y=-x2C．y=x2（x＞0）D．y=-x2（x＞0）★★★★★45．抛物线y=2（x-3）2的顶点在（　　）A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上★★★★★46．下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（　　）A．开口向下B．对称轴方程为x=1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标为（-1，0）★★★★★47．抛物线y=x2+x-4的对称轴是（　　）A．x=-2B．x=2C．x=-4D．x=4★★★★★48．抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（　　）A．（-2，-3）B．（2，3）C．（-2，3）D．（2，-3）★★★★★49．已知抛物线y=x2-2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（　　）A．1B．2C．-2D．2或-2★★★★★50．若直线y=3x+m经过第一，三，四象限，则抛物线y=（x-m）2+1的顶点必在（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限★★★★★51．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）A．y=-3xB．y=4xC．D．y=-x2★★★★★52．抛物线y=x2-2x-1的顶点坐标是（　　）A．（1，-1）B．（-1，2）C．（-1，-2）D．（1，-2）★★★★★53．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（　　）A．a＜0B．abc＞0C．a+b+c＞0D．b2-4ac＞0★★★★★54．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（　　）A．c＞0B．2a+b=0C．b2-4ac＞0D．a-b+c＞0★★★★★56．已知：二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（　　）A．-1B．1C．D．-★★★★★57．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c＜0；④a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个★★★★★58．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜0★★★★★59．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0；其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个★★★★★60．小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个★★★★★下载本试卷需要登录，并付出相应的优点。所需优点：普通用户5个，VIP用户4个推荐试卷
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已知二次函数f（x）=-12x2+3x-52．（1）写出下列各点的坐标：①顶点；②与x轴交点；③与y轴交点；（2）如何平移f（x）=-12x2+3x-52．的函数图象，可得到函数y=-12x2的图象；（3）g（x）的图象与f（x）的图象开口大小相同，开口方向相反；g（x）的顶点坐标为（2，2），求g（x）的解析式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）函数对称轴为x=-b2a=3，故顶点横坐标为3，代入解析式，即f（3）=2，故顶点坐标为（3，2）．（2分）与x轴交点纵坐标为0，即f（x）=-12x2+3x-52=0，解得x=1或x=-5，故与x轴交点坐标为（1，0）或（5，0）（4分）与y轴交点横坐标为0，即f（0）=-52．故与y轴交点坐标为（0，-52）（6分）（2）将函数解析式完全平方化得f(x)=-12(x-3)2+2，故将函数向左移3个单位，再向下平移2个单位可得后来的函数；（10分）（3）g（x）的图象与f（x）的图象开口大小相同，开口方向相反，可知a=12，即g（x）的解析式为g(x)=12x2+bx+c，又g（x）的顶点坐标为（2，2），可算出b=-2，c=4．故g（x）的解析式为g（x）=12x2-2x+4．（16分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=-12x2+3x-52．（1）写出下列各点的坐标：①顶点；②与..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用函数解析式的求解及其常用方法
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
发现相似题
与“已知二次函数f（x）=-12x2+3x-52．（1）写出下列各点的坐标：①顶点；②与..”考查相似的试题有：
469375559875402922284025433855250052