设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，an+1=3Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Tn为数列{nan}的前n项和，求Tn．考点：；．专题：．分析：（Ⅰ）由an+1=3Sn+1得，n≥2时an=3Sn-1+1，两式相减得递推公式，再验证n=1时是否满足，判断出数列{an}是等比数列，代入通项公式即可；（Ⅱ）由（I）和题意表示出Tn，再由错位相减法求出数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）由题意，an+1=3Sn+1，则当n≥2时，an=3Sn-1+1．两式相减，得an+1=4an（n≥2）．又∵a1=1，a2=4，∴2a1=4，∴数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，∴n=4n-1（n∈N*），（Ⅱ）由（I）得，n=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+no4n-1，∴n=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)o4n-1+no4n，两式相减得，n=1+4+42+…+4n-1-no4n=1-4n1-4-no4n，整理得，n=3n-19o4n+19（n∈N*）．点评：本题考查了数列的Sn与an之间的转化问题，以及错位相减法求出数列的前n项和，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
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设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3），Sn+1=2Sn+3n，n∈N*．（1）设bn=Sn-3n，n∈N*，证明数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：崇明县一模
（1）当a≠3时，bn+1bnSn+1-3n+1Sn-3n=2Sn+3n-3n+1Sn-3n=2所以{bn}为等比数列．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4分）（2）b1=S1-3=a-3，（1分）bn=（a-3）×2n-1．&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&（2分）所以Sn-3n=（a-3）×2n-1（3分）an=Sn-Sn-1，n≥2，n∈N*an=a2×3n-1+(a-3)×2n-2，n=1n≥2；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（6分）（3）an+1≥an，a2＞a1an+1＞an，&n＞2，（2分）a≥-9（5分）所以a≥-9，且a≠3．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（6分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3），Sn+1=2Sn+3n，n∈N*．（1..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质数列的概念及简单表示法
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
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设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2，记bn=an+1-2an．（Ⅰ）求b1，并证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=4an+2，∴S2=4a1+2=a1+a2，a2=5，∴b1=a2-2a1．=3，另外，由Sn+1=4an+2得，当n≥2时，有Sn=4an-1+2，∴Sn+1-Sn=（4an+2）-（4an-1+2），即an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2（an-2an-1），n≥2又∵bn=an+1-2an．∴bn=2bn-1．∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=3o2n-1，&&an+1-2an=3o2n-1，∴an+12n+1-an2n=34，数列{an2n}是首项12，公差为34的等差数列．an2n=12+（n-1）×34=34n-14an=（3n-1）o2n-2
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等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)，（1）求a2，a3；（2）若dn=ann(n+1)，求数列{dn}的通项公式；（3）若an=kC3n+2，（其中Cnm表示组合数），求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：奉贤区二模
（1）a2=24，a3=60（4分）（2）an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)两边同时除以（n+1）（n+2）可得an+1(n+2)(n+1)=ann(n+1)+1dn+1-dn=1（3分）所以{dn}是等差数列，且d1=a11o2=3，所以dn=3+（n-1）=n+2（3分）（3）由（1）得an=n（n+1）（n+2）（1分）an=kC3n+2=kon(n+1)(n+2)6，k=6（2分）即：an=n（n+1）（n+2）=6Cn+23（1分）所以，Sn=a1+a2+…+an=6（C33+C43+C53++Cn+23）（1分）=6Cn+34（2分）=n(n+1)(n+2)(n+3)4（1分）
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等差数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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与“已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)，（1）求a2，a3；..”考查相似的试题有：
525544393990302564435118526911482050已知，a1=50，an+1=20(n+1)+20n+an,求此数列的前n项和Sn._百度知道
已知，a1=50，an+1=20(n+1)+20n+an,求此数列的前n项和Sn.
知道an+1- an=20(n+1)+20n我们把这个式子递加:a2-a1=20(1+1)+20*1a3-a2=..........an+1- an=20(n+1)+20n相加得到an+1=20[2+3+...+n+1]+20(1+2+...+n)a1=50是不是题目有问题？怎么20(n+1)还+20n?你看下题目再说上缉定光剐叱溉癸税含粳面的方法可以求an+1式子，最后可以求sn
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S(n+1) = Sn + 10n(2n+3) + 50=&an = 20n^2 - 10n + 40=&Sn = 20n(n+1缉定光剐叱溉癸税含粳)(2n+1)/6 - 10n(n+1)/2 + 40n
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