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已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（1）求x0的值；（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=1f(n)，bn=f（12n）+1，记Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求an与Tn；（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）令x1=x2=0，得f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（x0）=-f（0）①令x1=1，x2=0，得f（x0）=f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②由①②得f（x0）=f（1）又∵f（x）是单调函数，∴x0=1；（2）由（1）可得 f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）+1则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2又∵f（1）=1∴f（n）=2n-1（n∈N*），∴an=12n-1∵f（1）=f（12+12）=f（12）+f（12）+f（1），∴f（12）=0，∴b1=f（12）+1=1∵f(12n)=f(12n+1+12n+1)=2f(12n+1)+f(1)=2f(12n+1)+1∴2bn+1=2f(12n+1+12n+1)=2f(12n+1)+2=f(12n)+1=bn∴bn=(12)n-1∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=23[1-(14)n]（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n则F（n+1）-F（n）=14n+1+14n+3-12n+1＞0当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a3+a4=1235∴1235＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]即log12(x+1)-log12(9x2-1)＜2∴x+1＞09x2-1＞0x+19x2-1＞14，解得-59＜x＜-13或13＜x＜1故x∈(-59，-13)∪(13，1)
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据魔方格专家权威分析，试题“已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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473153476908572020841547886542619466当前位置：
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设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有成立．（1）求实数a和b的值；（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；（3）若两相异实数x1、x2∈（0，π），且满足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．
题型：解答题难度：中档来源：江西省月考题
解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=&sin（ωx+φ）（ω＞0），又f（x）≤f（&）=4恒成立， ∴&=4，即a2+b2=16．…①∵f（x）的最小正周期为π， ∴ω=&=2，即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．又f（x）max=f（&）=4， ∴asin&+bcos&=4，即a+&b=8．…②由①、②解得a=2，b=2&．（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2&cos2x=4sin（2x+&）．∵0＜x＜π， ∴&＜2x+&＜&，列表如下：∴函数f（x）的图象如图所示：&（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，当0＜x1＜x2＜&时，x1+x2=2×&=&，∴f（x1+x2）=f（&）=4&=2&；当&＜x1＜x2＜π时，x1+x2=2×&=&，∴f（x1+x2）=f（&）=4sin&=2&；综上，f（x1+x2）=2&．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对..”主要考查你对&&函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质两角和与差的三角函数及三角恒等变换
函数的图象：
1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T=，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。 2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。 3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系： 把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（φ＞0）或向右（φ＜0），y=sin（x+φ） 把y=sin（x+φ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，y=sin（ωx+φ） 把y=sin（ωx+φ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，y=Asin（x+φ）把y=Asin（x+φ）的图象横坐标不变，纵坐标向上（k＞0）或向下（k＜0），y=Asin（x+φ）+K； 若由y=sin（ωx）得到y=sin（ωx+φ）的图象，则向左或向右平移个单位。 函数y=Asin（x+φ）的性质：
1、y=Asin（x+φ）的周期为； 2、y=Asin（x+φ）的的对称轴方程是，对称中心（kπ，0）。两角和与差的公式：
倍角公式：
半角公式：
万能公式：
三角函数的积化和差与和差化积：
三角恒等变换：
寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点。三角函数式化简要遵循的"三看"原则:
(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.
(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.(2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.
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与“设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对..”考查相似的试题有：
411032297618275970568911398235336758已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)，_百度知道
已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)，
已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0.f(4)=1.解不等式f(x)+f(x-3)≤1
解答：先证明f(x)在（0，+∞)上是增函数。在(0,+∞)上任取x1,x2,设x1&x2∵ f(xy)=f(x)+f(y)令xy=x1,x=x2,则y=x1/x2&1∴ f(x1)=f(x2)+f(x1/x2)&f(x2)∴ f(x)在(0,+∞）上是增函数。则f(x)+f(x-3)≤1即 f(x²-3x)≤f(4)∴ x&0且x-3&0且x²-3x≤4∴ x&3且-1≤x≤4∴已知函数f(x)的定义域为(负无穷，0)并（0，正无穷），且满足条件1.f(xy)=f(x)+f(y)；2.f(2)=1；3.当x&1时，f(x)&0.
已知函数f(x)的定义域为(负无穷，0)并（0，正无穷），且满足条件1.f(xy)=f(x)+f(y)；2.f(2)=1；3.当x&1时，f(x)&0.
(1)求证：f(x)为偶函数
（2）讨论函数的单调性
（3）求不等式f(x)+f(x-3)小于等于2的解集
(1)、证明f(x)是偶函数：
因为 f(xy)=f(x)+f(y)，那么f(-1)=f(1)+f(-1)，求出f(1)=0
因为 f(xy)=f(x)+f(y)，那么f(1)=f(-1)+f(-1)，由f(1)=0，求出f(-1)=0
对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），我们知道：-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f(-x)=f(x)+f(-1)，即f(-x)=f(x)
由函数奇偶性定义，可知函数f(x)是偶函数；
（2）、对于任意的x1、x2∈（0，+∞），设x1&x2，那么x2/x1&1
因为当x&1时，f(x)&0，推出：f(x2/x1)&0.....(A)
注意到X2=X1*（X2/X1），已知f(xy)=f(x)+f(y)，那么f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1)
化为：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)，联系到（A），我们得到：f(x2)&f(x1)
由函数单调性的定义，所以函数f(x)在区间（0，+∞）上是增函数；
对任意的x1、x2∈（-∞，0），设x1&x2，那么-x1、-x2∈（0，+∞），且-x1&-x2
由函数f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，有f(-x1)&f(-x2)
再由函数f(x)是偶函数，我们得到：f(x1)&f(x2)
由函数单调性的定义，所以函数f(x)在区间（-∞，0）上是减函数；
（3）、因f(2)=1，那么f(4)=f(2)+f(2)=2
把不等式：f(x)+f(x-3)&=2
变形为：f[x(x-3)]&=f(4)......(B)
如果x与x-3同号(即x&0或x&3)，那么x(x-3)&0,4&0
由上面推导（2）的结论：函数f(x)在区间（0，+∞）上是增函数
不等式(B)可变形为：x(x-3)&=4，解之得：-1&=x=&4
此时，不等式f(x)+f(x-3)&=2的解是：-1&=x&0或3&x=&4；
如果x与x-3异号(即0&x&3)，那么x(x-3)&0,4&0,f(-4)=f(4)
由上面推导（2）的结论：函数f(x)在区间（-∞，0）上是减函数
不等式(B)可变形为：x(x-3)&=-4，解之得：x=&-4或x&=1
此时，不等式f(x)+f(x-3)&=2的解是：1&=x&3
所以不等式f(x)+f(x-3)&=2的解集是[-1，0）∪[1，3）∪（3，4）
其他回答 (2)
F(1)=F（1)+F(1)
所以F(1) =0
F(1)=F(-1)+F(-1)
所以F(-1)=0
F(-X)=F(X)+F(-1)
所以F(-X)=F(X)函数为偶函数
f(2x)=f(x)+1我们发现
函数当X&0时f(x)=log2(x)
,当然是单调递增啊！因为是偶函数所以当X&0时f(x)=log2(-x)，当然是单调递减啊
当x-3&0时
log2（x)(x-3)&=2解得
3&x&=4
当0&x&3时
log2(x)(3-x)&=2解得无解
当X&0时
log2（-x)(3-x)&=2解得
(1)：f(-x)=f(x)+f(-1), f(x)=f(-x)+f(-1)
=& f(-1)=f(x)-f(-x)
=&f(-x)=f(x)+[f(x)-f(-x)]
=&f(-x)=f(x)
(2)：设u=xy,x&0
f(u)=f(xy)=f(x)+f(y),
y&1时，f(y)&0, u&x, 由上式有:f(u)-f(x)=f(y)&0,
所以f(u)&f(x)
即x&0时，f(x)递增，由偶函数性质可知,x&0时，f(x)递减
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已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求证：f(1x)=-f(x)，且f（x）是偶函数；（2）请写出一个满足上述条件的函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：令x1=x2=1∵f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）∴f（1）=2f（1）∴f（1）=0，∴f(1x)+f(x)=f(1)=0，∴f(1x)=-f(x)令x1=-1，x2=1f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），∴f（-1）=0；令x1=-1∵f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）∴f（x1ox2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）又∵f（-1）=0∴f（-x2）=f（x2）故f（x）是偶函数；（2）根据根据（x1x2）=f（x1）+f（x2）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），可知f（x）=log2|x|．
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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