GCT(数学)模拟试题题库
本试题来自：（2011年GCT(数学)模拟试题，）单项选择题设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(
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单项选择题：（)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=(
)．A．(A) 2B．(B) 1C．(C) D．(D) 答案：有，答案解析：有，单项选择题：（)设函数，则=(
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GCT(数学)模拟试题最新试卷
GCT(数学)模拟试题热门试卷设A,B是n阶实对称矩阵,A正定,证明存在一可逆矩阵T,使得T'AT和T'BT同时为对角阵_百度作业帮
设A,B是n阶实对称矩阵,A正定,证明存在一可逆矩阵T,使得T'AT和T'BT同时为对角阵
设A,B是n阶实对称矩阵,A正定,证明存在一可逆矩阵T,使得T'AT和T'BT同时为对角阵
A正定,存在可逆阵D,使得D’AZD=E,记M=D‘BD是对称阵,故存在正交阵Q,使得Q'MQ是对角阵,令C＝DQ,则C'BC=Q'D'BDQ=Q'MQ是对角阵,C'AC=Q'D'ADQ=Q'EQ=E是对角阵.1.A,C为n级正定矩阵,B为实对称矩阵,且AB+BA=C.证明：B为正定矩阵.2.设C为实可逆矩阵.证明：A为正定矩阵当且仅当CTAC也为正定矩阵._百度作业帮
1.A,C为n级正定矩阵,B为实对称矩阵,且AB+BA=C.证明：B为正定矩阵.2.设C为实可逆矩阵.证明：A为正定矩阵当且仅当CTAC也为正定矩阵.
1.A,C为n级正定矩阵,B为实对称矩阵,且AB+BA=C.证明：B为正定矩阵.2.设C为实可逆矩阵.证明：A为正定矩阵当且仅当CTAC也为正定矩阵.
1. 首先注意到实对称阵的特征值都是实数,因此只要说明B的特征值都是正实数.设a是B的一个特征值,有对应的特征向量X,即：BX = aX.则X^tABX + X^tBAX = X^tA(aX) + (BX)^tAX = aX^tAX + aX^tAX = 2aX^tAX而据已知条件,X^tABX + X^tBAX = X^tCX > 0且X^tAX > 0（此二处利用A、C的正定性）故a>0.2. A正定当且仅当对所有向量X,X^tAX>0.而C可逆,于是对任何向量X,总有向量Y,使得 X=CY.于是 “C^tAC正定”=> Y^t(C^tAC)Y>0 => X^tAX>0 ,反之亦然.
1.证：A,C为n级正定矩阵X‘AX
也为正定二次型 故X‘AX>0
X‘CX >0又因B为实对称矩阵因此
X‘(AB+BA)X= X‘CX >0B为正定矩阵2.CTAC?????????75全国2007年-2012年高等教育自学考试线性代数(经管类)试题汇总-第7页
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75全国2007年-2012年高等教育自学考试线性代数(经管类)试题汇总-7
9.二次型f?xTAx(A为实对称阵)正定的充要；A.A可逆B.|A|&0C.A的特征值之和；?k；10.设矩阵A=?0；???0；0k?2；0?；?2正定，则（）?4??；A.k&0B.k?0C.k&1D.k；二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20；请在每小题的空格中填上正确答案；132；?1；1?0,则k?__________
9.二次型f?xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（
C.A的特征值之和大于0
D.A的特征值全部大于0?k10.设矩阵A=?0???00k?20???2正定，则（
） ?4??A.k&0
D.k?1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则AB=____________________。2132?1?1?0,则k?_____________。
13.设A=2??1?002010?*?0，则A=_____________。 ?3??T12.若1k14.已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=_____________。15.向量组?1?(1,1,0,2),?2?(1,0,1,0),?3?(0,1,?1,2)的秩为_____________。16.设齐次线性方程Ax=0有解?，而非齐次线性方程且Ax=b有解?,则???是方程组_____________的解。 17.方程组??x1?x2?0?x2?x3?0?1?0的基础解系为_____________。18.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,则t?_____________。19.若矩阵A=?0??3与矩阵B=??4??ab??相似，则x=_____________。 x?2220.二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?3x3?x1x2?3x1x3对应的对称矩阵是_____________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1?3006432?205?2221.求行列式D=427的值。 22.已知A=?TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT- 本套试题共分62页，当前页是第31页-?2?13???3,B???0???2?1??0,C???1??1?121??1,D???0??1200??,矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X。 1? 23.设向量组为 ?1?(2,0,?1,3)
?2?(3,?2,1,?1)?3?(?5,6,?5,9) ?4?(4,?4,3,?5)求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。24.求?取何值时,齐次方程组?(??4)x1?3x2?0??4x1?x3?0??5x??x?x?0123?有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。?125.设矩阵A=?0???0?6?56?3???3，求矩阵A的全部特征值和特征向量。 ?4?? 2226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的标准形，并写出相应的线性变换。 四、证明题（本大题共1小题，6分）27.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?,?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。 全国2009年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT- 本套试题共分62页，当前页是第32页-说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 10?11?110?11?1101．行列式?11?1第二行第一列元素的代数余子式A21=（
D．2 2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A?（
） A．12B．1
C．43D．23．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?1?（
C．A?1B?1 4．已知2阶矩阵A???c?A．????a??c?aD．B?1A?1b??1A??1，则(A*)?的行列式?（
）d???b???d??
C．?ca???b??a??
D．?c?a???b?? d???b??d??
B．??c?d???5．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（
） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 C．?1,?2,?,?s全是非零向量B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（
）A．r(A)?n
D．r(A)?m 7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（
D．2E?A 8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（
） ．．TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT- 本套试题共分62页，当前页是第33页-?1?A．?0?1?0100??1??0?
B．?0??11???0100??1??0?
C．?0?01???0200??0? 1???1?D．?1?1?0100??0? 1??9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（
C．3?0?10．设矩阵A??0?1?010D．41??T0?，则二次型xAx的规范形为（
） 0??A．z12?z2?z3
B．?z1?z2?z3
C．z1?z2?z3
D．z1?z2?z3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．已知行列式a1?b1a2?b2a1?b1a2?b2??4，则a1a2b1b2?______.?1?12．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?ATB，则C2=______.13．设矩阵A??2?3?0230??1??1?0?，则?A??______.?2?3??14．已知矩阵方程XA?B，其中A???21??,B???1????10??1?1??，则X?______. 0??15．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.16．设向量组?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为______.?1?17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0?0??1a?1020a?11??1?，若该方程组无解，则a 的取值为______. 0??18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______. 19．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.22?(a?3)x3正定，则数a的最大取值范围是______. 20．已知3元二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?x2 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT- 本套试题共分62页，当前页是第34页-三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)x?1?1x?1?1?111x?11?1?1?1x?121．计算行列式D?111的值. 22．设矩阵A??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|. ??12?????x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2?x?x?a13?3?21?(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解． (2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．24．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．25．设矩阵A???4??12??5??,B??23???0?TT?，存在，使得A?1?5?1, ??(1,2),??(?1,1)12?1??TTA?2???2；存在?1?(3,1),?2?(0,1),使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，使得P?1AP?B. 26．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化为标准形．TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT- 本套试题共分62页，当前页是第35页-包含各类专业文献、应用写作文书、专业论文、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、高等教育、外语学习资料、各类资格考试、75全国2007年-2012年高等教育自学考试线性代数(经管类)试题汇总等内容。　
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【分析】当对于任意x≠0，xTAx＞0，矩阵A正定。【解答】因为A为n阶正定矩阵，AT=A，所以 BT = （CTAC）T = CTAC =B，B是对称矩阵C为n阶可逆矩阵，对于x≠0，有Cx≠0 矩阵A正定，根据正定的定义，对于任意 y≠ 0 ，yTAy＞0。令y=Cx，即 xT（CTAC）x = xTBx ＞0所以B是正定矩...