素数一定是正整数吗?
对素数一定是正整数
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扫描下载二维码若两个正整数都是素数,则它们的乘积一定是什么
因为1不是素数,因此两个素数的乘积一定是合数
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一定是合数。因为两个素数相乘比如：2*3=6
3*7=21.两个素数相乘，得到的数的因数不就是这两个素数吗。比如3*7=21
21的因数：21
扫描下载二维码题主是软件工程类大三的学生。看到密码学里讲到有限域的阶一定是素数的整数次幂,即。抱着知其然也要知其所以然的态度上来请教。没有太多的数论知识储备，能否讲的通俗易懂些，谢谢。
有限域的基域是Z/pZ， 其中p是素数。有限域同时也是Z/pZ上的线性空间，如果维度是k的话，那么有限域的元素个数就是p^k了。
设&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&是有限域，那么&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&的特征一定是某个素数&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&（因为如果特征为&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&包含素域&img src=&///equation?tex=%5Cbf+Q& alt=&\bf Q& eeimg=&1&&，这与&img src=&///equation?tex=%7CK%7C%3C%5Cinfty& alt=&|K|&\infty& eeimg=&1&&相矛盾。），因此&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&包含素域&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf+F%7D_p%3D%7B%5Cbf+Z%7D%2Fp%7B%5Cbf+Z%7D& alt=&{\bf F}_p={\bf Z}/p{\bf Z}& eeimg=&1&&作为子域，这样&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&可以看成&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf+F%7D_p& alt=&{\bf F}_p& eeimg=&1&&上的向量空间。&br&这个问题要用到&br&&blockquote&&b&定理.
&/b&域&img src=&///equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&上的每个非零的向量空间&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&都有一个基。&/blockquote&证明要用到Zorn引理。根据这个定理，我们可以断定&img src=&///equation?tex=K%2F%7B%5Cbf+F%7D_p& alt=&K/{\bf F}_p& eeimg=&1&&的次数&img src=&///equation?tex=%5BK%3A%7B%5Cbf+F%7D_p%5D%3A%3D%5Cmathrm%7Bdim%7D_%7B%7B%5Cbf+F%7D_p%7DK& alt=&[K:{\bf F}_p]:=\mathrm{dim}_{{\bf F}_p}K& eeimg=&1&&是定义良好的。由于&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&是有限域，因此&img src=&///equation?tex=%5BK%3A%7B%5Cbf+F%7D_p%5D& alt=&[K:{\bf F}_p]& eeimg=&1&&是有限的，设&img src=&///equation?tex=%5BK%3A%7B%5Cbf+F%7D_p%5D%3Dn& alt=&[K:{\bf F}_p]=n& eeimg=&1&&，那么向量空间&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&线性同构于向量空间&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf+F%7D_p%5En& alt=&{\bf F}_p^n& eeimg=&1&&。&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf+F%7D_p& alt=&{\bf F}_p& eeimg=&1&&的基数为&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&，因此&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf+F%7D_p%5En& alt=&{\bf F}_p^n& eeimg=&1&&的基数是&img src=&///equation?tex=p%5En& alt=&p^n& eeimg=&1&&，这样&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&的基数也是&img src=&///equation?tex=p%5En& alt=&p^n& eeimg=&1&&。&br&&br&&b&注.&/b& 如果向量空间&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&是有限的集合，那么不用Zorn引理也可以证明&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&一定有一个基，只要考虑&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的线性无关子集中的最大元（依包含偏序），这个最大元一定存在，因为&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的子集只有有限个。
设K是有限域，那么K的特征一定是某个素数p（因为如果特征为0，那么K包含素域\bf Q，这与|K|&\infty相矛盾。），因此K包含素域{\bf F}_p={\bf Z}/p{\bf Z}作为子域，这样K可以看成{\bf F}_p上的向量空间。这个问题要用到定理. 域F上的每个非零的向量空间V都…
数学证明还能怎么通俗易懂……整出来就好了啊&br&引理
对于有限abelian group G，|G|=n，则对n的任意素因子p，G中存在p阶元.&br&利用数学归纳法证明，需要用到子群和商群的概念。证明不是很困难，有需要的话再贴出来。&br&&br&回来看有限域F，假设有两个不同的素数p,q都整除|F|.考虑F的加法群，根据引理，存在a,b非零，但是pa=0，qb=0.而a,b可逆，因此p*e=0，q*e=0，其中e是F的乘法单位元.&br&而由p,q互素，存在整数A,B，满足Ap+Bq=1，则e=1*e=(Ap+Bq)*e=0.矛盾！&br&因此|F|只能有至多一个素因子，也就是F的阶一定是素数幂.
数学证明还能怎么通俗易懂……整出来就好了啊引理 对于有限abelian group G，|G|=n，则对n的任意素因子p，G中存在p阶元.利用数学归纳法证明，需要用到子群和商群的概念。证明不是很困难，有需要的话再贴出来。回来看有限域F，假设有两个不同的素数p,q都整除…
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社交帐号登录所有正整数，不是素数，就是合数，对吗？不对请改正，快束回答
温柔_641惊
所有正整数，不是素数，就是合数，错0
不对。比如1两者都不是
素数是质数，就是除了1和它本身以外没有任何约数的数
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扫描下载二维码随便给出一个整数，其为素数的概率为多少？
假如随便在纸上写一个整数n，很明确我知道了n的数值大小，在不试除任何素数的情况下（例如n如果是偶数了，不能将2能整除n这个显然的事实的作为否定n是素数的依据）n为素数的概率为多少？ 可否采取以下思路，由于素数分布应该算是均匀的，在［n，n+d］内素数的个数为pi（n+d）-pi（n）。在这个区间内素数的密度为（pi（n+d）-pi（n））／d，将d趋于0，得到的极限作为n附近出现素数的概率，也看做n为素数的概率。 得出的答案就是（ln（n）-1）／ln^2（n）。 望指点一二 更新： 很多答主一直在强调怎么随机给一个整数，或许题主并没有说清楚，题主想说明n是给定的，否则计算结果不会出现n。或者书上写的够清楚，希望带有讽刺意味的答主教教我书上是怎么随机的。（注意书上并不是从1到x中取p，否则概率应为1／lnx）
图片摘自《应用密码学》
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你先教教我如何随便给出一个整数------------------------事实上如何"随便给"影响是很大的.按照"平凡"的给法,是找pi(N)/N的极限,那这个毫无疑问是1/ln(N)最后是0但是换个随便给的给法或许就不一样了.比如有一个问题是"随机取一个整数,它首位数字是1的概率是多少"按照"平凡"的随机法这个值根本不收敛,要有点特殊的构造才能算出ln2/ln10这种像模像样的数字
题主的思路有根本性的错误。素数定理：π(n)/n~1/ln(n)所以当n很大时素数是越来越稀疏的。粗略的说，当n趋向于无穷大时从1,2,3...n中取出一个数是素数的概率趋向于0。但你需要说明的是这种从有限集的概率到可数集N上的概率的推广是可行的，或者说well-define的。这好像和测度有些关系（听老师说过一些，但没有学过测度论所以不敢多说）建议查一下下列关键词：有限可加平移不变的概率测度，Folner序列总而言之，从整数集中取出一个数是素数的概率为0。
刚刚我也遇到一个类似的需求：指定了一个整数n（n&&10000），求 n-1000至n+1000 里含的素数的个数y即 y=f(n) 的f。n大了，y趋近、收敛到0没问题，y=1/n 也是如此，但起码知道是1/n，而不是1/(n*n)、也不是1/ln(n)（它们都是趋近、收敛到0）。。。。做了个程序验证了一下，基本与 y=2001/ln(n) 吻合：191311正负1000内的素数个数 y=164. y/2/00000,1/ln(n)=0.291311正负1000内的素数个数 y=160. y/2/00000,1/ln(n)=0.391311正负1000内的素数个数 y=167. y/2/50000,1/ln(n)=0.491311正负1000内的素数个数 y=148. y/2/00000,1/ln(n)=0.591311正负1000内的素数个数 y=137. y/2/50000,1/ln(n)=0.691311正负1000内的素数个数 y=146. y/2/00000,1/ln(n)=0.791311正负1000内的素数个数 y=155. y/2/50000,1/ln(n)=0.891311正负1000内的素数个数 y=150. y/2/00000,1/ln(n)=0.991311正负1000内的素数个数 y=149. y/2/50000,1/ln(n)=0.1001311正负1000内的素数个数 y=150. y/2/00000,1/ln(n)=0.1101311正负1000内的素数个数 y=143. y/2/50000,1/ln(n)=0.1201311正负1000内的素数个数 y=144. y/2/00000,1/ln(n)=0.1301311正负1000内的素数个数 y=146. y/2/00000,1/ln(n)=0.1401311正负1000内的素数个数 y=131. y/2/50000,1/ln(n)=0.1501311正负1000内的素数个数 y=152. y/2/00000,1/ln(n)=0.1601311正负1000内的素数个数 y=146. y/2/00000,1/ln(n)=0.1701311正负1000内的素数个数 y=146. y/2/00000,1/ln(n)=0.1801311正负1000内的素数个数 y=139. y/2/50000,1/ln(n)=0.1901311正负1000内的素数个数 y=133. y/2/50000,1/ln(n)=0.2001311正负1000内的素数个数 y=131. y/2/50000,1/ln(n)=0.3001311正负1000内的素数个数 y=132. y/2/00000,1/ln(n)=0.4001311正负1000内的素数个数 y=141. y/2/50000,1/ln(n)=0.5001311正负1000内的素数个数 y=128. y/2/00000,1/ln(n)=0.6001311正负1000内的素数个数 y=122. y/2/00000,1/ln(n)=0.7001311正负1000内的素数个数 y=118. y/2/00000,1/ln(n)=0.8001311正负1000内的素数个数 y=130. y/2/00000,1/ln(n)=0.9001311正负1000内的素数个数 y=109. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=128. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=124. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=124. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=132. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=111. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=112. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=118. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=120. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=126. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=112. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=135. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=117. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=101. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=117. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=116. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=112. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=121. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=108. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=107. y/2/50000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=108. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=94. y/2/00000,1/ln(n)=0.正负1000内的素数个数 y=103. y/2/50000,1/ln(n)=0.
首先怎么随机给出一个整数？然后素数的分布是越来越稀疏的（[N,N+d]，d给定，N越来越大素数数量收敛到零）
题主不明白为什么多数答主纠结于如何“随机”取一个整数。因为“随机”是一个口语化的词，在数学中的随机抽样是要明确样本总体的大小，每个样本被抽到的概率是多少。对应到题主的问题中就是，你随机取的整数有范围限制吗，是&=N的整数吗，还是任意大的整数都有可能，以及每个整数被取到的概率是一样的吗？按照朴素的对于“随机”的理解，题主应该是想表达均匀分布的意思（我猜的）。那么问题来了，如果你限定这随机取的整数不大于N，均匀分布会导致每个不大于N的整数被抽到的概率是1/N.反之，如果没有一个上界，所有整数的个数是无穷大的，那么整数上的均匀分布是什么东西呢？不存在这种东西，或者说没有人知道。你可以简单的想一下，整数有无穷多，那么任意一个特定整数被取到的概率为0.但是概率公理告诉我们所有可能事件的概率之和为1.这里就会有矛盾了，再多的0加起来不会等于1.所以不存在整数上的均匀分布，那么你怎么"随机"取一个整数就是个问题了。所以这个问题最好是有个确定的上界N，然后才可以考虑解答。在这种情况下，小于N的素数个数为(N), 在N个数中均匀地，随机地去一个数它是素数的概率就为(N)/N~1/ln(N).
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