2012专题：因式定理与因式分解201208用_中华文本库
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专题：因式定理与因式分解
1、余数定理与因式定理
f ( x) = an x n ? an?1 x n?1 ? ?? a1 x ? a0 ，
f (a ) 表示这个多项式在 x ? a 时的值。
如果我们用一次多项式 x ? c 作除式去除多项式 f ( x ) ，那么余式是一个数。设这时商 式为多项式 g ( x) ，余式（余数）为 r ，则有：
f ( x) ? ( x ? c) g ( x) ? r
被除式等于除式乘以商式再加余式
在上式中令 x ? c ，便得到： f (c) ? 0 ? r ? r
因此：我们有：
f ( x) 除以 x ? c ，所得余数为 f (c) 。
这个结论我们称余数定理
如果余数为 0，那么 f ( x ) 就被 x ? c 整除，也就是 x ? c 是 f ( x ) 的因式。反过来，如果
x ? c 是 f ( x) 的因式，那么 f ( x) 就被 x ? c 整除，余数为 0。因此，我们有：
如果 f (c) =0， 那么 x ? c 是 f ( x) 的因式。 反之， 如果 x ? c 是 f ( x) 的因式， 那么 f (c) =0。 这个结论通常称为因式定理及其逆
需要掌握的基本技能：长除法
3 ( x ? 2 x ? 7) ? ( x ? 2) 计算：
x2 ? 2 x ? 6 x ? 2 x3 ? 0 x 2 ? 2 x ? 7
x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 7 x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 7 x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 x3 ? 0 x 2 ? 6 x ? 7 x3 ? 0 x 2 ? 6 x ? 12 x3 ? 0 x 2 ? 3x ? 5
所以， x3 ? 2 x ? 7 ? ( x ? 2)( x2 ? 2 x ? 6) ? 5 注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用 0 补足。
3 2 f ( x ) ? x ? 6 x ? 11x ? 6 分解因式：
因为 f (?1) ? 0 ，根据上面的结论 x ? (?1) ? x ? 1 就是 f ( x) 的一次因式。 知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。 当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的” ， 因为每组都有因式 x ? 1 。 即： f ( x) ? x3 ? 6x 2 ? 11x ? 6 = ( x3 ? x 2 ) ? (5x 2 ? 5x) ? (6x ? 6) = ( x ? 1)(x 2 ? 5x ? 6) = ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)
例 2 分解因式：
f ( x) ? 2x3 ? 5x 2 ? 5x ? 3
3 3 3 因为 f ( ) =0，可知 x ? 是 f ( x) 的一次因式。避免分数运算，把 x ? 乘以 2 2 2
2 得 2 x ? 3 ， 2 x ? 3 仍然是 f ( x) 的一次因式。
现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式 2 x ? 3 ：
f ( x) ? 2x3 ? 5x 2 ? 5x ? 3 = (2x ? 3)(x 2 ? x ? 1)
3 这里有人会问，例 1、例 2 中如何就首先发现 f (?1) ? 0 ， f ( ) =0 了呢？ 2 下面讨论这个问题。
2、有理根的求法
如果 x ? c 是 f ( x ) 的因式，则 f (c) ? 0 ，那么就是说 x ? c 是 f ( x) ? 0 的根；反之， 在 c 是 f ( x) ? 0 的根时， x ? c 就是 f ( x ) 的因式。问题是如何求出 f ( x) ? 0 的根？
我们假定 f ( x) = an x n ? an?1 x n?1 ? ?? a1 x ? a0 是整系数多项式，又设有理数
c? p p 是 f ( x) =0 的根，
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把一个多项式化为几个的积的形式这种变形叫做因式分解也叫作分解因式在求根作图方面有很广泛的应用原则1分解必须要彻底即分解之后因式均不能再做分解2结果最后只留下小3结果的首项为正 在一个内把其抽出例子其中是公因子因此因式分解后得到的答案是公式重组透过公式重组然后再抽出公因子外文名Factorization性&&&&质一个多项式化为几个最简整式的积特&&&&性方法灵活，技巧性强,特别困难作&&&&用提高综合分析和解决问题的能力
因式分解的和主要常规主要公式　把一个多项式化为几个最简的乘积的形式这种变形叫做把这个因式分解也叫作例如m?-n?=m+nm-n)
意义它是中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的能力都有着十分独特的作用学习它既可以复习整式的又为学习打好学好它既可以培养学生的发展性运算能力又可以提高学生综合分析和解决的能力
分解因式与整式乘法为相反
同时也是解中法的重要步骤
在上因式分解有一些在初等数学层面上证明很困难但是理解很容易
1因式分解与解高次方程有密切的关系对于和初中已有相对固定和容易的方法在上可以证明对于和也有固定的公式可以求解只是因为公式过于复杂在非专业领域没有介绍对于分解因式三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法只是比较复杂对于五次以上的一般多项式已经证明不能找到固定的五次以上的一元也没有固定解法
2 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解这看起来或许有点不可思议比如X4+1,这是一个一元四次多项式看起来似乎不能因式分解但是它的次数高于3所以一定可以如果有兴趣你也可以用将其分解只是分解出来的式子并不整洁这是因为由可知n次一元多项式总是有n个根也就是说n次一元多项式总是可以分解为n个一次的并且还有一条定理实系数多项式的虚数根两两共轭的将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘可以得到二次的实系数因式从而这条结论也就成立了
3 因式分解没有方法但是求两个的公因式却有固定方法因式分解很多时候就是用来提公因式的寻找公因式可以用辗转相除法来求得标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨不过能有效地解决找公因式的问题
4[1]因式分解是很困难的但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分真正的因式分解需要研究生的水准在因式分解上有重要的应用大家可以尝试因式分解x^n-1这是一道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现十字相乘法的方法简单来讲就是十字左边相乘等于二次项系数右边相乘等于常数项交叉相乘再相加等于一次项系数其实就是运用(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解
a?x?+ax-42
首先我们看看第一个数是a?代表是两个a相乘得到的则推断出(a ×+×(a ×+
然后我们再看第二项 +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果所以推断出是两项式×两项式
再看最后一项是-42 -42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先21和2无论正负通过任意加减后都不可能是1只可能是-19或者19所以排除后者
然后再确定是-7×6还是7×-6
(a×-7×(a×+6=a?x?-ax-42(计算过程省略
得到结果与原来结果不相符原式+ax 变成了-ax
(a×+7×(a×+(-6=a?x?+ax-42
正确所以a?x?+ax-42就被分解成为(ax+7×(ax-6这就是通俗的分解因式公式法即运用公式分解因式
公式一般有
1平方差公式a?-b?=a+ba-b
2完全平方公式a?±2ab+b?=a±b?轮换对称多项式法法求根公因式分解没有普遍适用的方法初中数学教材中主要介绍了运用而在竞赛上又有拆项和添减项法式法等
注意四原则
是否有是否可用公式
2最后结果只有小括号
3最后结果中首项为正例如-3x2+x=x(-3x+1)不一定首项一定为正如-2x-3xy-4xz=
-x(2+3y+4z)
2运用公式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的.公因式可以是也可以是
如果一个多项式的各项有公因式可以把这个公因式提出来从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种分解因式的方法叫做提取公因式
具体方法当各项都是时公因式的系数应取各项的字母取各项的相同的字母而且各字母的取次数最低的当各项的系数有时公因式系数为各分数的如果多项式的第一项是负的一般要提出-号使括号内的第一项的系数成为提出-号时多项式的各项都要变号
口诀找准公因式一次要提尽全家都搬走留1把家守提负要变号变形看奇偶
注意把 变成 不叫提公因式根据因式分解与整式乘法的关系我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解这种因式分解的方法叫做公式法
如果把反过来就可以把某些多项式分解因式这种方法叫运用
注意能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式另一项是这两个数(或式)的积的2倍
立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3
公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如a2+4ab+4b2 =(a+2b)2
1分解因式技巧掌握
①分解因式是多项式的恒等变形要求等式左边必须是多项式
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
③每个因式必须是整式且每个因式的次数都必须低于原来多项式的
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止
注分解因式前先要找到公因式在确定公因式前应从系数和因式两个方面考虑
1找出公因式
2提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式注意要确定另一个因式可用原多项式除以公因式所得的商即是提公因式后剩下的一个因式也可用公因式分别除去原多项式的每一项求的剩下的另一个因式
③提完公因式后另一因式的项数与原多项式的项数相同通过解方程来进行因式分解如
X2+2X+1=0 ,解得X1=-1X2=-1就得到原式=X+1×X+1分组分解是分解因式的一种简洁的方法下面是这个方法的详细讲解
能分组分解的有四项或大于四项一般的分组分解有两种形式二二分法三一分法
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组bx和by分一组利用两两相配立即解除了困难
同样这道题也可以这样做
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
1 5ax+5bx+3ay+3by
解法=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明系数不一样一样可以做分组分解和上面一样把5ax和5bx看成整体把3ay和3by看成一个整体利用乘法分配律轻松解出
2 x2-x-y2-y
解法=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)然后相合解决
三一分法例a^2-b^2-2bc-c^2
=a^2-(b+c)^2
=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法在解题时是一个很好用的方法也很简单
这种方法有两种情况
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是二次项的系数是1常数项是两个数的积一次项系数是常数项的两个因数的和因此可以直接将某些二次项的系数是1的二次因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例1x2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=abn=cd且有ad+bc=m时那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)
例2分解7x2-19x-6
图示如下a=7 b=1 c=2 d=-3
因为　-3×7=-211×2=2且-21+2=-19
所以原式=(7x+2)(x-3)
口诀分二次项分常数项交叉相乘求和得一次项
例36X2+7X+2
第1项二次项6X2拆分为2×3
第3项常数项2拆分为1×2
对角相乘1×3+2×2得第2项一次项7X
纵向相乘横向相加
十字相乘法判定定理若有式子ax2+bx+c若b2-4ac为完全平方数则此式可以被十字相乘法分解
与十字相乘法对应的还有也可以学一学这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为的两项或几项使原式适合于提公因式法运用公式法或分组分解法进行分解要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形
例如bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)对于某些不能利用公式法的多项式可以将其配成一个然后再利用就能将其因式分解这种方法叫属于拆项补项法的一种特殊情况也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形
例如x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)对于多项式f(x)如果f(a)=0那么f(x)必含有因式x-a
例如f(x)=x2+5x+6f(-2)=0则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式(事实上x2+5x+6=(x+2)(x+3))
注意1对于系数全部是整数的多项式若X=q/pp,q为整数时该多项式值为零则q为常数项约数p最高次项系数约数
2对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数c为常数项则有a为c/b约数有时在分解因式时可以选择多项式中的相同的部分换成另一个然后进行因式分解最后再转换回来这种方法叫做注意换元后勿忘还元
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)令多项式f(x)=0,求出其根为x1x2x3……xn则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0
则通过可知该方程的根为0.5 -3-21
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
令y=f(x)做出y=f(x)的图象找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn 则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
与方法⑼相比能避开解方程的繁琐但是不够准确例如在分解x3+2x2-5x-6时可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像与x轴交点为-3-12
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元然后把各项按这个字母次数从高到低排列再进行因式分解将2或10代入x求出数p将数p分解质因数将质因数适当的组合并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式将2或10还原成x即得因式分解式
例如在分解x3+9x2+23x+15时令x=2则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1而357分别为x+1x+3x+5在x=2时的值
则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)验证后的确如此首先判断出分解因式的形式然后设出相应整式的字母系数求出字母系数从而把多项式因式分解
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时由分析可知这个多项式没有因而只能分解为两个二次因式
于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
解得a=1b=1c=-2d=-4
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
也可以参看右图双十字相乘法属于因式分解的一类类似于十字相乘法
双十字相乘法就是二元二次六项式启始的式子如下
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
xy为未知数其余都是常数
用一道例题来说明如何使用
例分解因式x2+5xy+6y2+8x+18y+12
分析这是一个二次六项式可考虑使用双十字相乘法进行因式分解
解图如下把所有的交叉相连即可
x 　2y 　2
x 　3y　 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)
双十字相乘法其步骤为
①先用十字相乘法分解2次项如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母如y的一次系数分数常数项如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母如x的一次系数进行检验如十字相乘图③这一步不能省否则容易出错
④纵向相乘横向相加根与系数关系二次多项式因式分解
例对于二次多项式 aX2+bX+c(a≠0)
当△=b2-4ac≥0时设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).①如果多项式的各项有公因式那么先提公因式
②如果各项没有公因式那么可尝试运用公式十字相乘法来分解
③如果用上述方法不能分解那么可以尝试用分组拆项补项法来分解
④分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
也可以用一句话来概括先看有无公因式再看能否套公式十字相乘试一试分组分解要相对合适1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
解原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)补项
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)完全平方
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2求证对于任何x,y下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5
解原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时原式=x5不等于33当y不等于0时x+3yx+yx-yx+2yx-2y互不相同而33不能分成四个以上不同因数的积所以原成立
3△ABC的三边abc有如下关系式-c2+a2+2ab-2bc=0求证这个三角形是等腰三角形
分析此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解
证明∵-c2+a2+2ab-2bc=0
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0
∴(a-c)(a+2b+c)=0
∵abc是△ABC的三条边
∴a+2b+c&0
即a=c△ABC为等腰三角形
4把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式
解-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)因式分解中的四个注意可用四句话概括如下首项有负常提负各项有公先提公某项提出莫漏1括号里面分到底现举下例可供参考
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式
解-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的负指负号如果多项式的第一项是负的一般要提出负号使括号内第一项系数是正的防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误
这里的公指公因式如果多项式的各项含有公因式那么先提取这个公因式再进一步分解因式这里的1是指多项式的某个整项是公因式时先提出这个公因式后括号内切勿漏掉1
分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止即分解到底不能半途而废的意思其中提公因式要一次性提干净不留尾巴并使每一个括号内的多项式都不能再分解防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)
考试时应注意
在没有说明化到实数时一般只化到就够了有说明实数的话一般就要化到
由此看来因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话先看有无公因式再看能否套公式十字相乘试一试分组分解要合适等是一脉相承的1 应用于除法
a(b-1)(ab+2b+a)　　说明(ab+b)2-(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b-a-b) = (ab+2b+a)(ab-a) = a(b-1)(ab+2b+a)
2 应用于高次方程的求根
3 应用于分式的与
顺带一提梅森分解已经取得一些微不足道的进展
1p=4r+3如果8r+7也是则(8r+7)|(2P-1)即2p+1|2P-1
23|(211-1);11=4×2+3
47|(223-1);23=4×5+3
167|(283-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2n×32+1,则6p+1|(2P-1)
例如223|(237-1)37=2×2×3×3+1
439|(273-1)73=2×2×2×3×3+1
3463|(2577-1)577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3p=2n×3m×5s-1,则8p+1|2P-1
例如233|(229-1)29=2×3×5-1
1433|(2179-1)179=2×2×3×3×5-1
1913|2239-1239=2×2×2×2×3×5-1(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差
即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
证明如下 a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘法能把某些二次三项式要务必注意各项的符号
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
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