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高中数学必修5同步课（北师大版）
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北师大版高中数学必修3期末练习题
||文档简介
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&&北​师​大​高​中​数​学​必​修期​末​练​习​题​附​答​案
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北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案 28907字 投稿：顾牦牧
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2006年9月湖南文理学院学报(社会科学版)JournalofHunanUniversityofArtsandScience(SocialScienceEdition)Sep.2006Vol.31No.5第31卷第5期“闲人”“、闲居”与“闲味”——…
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案
第一课时§3.1 不等关系（一）
一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
三、教学方法：启发引导式? 四、教学过程 (一)．问题情境
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ (3)下表给出了三种食物X,Y,Z的维生素含量及成本：
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x,y应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ （二）．学生活动
在问题(1)中,设x人(x?20)买20人的团体票不比普通票贵,则有8?20?10x． 在问题(2)中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少0.5?
?万册,杂志社的销售收入为0.22
)万元．根据题意，得(2?x)(10?)?22.4， 22
化简，得5x?10x?4.8?0．
在问题(3)中,因为食物X,Y分别为xkg，ykg，故食物Z为(10?x?y)kg，则有
?300x?500y?300(100?x?y)?35000,?y?25,
700x?100y?300(100?x?y)?40000,2x?y?50.??
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,
?，?，?，?)表示不等关系. 常用(?，
（三）．建构数学
1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．
问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
2．比较两实数大小的方法——作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a?b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． （四）．数学运用 1．例题：
例1．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．
?500x?600y?4000,
根据题意，应有如下的不等关系：?
?x?N,??y?N.
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出x,y满足的条件．
?6x?3y?8?4x?7y?10?
解：x,y满足的条件为?．
例3．比较大小：
（1）(a?3)(a?5)与(a?2)(a?4)；（2）
与（其中b?a?0，m?0）． b?mb
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）(a?3)(a?5)?(a?2)(a?4)?(a2?2a?15)?(a2?2a?8)??7?0
∴(a?3)(a?5)?(a?2)(a?4)．
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)
???， b?mbb(b?m)b(b?m)
a?mam(b?a)
?． ?0，所以
b?mbb(b?m)
∵b?a?0，m?0，∴
说明：不等式
?（b?a?0，m?0）在生活中可以找到原型：b克糖水中有a克糖b?mb
（b?a?0），若再添加m克糖（m?0），则糖水便甜了． 例4．已知x?2,比较x?11x与6x?6的大小．
解：x?11x?(6x?6)?x?3x?3x?11x?6?x(x?3)?(?3x?2)(x?3)
=(x?3)(x?2)(x?1)-----------------（*）
（1） 当x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6； （2） 当x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6；
（3） 当2?x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6
说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
2．练习：（1）比较(x?5)(x?7)与(x?6) 的大小；（2）如果x?0,比较(x?1)2与(x?1)2 的大小．
（五）．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比
（六）．课外作业：课本第68页
第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．
?补充：1．比较a?b?c与ab?bc?ca的大小；2．已知a?0,b?0,且a?b，比较
与a?b的大小．
第二课时§3.1 不等关系（二）
一、教学目标
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）.课题导入：
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a?b?a?c?b?c（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a?b,c?0?ac?bc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若a?b,c?0?ac?bc (二).探析新课 1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴
a＋c＞b＋c 2）?(a?c)?(b?c)?a?b?0，∴a?c?b?c．
实际上，我们还有a?b,b?c?a?c，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）a?b,b?c?a?c （2）a?b?a?c?b?c （3）a?b,c?0?ac?bc （4）a?b,c?0?ac?bc 2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）a?b,c?d?a?c?b?d； （2）a?b?0,c?d?0?ac?bd；
）a?b?0,n?N,n?1?an?bn? 证明：1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．①
∵c＞d，∴b＋c＞b＋d． ②。由①、②得
a＋c＞b＋d． 2）
a?b,c?0?ac?bc?
c?d,b?0?bc?bd?
3）反证法）假设a?
，则：若[范例讲解]：
这都与a?b矛盾，
?。 ab11111?0。于是 a??b?证明：以为a?b?0，所以ab>0,，即?abababba
由c<0 ，得?
例1、已知a?b?0,c?0,求证：
（三）.随堂练习1：（1）、课本P82的练习3
2（2）、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）
（2）（3－2）
（6－1）；（3
； (4)当a＞b＞0时，log1a
答案：(1)＜
（4）＜ [补充例题]：
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a－2a－1５）－（a－2a－８） ＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2：
（1）、比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）（2）x?5x?6与2x?5x?9
（四）.课时小结：本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论
（五）.作业布置：课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题 五、教后反思
§3.2一元二次不等式及其解法
一、教学目标：1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：
x2?5x?0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)
（二）.探析新课
1）一元二次不等式的定义：象x?5x?0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式x?5x?0的解集。怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：x1?0,x2?5 二次函数有两个零点：x1?0,x2?5
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数y?x?5x的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x?5x?0； 当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即x?5x?0；
所以，不等式x?5x?0的解集是?x|0?x?5?，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
ax2?bx?c?0,(a?0)或ax2?bx?c?0,(a?0)
一般地，怎样确定一元二次不等式ax?bx?c>0与ax?bx?c<0的解集呢？ 组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下
两点：(1)抛物线y?ax?bx?c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax?bx?c=0
的根的情况；(2)抛物线y?ax?bx?c的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线 y?ax?bx?c（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次
方程 ax?bx?c=0的判别式??b?4ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0；分Δ>O，Δ=0，Δ0与ax?bx?c<0的解集
一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：
设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不
等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
[范例讲解]
(课本第87页)求不等式4x?4x?1?0的解集.
??0,方程4x2?4x?1?0的解是x1?x2?
?1?2.所以，原不等式的解集是?xx??
(课本第88页)解不等式?x?2x?3?0.
解：整理，得x?2x?3?0.因为??0,方程x2?2x?3?0无实数解，
x?2x?3?0的解集是?.从而，原不等式的解集是?. 所以不等式
（三）.随堂练习：课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
（四）.课时小结：解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=ax?bx?c>0(或0)② 计算判别式?，分析不等式的解的情况：
ⅰ.?>0时，求根x1<x2，?
?若A?0，则x?x1或?x2；?若A?0，则x1?x?x2.
?若A?0，则x?x0的一切实数；
ⅱ.?=0时，求根x1＝x2＝x0，?若A?0，则x??；
?若A?0，则x?x.
ⅲ.?<0时，方程无解，?
?若A?0，则x?R；?若A?0，则x??.
③ 写出解集.
(五).评价设计：课本第89页习题3.2[A]组第1题 五、教后反思
§3.2一元二次不等式的应用
一、教学目标
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
二、教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）.课题导入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格 （二）.探析新课 [范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到移项整理得：x?9x?7110?0
??0，方程x?9x?7110?0有两个实数根，即
x?x?39.5 20180
x1??88.94,x2?79.94。所以不等式的解集为
?x|x??88.94,或x?79.94?
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x
与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y??2x2?220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到?2x?220x?6000 移项整理，得x?110x?3000?0
因为??100?0，所以方程x?110x?3000?0有两个实数根
x1?50,x2?60
由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60
因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在
一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。 （三）．随堂练习1：课本第89页练习2 [补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式ax?bx?1?0的解集为{x|?1?x?1，求a?b? ▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设A?{x|x?4x?3?0},B?{x|x?2x?a?8?0}，且A?B，求a的取值范围.
改：设x?2x?a?8?0对于一切x?(1,3)都成立，求a的范围.
改：若方程x?2x?a?8?0有两个实根x1,x2，且x1?3，x2?1，求a的范围.
随堂练习2：1、已知二次不等式ax?bx?c?0的解集为{x|x?，求关于x的不等3或x?2}
式cx?bx?a?0的解集.
2、若关于m的不等式mx?(2m?1)x?m?1?0的解集为空集，求m的取值范围. 改1：解集非空； 改2：解集为一切实数
（四）.课时小结：进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系。
（五）.作业布置：课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题 五、教后反思：
第五课时§3.2 一元二次不等式的应用
一、教学目标：（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．
二、教学重点，难点
从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．问题情境
复习:一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)与相应的函数y?ax2?bx?c(a?0)、相应的方程ax2?bx?c?0(a?0)之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格） （二）．数学运用 1．例题：
例1.已知关于x的不等式x?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}，求实数m,n之值．
解：?不等式x?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}
?x1??5,x2?1是x2?mx?n?0的两个实数根， ??5?1?m?m??4
． ?由韦达定理知：???
??5?1?n?n??5
例2．已知不等式ax?bx?c?0的解集为{x|2?x?3}求不等式cx?bx?a?0的解集．
2?3???a?b??5a?
解：由题意 ?2?3?，
代入不等式cx?bx?a?0得： 6ax?5ax?a?0(a?0)．
即6x?5x?1?0，?所求不等式的解集为{x|?
11?x??． 32
例3．已知一元二次不等式(m?2)x2?2(m?2)x?4?0的解集为R，求m的取值范围．
解：?y?(m?2)x2?2(m?2)x?4为二次函数，?m?2
?二次函数的值恒大于零，即(m?2)x2?2(m?2)x?4?0的解集为R． m?2?m?2?0??m?2
， 即?，解得：? ??2
??04(m?2)?16(m?2)?02?m?6???
． ?m的取值范围为{m|2?m?6}（m?2适合）
拓展：1．已知二次函数y?(m?2)x2?2(m?2)x?4的值恒大于零，求m的取值范围．
2．已知一元二次不等式(m?2)x2?2(m?2)x?4?0的解集为?,求m的取值范围． 3．若不等式(m?2)x2?2(m?2)x?4?0的解集为?,求m的取值范围． 归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：
?a?0ax?bx?c?0（a?0）恒成立??．
ax2?bx?c?0（a?0）恒成立??．
．若函数y?解：
x的取值范围是一切实数，求k的取值范围． x的取值范围是R，?x2?2kx?k?0恒成立．
???4k2?4k?0
故k的取值范围是{k|0?k?1}．
拓展：若将函数改为y?
，如何求k的取值范围？
例5．若不等式mx?2x?1?m?0对满足?2?m?2的所有m都成立，求实数x的取值范围．
解：已知不等式可化为(x?1)m?(1?2x)?0．
设f(m)?(x?1)m?(1?2x)，这是一个关于m的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使f(m)?0在?2?m?2时恒成立，其等价条件是：
???1?1??f(2)?2(x?1)?(1?2x)?0,?2x?2x?3?0,
解得． ?x???22
22???f(?2)??2(x?1)?(1?2x)?0,?2x?2x?1?0.
??11?所以，实数x
的取值范围是??． 22??
?k对一切实数x恒不成立，求k的取值范围． 关于x的不等式2
（三）．回顾小结：
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题； 2．一元二次不等式恒成立的问题．
（四）．课外作业：课本第73页 第5、6题；
第96页 复习题 第4、11题． 补充练习：
221．设x1,x2是关于x的方程x2?2kx?1?k2?0(k?R)的两个实根，求x1的最小值； ?x2
?0的解集为{x|?2?x?2}，求不等式x2?x?a?0的解集； 2?x
x2?2ax?(1?a2)
?0对一切实数x都成立，求a的取值范围． 3．已知不等式
五、教后反思：
基本不等式（一）
一、教学目标：1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
二、教学重点：
过程；教学难点：
等号成立条件 2
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、课题导入：
的几何背景： 2
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 （二）、探析新课
1．探究图形中的不等关系：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b
4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a?b?2ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a?b?2ab。 2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取
a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,
所以，(a?b)?0，即(a?
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b
，可得a?b?，
(a>0,b>0) 2
用分析法证明：
(2) 要证（2），只要证
（3） 要证（3），只要证
（4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
的几何意义 2
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD
?何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB
即ＣD＝ab.
这个圆的半径为
?ab，其中当且仅当点C与圆心重，显然，它大于或等于CD，即
合，即a＝b时，等号成立.
?评述：1.如果把
几何意义是“半径不小于半弦” 2
看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该2
定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、
b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数.
[补充例题]例1
已知x、y都是正数，求证：(1)
?≥2；(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥xy
分析：在运用定理：
?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好2
每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0
??2?＝2即?≥2.
(2)x＋y≥2xy＞0
x＋y≥2xy＞0
x＋y≥2xy＞0
∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. （三）、随堂练习
x2y2·2x3y3＝８x3y3
1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2ab＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
（四）、课时小结：本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（
?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2
≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b2
都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
，ab≤（）.
（五）、作业布置：课本P94习题
1，2，3 五、教后反思：
基本不等式（二） ——基本不等式与最大（小）值
一、教学目标：1
?数的最值；能够解决一些简单的实际问题
；会应用此不等式求某些函2
，并会用此定理求某2
些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。 三、教学方法：启发引导式? 四、教学过程 1．复习回顾
（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。 （2）、均值不等式成立的条件是什么？ 2．例题讲解：
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x＋
（2）y＝x＋
解：（1）y＝3x＋ 2 ≥2x
∴y∈[6 ，+∞） 1
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2
x·＝2； x
当x＜0时，y≤－2
∴y∈（－∞，－2]∪[2，+∞）
例2：当x＞1时，求函数y＝x＋解：y＝（x－11
的最小值 x－1
＋1（∵x＞1）≥2＋1＝3 x－1
∴函数的最小值是3 问题：x＞8时？ 总结：一正二定三相等。
介绍：函数y＝x的图象及单调区间
例3：求下列函数的值域
x＋3x＋5x＋1
（1）y = （2）y =
2x＋1 x＋3x＋5(x＋1)＋(x＋1)＋33
解：（1）y＝＝(x＋1) ＋ ＋ 1
当x＋1＞0时，y ≥23 ＋1 ； 当x＋1＜0时，y ≤－23 ＋1
即函数的值域为：（－∞，－23 ＋1]∪3 ＋1，+∞）
（2）当x＋1≠0时，令t = x＋1
则问题变为：，t∈（－∞，－3 ＋1]∪[23 ＋1，+∞）
∴y∈[，0）∪（0， ]
－3 ＋1 23 ＋1
又x＋1 = 0时，y = 0
1＋23 23 －1即y∈[－，1111
说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。 例4：求下列函数的最大值
（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜ ）
（2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜ ）
3学生练习，教师准对问题讲评。
例5：已知x＋2y＝1，求＋的最小值。
xy学生练习，教师准对问题讲评。
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
＝0×2×40＝297600
1600当x＝，即x＝40时，l有最小值297600
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
3．课堂小结：一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。 4．课后作业
1）已知x + y = 2，求 2＋2的最小值。 x
2）求函数 4≠0)的最大值。
x＋9x＋4x＋6
3）求函数y =
4）已知函数y = (3x＋2)（1－3x）（1）当－＜x＜时，求函数的最大值；
（2）当0≤x≤时，求函数的最大、最小值。
4五、教后反思：
基本不等式（三）
一、教学目标：通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。 二、教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程
1．复习回顾（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。（2）、均值不等式成立的条件是什么？ 2．例题讲解：
例1：已知a>1，0<b<1，求证：log ab＋log ba≤－2 解题思路分析：
由对数函数可知：log ba＝，log ab＜0，因此由log ab＋的结构特点联想到用基
log ablog ab本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。
∵log ab＜0
∴ －log ab＞0 1
∴－log ab ≥－log ab
(－log ab)·
∴log ab＋ ≤－2
即log ab＋log ba≤－2
当且仅当－log ab＝，log ab＝1，log ab＝－1时，等号成立，此时ab＝1。
－log ab例2：已知x，y为正实数，且x＋解题思路分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab1
面的系数为
＝x下将x，
＝1，求x1＋y
1＋y22 x·
＋分别看成两个因式 22
＋x＋ ＋22223
＝＝2241y3
例3：已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. 解题思路分析：
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
，本题很简单
2 （3x ）2y ） ＝2 3x＋2y ＝25
否则，这样思考：
条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋3x ·2y ≤10＋(3x )·(2y )＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W20 ＝25
例4：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
解题思路分析：
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
30－2b30－2b－2 b ＋30b
法一：a＝ ，ab＝·b＝
b＋1b＋1b＋1
由a＞0得，0＜b＜15
－2t ＋34t－3116
令t＝b＝1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34
当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b
∵ a＋2b≥2 ab
∴ 30－ab≥22 ab
则u＋22 u－30≤0， －2 ≤u≤32
≤32 ，ab≤18，y≥
评注：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类
的函数一般都可转化为x＋型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体会。实
ax2＋bx＋c
际上，一般含二次式的分式函数y＝2（a，b，c，m，n，p不全为零）均可用此方法求
例5：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 解题思路分析：
这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。
若设污水池长为x米，则宽为
（米）水池外圈周壁长：2x＋（米）中间隔墙长：22
（米）池底面积：200（米） 目标函数：y＝400（2x＋2·
）＋248· ·2＋80×200＝800（x ）＋1600
3．课堂小结：注意利用转化思想，不等式使用的广泛性。 4．课后作业
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 2）已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 3）若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
4）某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m的楼房，楼
房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 五、教后反思：
§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
一、教学目标
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。 二、教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域。
教学难点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程
(一).课题导入：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91页的“银行信贷资金分配问题”。教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识。 （二）探析新课
1．建立二元一次不等式模型 把实际问题
转化??????
数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。 （把文字语言
转化??????
符号语言）
（资金总数为25 000 000元）?x?y?
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y?30000
即12x?10y?3000000
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?x?0,y?0
（3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
?12x?10y?3000000 ?x?0,y?0?
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。 平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠常把原点作为此特殊点） 【应用举例】
例1 画出不等式x?4y?4表示的平面区域。
解：先画直线x?4y?4（画成虚线）.
取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在x?4y?4表示的平面区域内，不等式x?4y?4表区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当
C?0时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式4x?3y?12所表示的平面区域。 变式2、画出不等式x?1所表示的平面区域。
?y??3x?12例2 用平面区域表示.不等式组?的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式
所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式y??3x?12表示直线y??3x?12右下方的区域，x?2y
表示直线x?2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部
分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
?0表示的平面区域。 变式1、画出不等式(x?2y?1)(x?y?4）
变式2、由直线x?y?2?0，x?2y?1?0和2x?y?1?0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为
。 （三）.随堂练习：课本第97页的练习1、2、3 （四）.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域．
（五）.作业布置：课本第105页习题3.3[A]组的第1题 五、教后反思
§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
一、教学目标
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 二、教学重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。 教学难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 （一）.课题导入 [复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。 随堂练习1
1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组?x?y?0表示的平面区域。
（二）.探析新课 【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以
有20?x?y?30
考虑到所投资金的限制，得到26x?54y?2?2x?2?3y?1200 即
x?2y?40 另外，开设的班数不能为负，则x?0,y?0 把上面的四个不等式合在一起，得到：
?20?x?y?30?x?2y?40?
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
?4x?y?10?18x?15y?66?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。 [补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) (x?y)(x?y?1)?0； (2) x?y?2x
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x?2x，得x?0，又用?y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。 解：(1)?边界）。
?x?y?0?x?y?0
矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内（含?0?x?y?1或?
?x?y?1?0?x?y?1
(2) 由x?2x，得x?0；当y?0时，有?
点(x,y)在一条形区域内(边界)；当
y?0，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
?2x?y?3?0?
例2、利用区域求不等式组?2x?3y?6?0的整数解
?3x?5y?15?0?
分析：不等式组的实数解集为三条直线l1:2x?y?3?0，l2:2x?3y?6?0，
l3:3x?5y?15?0所围成的三角形区域内部(不含边界)。设l1?l2?A，l1?l3?B，l2?l3?C，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一
元不等式组得出相应的y的整数值。
解：设l1:2x?y?3?0，l2:2x?3y?6?0，l3:3x?5y?15?0，l1?l2?A，l1?l3?B，
l2?l3?C，∴A(
,)，B(0,?3)，C(,?)。于是看出区域内点的横坐标在(0,)内，
?y??1，得y＝－2，∴区取x＝1，2，3，当x＝1时，代入原不等式组有?y?=>?53?
域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，
再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。 （三）.随堂练习2
1．（1）y?x?1；
（2）．x?y； （3）．x?
2．画出不等式组?表示的平面区域
3．课本第97页的练习4
（四）.课时小结：进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。 （五）、作业布置：课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题 五、教后反思：
第十一课时 §3.3.2简单的线性规划
一、教学目标
1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 二、教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 （一）、课题导入
[复习提问]：1、二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
（二）、探析新课：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?x?0???y?0
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？ 把z=2x+3y变形为y??
x?，这是斜率为?，在y轴上的截距为的直线。当z变化
时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，
x?），这说明，截距可以由平面内的一个点
的坐标唯一确定。可以看到，直线y??x?与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），
而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线y??x?与不等式组（1）
（例如（1，2）），就能确定一条直线（y??
确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点
（5）获得结果：
x?金国直线x=4与直线x+2y-8=033
的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4
由上图可以看出，当实现y??
件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 3、 变换条件，加深理解 探究：课本第100页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当
如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？ （三）、随堂练习
1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件?x?y?1,
解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线
l:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的
?5x?3y?15,?
满足约束条件?y?x?1,
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（
,）的直线所对应的t最大. 88
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
917+5×=14 88
（四）、课时小结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解
（五）、作业布置：课本第105页习题[A]组的第2题. 五、教后反思：
第十二课时
§3.3.2简单的线性规划
一、教学目标
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
二、教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；
教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 （一）、课题导入
[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: （二）、探析新课
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： [范例讲解]
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中
最常见的问题之一.
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。 （三）、随堂练习：课本第103页练习2
（四）、课时小结：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
（五）、作业布置：课本第105页习题3.3[A]组的第3题 五、教后反思：
第十三课时
§3.3.2简单的线性规划
一、教学目标
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
二、教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；
教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 （一）、课题导入
[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （二）、探析新课
1．线性规划在实际中的应用：
例：在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数x，y满足
求4x+2y的取值范围． ?
错解：由①、②同向相加可求得：
0≤4x≤8 ③
—1≤y—x≤1
将上式与①同向相加得0≤2y≤4
④ ③十④得
0≤4x十2y≤12 以上解法正确吗?为什么?
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．
(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确． (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解：
4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有条件有：
3?3(x?y)?9
（6） 将（5）（6）两式相加得
2?4x?2y?3(x?y)?(x?y)?10 所以
2?4x?2y?10 （三）、随堂练习1
1、求z?x?y的最大值、最小值，使x、y满足条件?x?0
?y?0??x?4y??3?
2、设z?2x?y，式中变量x、y满足
（四）、课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
（五）、作业布置：课本第105页习题3.3[A]组的第4题 五、教后反思：
第十四课时
第三章《不等式》复习与小结（一）
一、教学目标：1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、教学重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
教学难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （Ⅰ）、本章知识结构
（Ⅱ）、知识梳理 （一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：(1)对称性：a?b?b?a；(2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(5)倒数法则：a?b,ab?0?
?(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) ab
(7)开方法则：a?b?0?a?b(n?N*且n?1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：
设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不
等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、
y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③
线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解
?ab(当且仅当a?b时取
（Ⅲ）、典型例题
2几何意义是“半径不小于半弦”
1、用不等式表示不等关系
（1）、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8?售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
?0.2)x 万元，那么不等关系“销0.1
?0.2)x?20 0.1
（2）、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
?500x?600y?4000;?3x?y;?
2、比较大小
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a－2a－1５）－（a－2a－８） ＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 3、利用不等式的性质求取值范围
例3、已知?1?a?b?5，?1?a?b?3，求3a?2b的取值范围。（[-2，0]） 4、解一元二次不等式
例4、 解不等式：（1）2x?7x?4?0；（2）?x?8x?3?0
例5、已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围 【例4（1
5?7?7；（2
）4?x?45： ?1?k?】 x?
（Ⅳ）、小结：本课主要进行了知识梳理归纳，探析了四种题型的解法，要求大家熟练掌握并能灵活运用。
（Ⅴ）、作业布置：本章复习题三
A组1、2、3、4
B组1、2 五、教后反思：
第十五课时
第三章《不等式》复习与小结（二）
一、教学目标：1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、教学重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
教学难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （Ⅰ）、基础回顾 （一）、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、
y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③
线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解
?ab(当且仅当a?b时取
（Ⅱ）、典型例题
2几何意义是“半径不小于半弦”
1、二元一次方程（组）与平面区域 【例1】（1）、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
（2）、画出不等式组?x?y?0表示的平面区域。
2、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
【例2】某商场计划出售A、B两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到有关数据如下表：（商品单位：件）
问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？ 分析：这是一个典型的线性规划问题 解法一：设供应A商品x件，B商品y件
?30x?20y?3000?
由题意有?5x?10y?1100要求目标函数
z＝6x+8y的最大值。
?3x?2y?300?3x?2y?A??x?2y?220约束条件可化为?
设6x+8y＝?A+μB＝?（3x+2y）+μ（x+2y）
?3????6???1
??2??2??8?∴
∴6x+8y＝A+3B≤960 ?3x?2y?300?x?40??x?2y?220当?
即?y?90时6x+8y的最大值为960
∴每月供应A商品40件，B商品90件时，商场可获最大利润为96000元。
?3x?2y?300解法二：
目标函数z6x+8y经过点Cy＝90，z＝9603、利用基本不等式证明不等式
【例3】设a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b－1。
解题思路分析：
思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。
δ＝a+b－ab－a－b+1＝a－（b+1）a+b－b+1＝
)?(b?1)224≥0
)?b?b?2424
思路二：注意到不等式两边式子a+b与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。
因a+b≥2ab，a+1≥2a， b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b－1
思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。
记f（a）＝a－（b+1）a+b－b+1
因二次项系数为正，△＝（b+1）－4（b－b+1）＝－3（b－1）≤0 ∴ f(a) ≥0
4、利用基本不等式求最值
【例5】某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
解题思路分析：
解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 ＝ 实际用电量×（实际电价－成本价）。其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期
望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x，则新增用电量＝x?0.4”，“电k
?a)(x?0.3)
x?0.4力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益，去
?a)(x?0.3)
x?0.4年收益（0.8－0.3）a，≥（0.8－0.3）a（1+20%）”。
?a)(x?0.3)
x?0.4令 k＝0.2a，解不等式：≥（0.8－0.3）（1－20%）a
即x－1.1x+0.3≥0得：x≥0.6，或x≤0.5又0.55≤x≤0.75∴x＝0.6
x?0.4解：设实际电价为x（元），则用电量增至，去年收益为（0.8－0.3）a，今年收k0.2a
?a)(x?0.3)(?a)(x?0.3)
x?0.4x?0.4益为当k＝0.2a时，由已知得：≥(0.8?0.3)(1?20%)a
化简得： x－1.1x+0.3＞0∴ x≥0.6，或x≤0.5又0.55≤x≤0.75
∴0.6≤x≤0.75 ∴当实际用电价最低定为每千瓦时0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。 （Ⅲ）、作业布置：本章复习题三
A组3、6、7、8
C组2 五、教后反思：
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案第一课时§3.1 不等关系（一）一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3…
【教材分析】1、地位和作用：《细胞的多样性和统一性》选自人民教育出版社出版的生物1必修教材,分子与细胞第一章《走近细胞》第二节的内容。本节课是在学习了使用显微镜观察细胞后的基础之上进一步分析原核细胞和真核细胞及细胞学说的建立过程的。本节课起到了承上启…
２ ０ ＮＯ ． ５ ０８ ３ Ｃ ｎ ｈｔａ Ｅｏ ａｔｏｎ ＪＤ ￣ｔ Ｏ Ｈｅｒ ｄ ｕｃ ｉ Ｄ ＯＶ ｉ Ｄ ａｌ 语 言 学研 究 浅 议 语 言 学 在 当代 英语 教 学 中的 角 色 杨 海 云 （ 吉林师范大 学辽源分院英语 系 …
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