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【最新】数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版）
【最新】中考数学压轴题大全（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p100－x，请说明当p＝12时，这种变换满足上述两个要求（2）若按关系式yax－h2＋ka0将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P12时，yx＋??11002x?,即y1502x?。∴y随着x的增大而增大，即P12时，满足条件（Ⅱ）,,,,3分又当x20时，y0。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P12时，这种变换满足要求,,,,6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足（a）h≤20（b）若x20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如取h20,y??220axk??,,,,,8分∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大,,10分令x20,y60，得k60①令x100,y100，得a802＋k100②开始y与x的关系式结束输入x输出y由①②解得116060ak???????，∴??yx???。,,,,,,14分2、（常州）已知1Am?，与233Bm?，是反比例函数kyx?图象上的两个点．（1）求k的值（2）若点10C?，，则在反比例函数kyx?图象上是否存在点D，使得以ABCD，，，四点为顶点的四边形为梯形若存在，求出点D的坐标若不存在，请说明理由．解（1）由1233mm???gg，得23m??，因此23k?．2分（2）如图1，作BEx?轴，E为垂足，则3CE?，3BE?，23BC?，因此30BCE?o∠．由于点C与点A的横坐标相同，因此CAx?轴，从而120ACB?o∠．当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意．3分当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D，过点AD，分别作x轴，y轴的平行线，交于点F．由于30DAF?o∠，设110DFmm??，则13AFm?，12ADm?，由点123A??，，得点111323Dmm????，．因此mm?????g，BCxy111?1?O解之得1733m?（10m?舍去），因此点363D??????，．此时1433AD?，与BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形．5分如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D．由于ACBC?，因此30CAB?o∠，从而150ACD?o∠．作DHx?轴，H为垂足，则60DCH?o∠，设220CHmm??，则23DHm?，22CDm?由点10C?，，得点2213Dmm??，，因此221323mm???g．解之得22m?（21m??舍去），因此点123D，．此时4CD?，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形．7分如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，同理可得，点23D??，，四边形ABCD是梯形．9分综上所述，函数23yx?图象上存在点D，使得以ABCD，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐图1ABCxyOFDE图2ABCxyODHBy标为363D??????，或123D，或23D??，．10分3、（福建龙岩）如图，抛物线254yaxax???经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC?．（1）求抛物线的对称轴（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式（3）探究若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标不存在，请说明理由．解（1）抛物线的对称轴5522axa????,,,,,,2分（2）30A?，54B，04C，,,,,,,,,5分把点A坐标代入254yaxax???中，解得16a??,,,,,,6分215466yxx?????,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分ACByx011（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQx?轴于Q，易得4BQ?，8AQ?，5.5AN?，52BM?①以AB为腰且顶角为角A的PAB△有1个1PAB△．ABAQBQ??????8分在1RtANP△中，5.52PNAPANABAN???????1519922P????????，9分②以AB为腰且顶角为角B的PAB△有1个2PAB△．在2RtBMP△中，042MPBPBMABBM???????10分P????????，11分③以AB为底，顶角为角P的PAB△有1个，即3PAB△．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC△的顶点C．过点3P作3PK垂直y轴，垂足为K，显然3RtRtPCKBAQ△∽△．312PKBQCKAQ???．Ax011Ｑ2P1P3PＮＭＫy32.5PK?Q5CK??于是1OK?13分32.51P??，14分注第（3）小题中，只写出点P的坐标，无任何说明者不得分．4、（福州）如图12，已知直线12yx?与双曲线0kykx??交于AB，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值（2）若双曲线0kykx??上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积（3）过原点O的另一条直线l交双曲线0kykx??于PQ，两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解1∵点A横坐标为4,∴当x4时，y2.∴点A的坐标为（4，2）.∵点A是直线与双曲线（k0）的交点,∴k428.2解法一如图121，∵点C在双曲线上，当y8时，x1∴点C的坐标为1,8.过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON.S矩形ONDM32，S△ONC4，S△CDA9，S△OAM4.S△AOCS矩形ONDMS△ONCS△CDAS△OAM3249415.解法二如图122，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，图12OxAyBxy21xy8?∵点C在双曲线8yx?上，当y8时，x1.∴点C的坐标为1,8.∵点C、A都在双曲线8yx?上,∴S△COES△AOF4。∴S△COES梯形CEFAS△COAS△AOF.∴S△COAS梯形CEFA.∵S梯形CEFA12（28）315,∴S△COA15.（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,∴OPOQ，OAOB.∴四边形APBQ是平行四边形.∴S△POAS平行四边形APBQ246.设点P的横坐标为m（m0且4m?）,得Pm,.过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POES△AOF4.若0＜m＜4，如图123，∵S△POES梯形PEFAS△POAS△AOF,∴S梯形PEFAS△POA6.2462mm????.解得m2，m8舍去.∴P（2，4）.若m＞4，如图124，∵S△AOFS梯形AFEPS△AOPS△POE,∴S梯形PEFAS△POA6.∴182462mm????，解得m8，m2舍去.∴P（8，1）.∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.5、（甘肃陇南）如图，抛物线212yxmxn???交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是?3，点B的横坐标是1．1求m、n的值2）求直线PC的解析式3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．参考数21.41?，31.73?，52.24?解1由已知条件可知抛物线212yxmxn???经过A3，0、B1，0两点．∴903,210.2mnmn?????????????,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分解得31,2mn???．,,,,,,,,,,,,,,,,,,3分2∵21322yxx???，∴P1，2，C30,2?．,,,,,,,,,,,,,,4分设直线PC的解析式是ykxb??，则2,3.2kbb???????????解得13,22kb???．∴直线PC的解析式是1322yx??．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分说明只要求对1322kb???，，不写最后一步，不扣分．3如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为3，0．,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分在Rt△OCD中，∵OC32，3OD?，∴223335CD???．,,,,,,,,8分∵OA3，3OD?，∴AD6．,,,,,,,,9分∵∠COD∠AED90o，∠CDO公用，∴△COD∽△AED．,,,,,,,,,,10分∴OCCDAEAD?，即335226AE?．∴655AE?．,,,,,,,,,,,,,,11分∵652.6882.55?，∴以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．,,,,,,,,12分6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90o的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留?）．（3分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥请说明理由．（4分）（3）当Oe的半径0RR?为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立请说明理由．（5分）解（1）连接BC，由勾股定理求得2ABAC??1分213602nRS????2分（2）连接AO并延长，与弧BC和Oe交于EF，，22EFAFAE????1分弧BC的长21802nRl????2分222r???Q?圆锥的底面直径为222r?3分2222??Q，?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．4分（3）由勾股定理求得2ABACR??弧BC的长21802nRlR????1分222rR???Q?圆锥的底面直径为222rR?2分2222EFAFAERRR??????2222??Q且0R?ABCO①②③EF2222RR???3分即无论半径R为何值，2EFr?4分?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．7、（河南）如图，对称轴为直线x＝27的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形若存在，求出点E的坐标若不存在，请说明理由．8、（湖北黄岗）已知如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC60°，点B的坐标是0,83，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设08tt??秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长OEFx72B0,4A6,0xyBACDPOQxy（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式（3）当43,33aOD??时，求t的值及此时直线PQ的解析式（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB?相似当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB?不相似请给出你的结论，并加以证明.9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O0，0，A4，0，C0，3，点P是OA边上的动点与点O、A不重合．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．1设Px，0，E0，y，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值2如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式3在2的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形若不存在，说明理由若存在，求出点Q的坐标．解1由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE90°．∴∠OPE＋∠APB90°．又∠APB＋∠ABP90°，∴∠OPE∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分∴POBAOEAP?．即34xyx??．∴yxxxx????0＜x＜4．图1FEPDyxBACO图2OCABxyDPEF且当x2时，y有最大值13．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分2由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P1，0，E0，1，B4，3．,,,,6分设过此三点的抛物线为yax2＋bx＋c，则1,0,1643.cabcabc????????????∴1,23,21.abc?????????????y213122xx??．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分3由2知∠EPB90°，即点Q与点B重合时满足条件．,,,,,,,,,,,,,,,,9分直线PB为yx－1，与y轴交于点0，－1．将PB向上平移2个单位则过点E0，1，∴该直线为yx＋1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10分由21,131,22yxyxx??????????得5,6.xy?????∴Q5，6．故该抛物线上存在两点Q4，3、5，6满足条件．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12分yx（2009年重庆市）26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF2GO是否成立若成立，请给予证明若不成立，请说明理由（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形若存在，请求出点Q的坐标若不存在，请说明理由．26．解（1）由已知，得30C，，22D，，90ADECDBBCD??????Q°，1tan2tan212AEADADEBCD?????????g．?01E，．（1分）设过点EDC、、的抛物线的解析式为20yaxbxca????．将点E的坐标代入，得1c?．将1c?和点DC、的坐标分别代入，得.abab?????????，（2分）解这个方程组，得56136ab??????????故抛物线的解析式为2513166yxx????．（3分）（2）2EFGO?成立．（4分）Q点M在该抛物线上，且它的横坐标为65，?点M的纵坐标为125．（5分）设DM的解析式为10ykxbk???，26题图yxDBCAEOyxDBCAEOＭFKG将点DM、的坐标分别代入，得kbkb?????????，解得1123kb????????，．?DM的解析式为132yx???．（6分）?03F，，2EF?．（7分）过点D作DKOC⊥于点K，则DADK?．90ADKFDG????Q°，FDAGDK????．又90FADGKD????Q°，DAFDKG?△≌△．1KGAF???．1GO??．（8分）2EFGO??．（3）Q点P在AB上，10G，，30C，，则设12P，．?22212PGt???，22232PCt???，2GC?．①若PGPC?，则tt?????，解得2t?．?22P，，此时点Q与点P重合．?22Q，．（9分）②若PGGC?，则22122t????，解得1t?，12P?，，此时GPx⊥轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，?点Q的纵坐标为73．?713Q??????，．（10分）③若PCGC?，则222322t???，解得3t?，32P?，，此时2PCGC??，PCG△是等腰直角三角形．过点Q作QHx⊥轴于点H，yDBAEQPPQQP则QHGH?，设QHh?，1Qhh??，．hhh???????．解得12725hh???，（舍去）．12755Q???????，．（12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q，即22Q，或713Q??????，或12755Q??????，．（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线12330yaxa????经过点2A?，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为ts．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形直角梯形等腰梯形（3）若OCOB?，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为ts，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时PQ的长．26．解（1）Q抛物线21330yaxa????经过点20A?，，309333aa??????1分?二次函数的解析式为yxx????3分（2）DQ为抛物线的顶点133D?，过D作DNOB?于N，则33DN?，xyMCDPQOABANADDAO????????，°4分OMADQ∥①当ADOP?时，四边形DAOP是平行四边形66sOPt????5分②当DPOM?时，四边形DAOP是直角梯形过O作OHAD?于H，2AO?，则1AH?（如果没求出60DAO??°可由RtRtOHADNA△∽△求1AH?）55sOPDHt????6分③当PDOA?时，四边形DAOP是等腰梯形26244sOPADAHt????????综上所述当6t?、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分（3）由（2）及已知，60COBOCOBOCB???°，，△是等边三角形则626203OBOCADOPtBQtOQtt??????????，，，过P作PEOQ?于E，则32PEt?8分BCPQStt????????t????????9分当32t?时，BCPQS的面积最小值为633810分?此时4OQOPOEQEPE???????，，PQPEQE??????????????????11分（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt△ABC中，∠C90°，AC3，AB5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QBBCCP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．xyMCDPQOABNEHBE（1）当t2时，AP，点Q到AC的距离是（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形若能，求t的值．若不能，请说明理由（4）当DE经过点C时，请直接．．写出t的值．26．解（1）1，85（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQCPt，∴3APt??．由△AQF∽△ABC，22534BC???，得45QFt?．∴45QFt?．∴14325Stt???，即22655Stt???．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP90°．由△APQ∽△ABC，得AQAPACAB?，即335tt??．解得98t?．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ90°．由△AQP∽△ABC，得AQAPABAC?，即353tt??．解得158t?．（4）52t?或4514t?．【注①点P由C向A运动，DE经过点C．方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．PCt?，222QCQGCG??tt?????．由22PCQC?，得ttt?????，解得52t?．方法二、由CQCPAQ??，得QACQCA???，进而可得BBCQ???，得CQBQ?，∴52AQBQ??．∴52t?．②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．ACBPQED图4ACBPQD图3EFACBPQED图5ACEBPQD图6GACEBPQD图7Gttt??????，4514t?】（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线yax2bx过A、C两点.1直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式2动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.解.1点A的坐标为（4，8）,,,,,,,,,,,,,,1分将A4,8、C（8，0）两点坐标分别代入yax2bx816a4b得064a8b解得a12,b4∴抛物线的解析式为y12x24x,,,,,,,,,,,,,,3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAEPEAPBCAB,即PEAP48∴PE12AP12t．PB8t．∴点Ｅ的坐标为（412t，8t）.∴点G的纵坐标为12（412t）24412t）18t28.,,,,,,,,,,,,,,5分∴EG18t288t18t2t.∵18＜0，∴当t4时，线段EG最长为2.,,,,,,,,,,,,,,7分②共有三个时刻.,,,,,,,,,,,,,,8分t1163，t24013，t38525?．,,,,,,,,,,,,,,11分2009年山西省26．（本题14分）如图，已知直线12833lyx??与直线2216lyx???相交于点Cll12，、分别交x轴于AB、两点．矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求ABC△的面积（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为012tt≤≤秒，矩形DEFG与ABC△重叠部分的面积为S，求S关t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．26．（1）解由28033x??，得4xA???．点坐标为??40?，．由2160x???，得8xB??．点坐标为??80，．∴??8412AB????．（2分）由2833216yxyx??????????，．解得56xy?????，．∴C点的坐标为??56，．（3分）∴ABCCSABy?????△．（4分）（2）解∵点D在1l上且2888833DBDxxy???????，．∴D点坐标为??88，．（5分）又∵点E在2l上且821684EDEEyyxx????????，．．ADBEOCFxyy1ly2l（G）（第26题）∴E点坐标为??48，．（6分）∴8448OEEF????，．（7分）（3）解法一①当03t?≤时，如图1，矩形DEFG与ABC△重叠部分为五边形CHFGR（0t?时，为四边形CHFG）．过C作CMAB?于M，则RtRtRGBCMB△∽△．∴BGRGBMCM?，即36tRG?，∴2RGt?．RtRtAFHAMCQ△∽△，∴????ABCBRGAFHSSSStttt???????????△△△．即Stt????．（10分）（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当12CECD?时，求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CECD?，则AMBN的值等于若14CECD?，则AMBN的值等于若1CECDn?（n为整数），则AMBN的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设??111ABCEmBCmCDn???，，则AMBN的值等于．（用含mn，的式子表示）ADBEORFxyy1ly2lM（图3）GCADBEOCFxyy1ly2lG（图1）RMADBEOCFxyy1ly2lG（图2）RM方法指导为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设AB2图（1）ABCDEFMN29．问题解决解方法一如图（11），连接BMEMBE，，．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE．∴BMEMBNEN??，．1分∵四边形ABCD是正方形，∴902ADCABBCCDDA??????????°,．∵112CECEDECD????，．设BNx?，则NEx?，2NCx??．在RtCNE△中，222NECNCE??．∴??22221xx???．解得54x?，即54BN?．3分在RtABM△和在RtDEM△中，222AMABBM??，222DMDEEM??，?2222AMABDMDE???．5分设AMy?，则2DMy??，∴??2222221yy????．解得14y?，即14AM?．6分∴15AMBN?．7分方法二同方法一，54BN?．3分如图（1－2），过点N做NGCD∥，交AD于点G，连接BE．图（2）NABCDEFMN图（11）ABCDEFM∵ADBC∥，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NGCDBC??．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴54AGBN??．∵90MNBEEBCBNM??????，°．90NGBCMNGBNMEBCMNG??????????Q，°，．在BCE△与NGM△中90EBCMNGBCNGCNGM?????????????，，°．∴BCENGMECMG?△≌△，．５分∵114AMAGMGAM????5，．46分∴15AMBN?．7分类比归纳25（或410）917??2211nn??10分联系拓广2222211nmnnm???12分评分说明1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】金额w（元）300200N图（12）ABCDEFMGO624批发单价（元）5批发量（kg）①②第23题图（1）O6240日最高销量（kg）80零售价（元）第23题图（2）48（6，80）（7，40）（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式在下图的坐标系中画出该函数图象指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】23．（1）解图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发,,,,3分图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3分（2）解由题意得mmwmm????≤≤（））＞（，函数图象如图所示．金额w（元）O批发量m（kg）060240,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分（3）解法一设当日零售价为x元，由图可得日最高销量32040wm??当m＞60时，x＜6.5由题意，销售利润为yxmx???????,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12分当x＝6时，160y?最大值，此时m＝80即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分解法二设日最高销售量为xkg（x＞60）则由图②日零售价p满足32040xp??，于是32040xp??销售利润040xyxx???????,,,,,,,,,,,,,,,,,,12分当x＝80时，160y?最大值，此时p＝6即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，E是AB的中点，过点E作EFBC∥交CD于点F．46ABBC??，，60B??∠.（1）求点E到BC的距离（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF?交BC于点M，过M作MNAB∥交折线ADC于点N，连结PN，设EPx?.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变若不变，求出PMN△的周长若改变，请说明理由②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值若不存在，请说明理由.ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）25．（1）如图1，过点E作EGBC?于点G．1分∵E为AB的中点，∴122BEAB??．在RtEBG△中，60B??∠，∴30BEG??∠．2分∴BGBEEG?????，．即点E到BC的距离为3．3分（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PMEFEGEF??，，∴PMEG∥．∵EFBC∥，∴EPGM?，3PMEG??．同理4MNAB??．4分如图2，过点P作PHMN?于H，∵MNAB∥，∴6030NMCBPMH?????∠∠，∠．∴1322PHPM??．∴3cos302MHPM???g．则35422NHMNMH?????．在RtPNH△中，PNNHPH?????????????????．∴PMN△的周长374PMPNMN?????．6分②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．当PMPN?时，如图3，作PRMN?于R，则MRNR?．类似①，32MR?．∴23MNMR??．7分∵MNC△是等边三角形，∴3MCMN??．此时，6132xEPGMBCBGMC?????????．8分图1ADEBFCG图2ADEBFCPNMGH当MPMN?时，如图4，这时3MCMNMP???．此时，61353xEPGM???????．当NPNM?时，如图5，30NPMPMN???∠∠．则120PMN??∠，又60MNC??∠，∴180PNMMNC???∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴tan301MCPM???g．此时，6114xEPGM??????．综上所述，当2x?或4或??53?时，PMN△为等腰三角形．10分（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数02????pqpxxy的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ΔABC的面积为45。（1）求该二次函数的关系式（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形若存在，求出点D的坐标若不存在，请说明理由。25.（本小题满分14分）解（1）OC1,所以,q1,又由面积知0.5OCAB45,得AB52，设A（a,0）,Bb,0ABb?a24abab??52，解得p32?,但p0,所以p32?。所以解析式为2312yxx???图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF（P）CMNGGRG（2）令y0，解方程得23102xx???，得121,22xx???,所以A12?,0,B2,0,在直角三角形AOC中可求得AC52,同样可求得BC5,，显然AC2BC2AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB52,所以5544m???.（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y2x1,可设BD的解析式为y2xb，把B2,0代入得BD解析式为y2x4，解方程组231224yxxyx???????????得D（52?,9）②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y0.5x1,可设AD的解析式为y0.5xb，把A12?,0代入得AD解析式为y0.5x0.25，解方程组yxxyx??????????得D53,22综上，所以存在两点（52?,9）或53,22。（2009年广东省中山市）22.（本题满分9分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.DBAMCN（2009年哈尔滨市）28．本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．2009山东省泰安市26（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC90°，AD∥BC，ABBC，E是AB
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