1的平方加2的平方一直加到n的平方公式如何推导
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由1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1.a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1等式两边相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
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1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(n+2)/6,可用n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,累加得到。
公式：1²+2²+3²+....+N²=n（n+1）(2n+1)/6 证明： 给个算术的差量法求我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 ...
给个算术的差量法求 我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式： 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 ......... (n+1)^3 - n^3 = 3.n...
扫描下载二维码证明数偶集{(1,2)(3,4)...(2n-1,2n)...}有最大数元
证明数偶集{(1,2)(3,4)...(2n-1,2n)...}有最大数元
——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303& 邮编510631）
[摘要]发现集有奇、偶型之分让自识自然数5千年来都一直无人能识的最大自然数Ω和其它无穷大自然数Ω-1等（其倒数是无穷小正数）一下子暴露出来推翻百年自然数公理和百年集论。
[关键词]最大和无穷大自然数；奇、偶型数列; 级数论
&“科学”共识：数学尤其是“非常成熟”的初等数学领域绝不可有颠覆性创新。人类自识自然数5千年来一直认定{1，2，…，n，...}没最大元。推翻此中学“常识、定理”的“反科学”的神话般发现来自于太浅显道理：若集A由一对对元组成而集B不是，则A≠B。“科学精神是...，随时准备否定那些似乎是天经地义的断言并接受那些好像是离经叛道的观点...”。
1.三百年级数常识推翻百年集论
数列{an}各an
一增为二地变为（an，bn）就得数偶列{（an，bn）}。注意到其也是由一个个数组成的数列，例{1，2，3，4}与{（1，2），（3，4）}是同一数列,故有：
定义：数偶列的所有数组成的数列称为偶型数列，即以单个数为个体的数列A若同时也可是以数偶为个体的数偶列，就称A为偶型数列，否则称为奇型数列。相应有奇、偶型级数、数集。请特别注意：由一对对项组成的数列同时也是由一个个项组成,但反之就不一定了。
以3个数为个体的数组列L={
(3n-2,3n-1，3n)}(n=1,2,...)同时也是由一个个数组成的数列L,但在未证明数列L是由一数列各数一增为二地变为一对数而形成的数列时，是不能断定数列L是偶型数列的。鲜明对比的是若N是由E={2n}各数2n一增为二地变为一对数(2n-1,2n)而变来的数列{(2n-1,2n)}就能断定数列N是偶型数列。
偶型N={（1，2），（3，4），…，(2n-1,2n)，...}。去掉N中1得奇型B={2），（3，4），（5，6），…}&N中的2没B中数与之配对而成为“单身”，除非拆散某对数而又生一新单身数——显示B是奇型集（不可既是数集同时也是数偶集）——没人能证明B={2），（3，4），（5，6），…}是由某数列各数一增为二地变为一对数而变来的数列的原因。由一对对数组成的数列A={(项1，项2)(项3，项4)…}={（项2n-1，项2n）}中无非有两类项：奇数2n-1号项与偶数2n号项，显然若奇数项与偶数项能一一配对则A必是偶型数列而有h性质：其每一奇数2n-1号项都可有同属A的右邻项：2n号项与之配对,其第n=1，2，…对项有A的两个项。张三脱去外衣后还是张三而不会变成李四，魔术是以假乱真。同理,有h性质的数列（级数）A只是去括号而没任何其它改变后必还是有h性质的原偶型数列（级数）。凡违反此h起码逻辑学常识的理论必是错误理论。
医学不知血有血型之分就会医死人，数学不知数列有奇、偶型之分就会将两异数列误为同一数列——使初等数学对无穷数列的认识一直存在极重大缺陷与错误。如[1]所述,级数论几百年来一直有重大错误认识：级数1-1+1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来：（1-1）+（1-1）+…，就得到一个仅以0构成的级数。但是，…。（朱梧槚等译《无穷的玩艺》125页，南京大学出版社，1985）症结是在没证明1-1+1-1+...是偶型级数时就断定其可加括号为∑（1-1）=0就会造成自相矛盾的一片混乱，因其也有可能不是偶型级数。这是常规科学无力识破的近300年错误，
设各级数都可由字母代表。据h起码逻辑学常识,奇数项是1,偶数项是-1的级数x=（1-1）+（1-1）+…
=0只是去括号而没有任何其它改变后必还是原级数。因级数x=1-1+1-1+…
=0是由其各奇数号项：1一增为二地变为一对项（1-1）而构成的，即x是由某级数1+1+1+…各项：1都变为一对项（1-1）而构成的，故x是偶型级数。显然凡满足H条件：“其各项可两两配对且每对项的数的代数和都是0”的级数必=0，不论其是否发散。常规数学否定满足H条件的偶型x=1-1+1-1+…=0的理由之一：x也可=1+（-1+1）+（-1+1）+...
=1，...；故其不能表示一个数。其实偶型x是不可=奇型级数的。在这里数学“玩”了个超科学才能识破而常规科学无力识破的近300年“掉包计”：将无h性质的伪x与真x混为一谈。真相是x=1+（x-1）中的x-1=-1+1-1+…不是偶型级数，因没人能证明级数x-1是由其各奇数号项：-1都变为一对项（-1+1）而构成的。科学有两类：一为常规科学，另一是远超常规科学的超科学。
偶型数列（-1,1）（-1,1）…的所有数的和h=(项1+项2)+(项3+项4)+…=∑（-1+1）（无穷多个（-1+1）的和)）=0（注：h各项都≠0）是因式中各不同位置上的1与-1一样多而可一一配对，故h去括号后还是原级数。去掉偶型h=（-1+1）+（-1+1）+...的首项-1得奇型
h-（-1）=1（是h的第2项）+∑（-1+1）=1
是因奇型h+1不满足H条件。
若y=∑1与-y=∑-1分别都有“可数无穷多个”（以下简称“可数个”）项，则±y的所有项的和：s=y+（-y）=∑（1-1）=0。（注：s各项都≠0）去掉s=（-1+1）+（-1+1）+…
=0的首项-1得奇型
s-(-1)=（1）+（-1+1）+（-1+1）+...=1
中两等号之间的和式中的（1）成“单身”；这和式保留s的全部1但只留有s的部分(-1)；集论断定这部分(-1)还是有可数个而可与s的全部1一一配对，从而使奇型s+1也满足H条件而=0,即断定“s+1=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0的两等号之间中各不同位置上的1与-1可重新一一配对(例各-1都改与其左邻的1配对)而有s+1=(1-1)+(1-1)+…=0”。若此论断成立,那么s就非一确定数0，s+1也非一确定数1。所以极限论之前2百年的级数常识：s=0与s+1=1——断定s+1不满足H条件——间接断定s+1中的1与-1是不可重新一一配对的——级数常识推翻集论。
2.证明N有最大元Ω。
证：去掉偶型N={（1，2），（3，4），…，(2n-1,2n)，...}中1得奇型B={2），（3，4），（5，6），…}&N。N各数元x的后继y=x+1的全体组成B&={（2，3），（4，5），…，(2n,2n+1)，...}是偶型集而与奇型B似是而非。奇型B各数元x=q+1(q=1,2，...)=2，3，...都是其左邻q∈N的后继q+1=x∈B&表明B&包含B。包含B的B&≠B说明B&中必至少有一B外正整数y0=x0+1&x0∈N，显然x0是N的最大元Ω——其后继Ω+1是B外即N外数。证毕。若N由一切非0自然数组成则Ω+1等是超自然数。
5千年数学一直不知B&={2,3，...，n+1，...}（n的变域是N）中“深藏”有N外数。所以课本
“定义域均为N的无穷多函数y（n）=n+k（k=1，2，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是一系列搞错y的变域的重大错误而将无穷多根本不是N的一部分的集误为其一部分。
标准分析之前2千多年的数学一直使用未经严格证明的无穷大(小)数推理，轻而易举地攻克了不用无穷数就无法解决的一系列世界难题，只不过对这类举足轻重的数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了。
&&&参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项
[J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，中学极重大根本错误：无穷数列必无末项——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2011（1）。
[3]黄小宁，真正科学常识否定5千年“常识”：没最大自然数——证实庞加莱百年前伟大科学预见推翻百年集论[J]，科技信息，2011（27）。
[4]黄小宁，数学好玩:“玩”了个常规科学无力识破的“掉包计”
——中学重大错误：0，1，2，...，n，...必是自然数列[J]，中国科技信息，2010（12）。
[5]黄小宁,
著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J]，科技视界，2014（10）。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=1 2 ，1+3=4=2 2 ，1+3+5=9=3 2 ，1+3+5+7=16=4 2 ，1+3+5+7+9=25=5 2 … （1）请你推算，从1开始，n个连续奇数相加，它们的和S的公式是什么？ （2）计算1+3+5+…+19的和； （3）计算11+13+15+…+25的和； （4）已知：1+3+5+7+…+（2n-1）=225，求n的值．_规律型：数字的变化类 - 看题库
从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52…（1）请你推算，从1开始，n个连续奇数相加，它们的和S的公式是什么？（2）计算1+3+5+…+19的和；（3）计算11+13+15+…+25的和；（4）已知：1+3+5+7+…+（2n-1）=225，求n的值．
解：（1）S=n2；（2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，=102，=100；（3）11+13+15+17+19+21+23+25，=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25）-（1+3+5+7+9），=132-52，=169-25，=144；（4）∵1+3+5+…+（2n-1）=225，∴2n-1=29，∴n=15．
（1）通过观察，n个连续奇数的和等于n的平方；（2）代入公式计算即可；（3）代入公式计算即可；（4）因为225=152，则2n-1=29，从而求得n．
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【数学归纳法】用数学归纳法证明：1+2+3+……+2n=n(2n+1)
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11.给你批要你证明的那个式子要写在最后。。。这个式子一旦出来就做完了。。。
而且这个式子还写错了，少写了一项，你看题目都是连着的，2k和2(k+1)中间还有2k+1
这个式子比n=k的式子左边多两项2k+1和2(k+1)，那就给n=k的式子左右两边同时加上2k+1和2(k+1)
这样左边就得到想要的样子了，右边是k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)
然后把这个式子化成(k+1)(2k+3)就做好了。
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5.7^(2n+1)=49×7^(2n-1)=49(8m-1)代到要求的式子化简即可。
6.f(2^(k+1))=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+1/(2^k+1)+...+1/[2^(k+1)]
f(2^k)=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)
做差得到1/(2^k+1)+...+1/[2^(k+1)]
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14.这是看不出规律还是不会证还是懒...
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10.选C，这个要记住1方+2方+...+n方的公式才行。
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9.取n=2,3,4的时候算算。哪个一直对得上就选哪个...
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14.这是看不出规律还是不会证还是懒...
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- -好吧。。
杨辉三角形的规律就是每个数字都是它上一行的肩膀上两个数字之和。
所以第一行是1,1,
第二行第一个左边肩膀上没有右边是1，所以就是1，第二个数字肩膀上两个1就是2
以此类推。
关于每行求和，第一行是1+1
第二行，就是把第一行里的两个1每个都加了两次所以是2×(1+1)
第三行，就是把第二行里的每个数字都加了两次，所以是2×[2×(1+1)]依此类推。。
Powered by数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+…+n=。
（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数。（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
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在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+…+n=。
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（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数。（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明） 科目:难易度:最佳答案解：（1）因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n -1）+1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个。∴1+3+5+7+…+（2n-1）==n2（2）因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个， 即n2个 ∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n2解析
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