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已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：1-x≤f(x)≤11+x；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：辽宁
（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x（1+x）e-x≥（1-x）ex，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，则h′（x）=x（ex-e-x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．②当x∈[0，1）时，f(x)≤11+xex≥1+x，令u（x）=ex-1-x，则u′（x）=ex-1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）≤11+x．综上可知：1-x≤f(x)≤11+x．（II）设G（x）=f（x）-g（x）=(1+x)e-2x-(ax+12x3+1+2xcosx)≥1-x-ax-1-12x3-2xcosx=-x(a+1+x22+2cosx)．令H（x）=x22+2cosx，则H′（x）=x-2sinx，令K（x）=x-2sinx，则K′（x）=1-2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）-g（x）≤11+x-(1+ax+12x3+2xcosx)=-x1+x-ax-x32-2xcosx=-x(11+x+a+x22+2cosx)．令v（x）=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+H(x)，则v′（x）=-1(1+x)2+H′(x)．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞-3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，..”考查相似的试题有：
836021877838283457522939831817566441已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)/x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+1/2n）an+1/n2（n∈N+），求证：an＜e11/4（e为自然对数的底数）．-乐乐题库
& 函数在某点取得极值的条件知识点 & “已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”习题详情
152位同学学习过此题，做题成功率68.4%
已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I&）求g（x）=f(x+1)x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II&）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+12n）an+1n2（n∈N+），求证：an＜e114（e为自然对数的底数）．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-绵阳二模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+12n）an+1n2说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+12n）an+1n2放大得到lnan+1≤lnan+ln(1+12n+1n2)，结合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到lnan+1＜lnan+12n+1n2，分别取n=1，2，3，…，n-1，得到n个式子后累加即可证得结论．
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．则有g(x)=f(x+1)x+1-x=(x+1)ln(x+1)x+1-x=ln（x+1）-x，此函数的定义域为（-1，+∞）．g′(x)=1x+1-1=-xx+1．故当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），故g（x）的极大值是g（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，所以lnx0+1=f(x2)-f(x1)x2-x1，于是lnx0-lnx2=f(x2)-f(x1)x2-x1-lnx2-1=x2lnx2-x1lnx1x2-x1-lnx2-1=x1lnx2-x1lnx1x2-x1-1=lnx2x1x2x1-1-1，令x2x1=t（t＞1），则h(t)=lntt-1=ln-t+1t-1，因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)=1t-1＜0，∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，于是h（t）＜0，即lnx0＜lnx2，故x0＜x2．同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．（Ⅲ）证明：因为a1=1，an+1=(1+12n)an+1n2＞an，所以{an}单调递增，an≥1．于是an+1=(1+12n)an+1n2≤(1+12n)an+1n2an=(1+12n+1n2)an，所以lnan+1≤lnan+ln(1+12n+1n2)（*）．由（Ⅰ）知当x＞0时，ln（1+x）＜x．所以（*）式变为lnan+1＜lnan+12n+1n2．即lnak-lnak-1＜12k-1+1(k-1)2（k∈N，k≥2），令k=2，3，…，n，这n-1个式子相加得lnan-lna1＜(121+122+…+12n-1)+[112+122+…+1(n-1)2]＜12(1-12n-1)1-12+[1+14+12×3+13×4+…+1(n-2)(n-1)]=(1-12n-1)+[1+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n-2-1n-1)]=(1-12n-1)+(1+14+12-1n-1)=114-12n-1-1n-1＜114．即lnan＜lna1+114=114，所以an＜e114．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”主要考察你对“函数在某点取得极值的条件”
等考点的理解。
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函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件．
与“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”相似的题目：
已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，给出以下结论：①函数f（x）在（-2，-1）和（1，2）是单调递增函数；②函数f（x）在（-2，0）上是单调递增函数，在（0，2）上是单调递减函数；③函数f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；④函数f（x）在x=0处取得极大值f（0）．则正确命题的序号是&&&&．（填上所有正确命题的序号）
已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
在R上定义运算?：p?q=-13(p-c)(q-b)+4bc（b、c为实常数）．记f1(x)=x2-2x，f2（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f1（x）?f2（x）．（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（Ⅱ）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M．若M≥k对任意的b、c&恒成立，试示k的最大值．
“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）（　　）
2设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）
3若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（　　）
该知识点易错题
1已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（I）求m与n的关系表达式；（II）求f（x）的单调区间．
2已知函数f（x）=（1-ax）ex，若同时满足条件：①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（　　）
3函数f（x）=13x3-x2+ax-1有极值点，则a的取值范围是（　　）
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剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法
摘　要：在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x+3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x+3≥0,化简得:x≥3,故求得的解集为{x|x≥3}.简析:显然x=1是原不等式的解,却不在上面的解集中,出现这样的情况是没有好好地理解等号,忽略了不等式“≥”具有两重意思:等与不等.误解二:当x-2>0即x>2时由已知得:x2-4x+3≥0,解得x≥3,当x-2=0即x=2时由已知得:原不等式中根号无意义,即原不等式的解集为空集.故由以上可求得原不等式的解集为{x|x≥3}.简析:上面解题中的思想方法是正确的,出现错误的原因是分类讨论不彻底而遗漏了第三种情况:x-20(2)由(1)得x2-4x+3=0或x-2=0且...
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y=(m-1）x2 (m-2）x-1|ax b|0)
∠ACB=90°AB因为x2 = (-5)2 = 25因为10^-6.5*10^4.5-10^-6.5 = -3.4 * 10 -7AD BE CF=(AB BC CA) (BC/2 CA/2 AB/2)
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