圆周率的详细圆面积的推导过程程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-30 17:11 标签： 圆面积的推导过程
级数中圆周率如何推导出来的?
静静的守护你°
1/(1+X*2)=1—X*2+X*4-……+（-1)*(n—1)xX*(2n—2)+……积分导出：arctanX=X—X*3/3+X*5/5-……+（-1）*(n—1)x[X*(2n—1)]/[2n—1]+……取X=1;π/4=1—1/3+1/5—……+（-1）*（n—1）[1/(2n—1)]+……即可得出.其中*表示乘方,x表示乘号,X表示字母X.
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发表于 16:13:00
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 圆周率的推导过程&：&&&&利用圆的周长与圆内接正n边形的总边长关系&，&根据求拱高，解二次方程，解直角三角形，开平方的运算，一步一步地计算，就能算出一定的结果。再根据初步的计算判断应保留几位小数，确定保留的小数了，就可以再从头算，一直算到一个峰值就结束运算了。只有保留十五位，甚至十八位小数，才能算出3.1415926。我是保留二十位小数计算的，计算的峰是3.，确定数是3.。根据算出的数，确定数是有规律的，重复出现的数就能确定下来。& 计算过程如下：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&###GALLERY###
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夏传文（高密）
发表于 12:52:00
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圆周率的历史
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圆周率的计算方法
圆周率的计算方法，是一个饶有趣味，值得探讨的问题。最直观的计算方法自然是从几何上着手，历史上也正是如此，这便是割圆法。设一半径为1的圆，作这个圆的内接正n边形，用此正n边形的周长去近似圆的周长。显然当n时，正n边形的周长就无限趋近于圆周长，求得正n边形周长后除以直径便求出了圆周率。
从几何上观察，可知：正n边形周长随n递增而递增，但始终是个有限值。割法如图1：
图1&割圆法
设圆半径为1，令半弦长AB=2a，AC=2c，和OD分别是等腰OAB和OAC的中线。则我们要做的只是求出c关于a的表达式c=c.令GC=b，根据勾股定理有:
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&()
得到此式后，编写计算机程序就很容易了，C语言程序如下：
#include&&stdio.h&
#include&&math.h&
double&a,b,c,d,
double&sqrt(double);
int&i,j,n;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i&=n;i++)
b=sqrt(1-a*a);
c=(1-b)*0.5;
d=sqrt(c);
j=pow(2,n)*3;
printf("%d\n",j);
printf("%f\n",pi);
这里有一个问题就是的初值如何选择？显然越简单直观越好，而已知对于圆内接正六边形的每一条边长等于圆的半径。所以取=0.5，程序中参数是对正六边形分割的次数，的作用是当输入n=0（正六边形）的时候，得到=3，此所谓的“径圆一三”。将这个文件保存为文本，在linux下用“gcc&-lm”命令编译后，打开编译后得到的文件就能执行。
在古代可没有电子计算机，而祖冲之利用割圆法算得圆周率，可见古人之伟大！
上面的方法简单直观，但是缺点也很明显。计算机在底层只能做“加减乘除四则整数运算”，显然开根号运算还是要通过转化为整数运算（级数展开等）才最后到硬件级计算。那么我们能否直接用整数的四则运算得到的值？有！而且方法是多样的，其中一种叫作“Wallis公式”，有几种表达方式。如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5)
下面证明这个公式：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(6)
利用分部积分法
&&&&&&&&&&&&&
于是有关系式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(7)
从上式可知I0=1，I1=/4.根据这两个初值条件有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(8)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(9)
其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(10)
将(10)式代入(9)式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(11)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由式(11)可知Wm&0且有上限，而
&&&&&&&&&&&&&&
说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼准则得其值
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Wallis公式得证。
实际上Wallis公式的发现在微积分建立之前，其探寻过程限于篇幅不在这里给出，这也反映出同一个问题可以有不同的论证方法，也令我们不得不佩服古人的智慧。
虽然Wallis公式比割圆法要易于计算得多，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率，最好是有乘除项之和，如：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
反观(6)式，实际上令x=cos，则有dx=-sind.式(6)变为
&&&&&&&&&&&&
如果令x=sin，则只变换形式不影响结果。那我们设想利用其它的三角函数能否得到同样的结果？令
注意这里的积分上限改成了/4，因为/2&&/4的时候tan，将导致积分发散。
对(12)式做一个小变换
&&&&&&&&&&&
于是有关系式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(13)
而初值T0=/4，观察规律有
总结规律得
&&&&&&&&&&&(14)
其中m=1,2,3,...而从式(12)中可知
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
结合(14)式，得到
&&&&&&&&&&&&&&(15)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(16)
显然这种方法形式上比前两种方法要简单得多，计算机执行的时候也能更高效。
而在我前面的文章中讲过幂级数的应用，arctan展开为幂级数（泰勒级数）后表达式为
&&&&&&&&&(17)
该级数的收敛域为[]，将x=1代入，则得到式(15)，这又是一个殊途同归的例子！
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