机械制图基础(2)-点、直线和平面的投影_机械行业_中国百科网
机械制图基础(2)-点、直线和平面的投影
    投影法知识一、投影法的概念 投影法是画法几何学的基本方法。如图2.1所示，为投影中心，为空间一点，为投影面，连线为投射线。投射线均由投影中心射出，射过空间点的投射线与投影面相交于一点，点称作空间点在投影面上的投影。同样，点是空间点在投影面上的投影。在投影面和投射中心确定的条件下，空间点在投影面上的投影是唯一确定的。图2.1投影法图2.2中心投影法 画法几何就是靠这种假设的投影法，确定空间的几何原形在平面上（图纸上）的图像。图2.2是三角板投影的例子。二、投影法的种类 上述的投影法，投射线均通过投影中心，称为中心投影法，如图2.2所示。如果投射线互相平行，此时，空间几何原形在投影面上也同样得到一个投影，这种投影法称为平行投影法。当平行的投射线对投影面倾斜时，称为斜投影法，如图2.3所示。当平行的投射线与投影面垂直时，称为正投影法，如图2.4所示。图2.3平行投影法&&斜投影法图2.4平行投影法&&正投影法平行投影的特点之一是，空间的平面图形（如图2.3和图2.4中的三角板）若和投影面平行，则它的投影反映出真实的形状和大小。三、正投影法的基本性质1、类似性：当线段或平面与投影面倾斜时，其线段投影小于实长；平面的投影为小于实形的类似形。2、不变性：当线段或平面与投影面平行时，其反映实长或实形投影。3、积聚性：当线段或平面与投影面平行时，投影积聚。4、从属性和定比性：机械工程上常用几种投影图一、正投影图 正投影图是一种多面投影图，它采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别采用正投影法获得几何原形的投影。由这些投影便能确定该几何原形的空间位置和形状。图2.5是某一几何体的正投影。图2.5几何体的正投影图2.6几何体的轴测投影图采用正投影图时，常将几何体的主要平面放成与相应的投影面相互平行。这样画出的投影图能反映出这些平面的实形。因此说正投影图有很好的度量性，而且正投影图作图也较简便。在机械制造行业和其他工程部门中，被广泛采用。二、轴测投影图 轴测投影图是单面投影图。先设定空间几何原形所在的直角坐标系，采用平行投影法，将三根坐标轴连同空间几何原形一起投射到投影面上。图2.6是某一几何体的轴测投影图。由于采用平行投影法，所以空间平行的直线，投影后仍平行。采用轴测投影图时，将坐标轴对投影面放成一定的角度，使得投影图上同时反映出几何体长、宽、高三个方向上的形状，增强了立体感。三、标高投影图 标高投影图是采用正投影法获得空间几何元素的投影之后，再用数字标出空间几何元素对投影面的距离，以在投影图上确定空间几何元素的几何关系。图2.7是曲面的标高投影。图中一系列标有数字的曲线称为等高线。图2.7曲面的标高投影图2.8几何体的透视投影图标高投影图常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等。四、透视投影图 透视投影图用的是中心投影法。它与照相成影的原理相似，图像接近于视觉映像。所以透视投影图富有逼真感、直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。 图2.8是某一几何体的一种透视投影图。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，有的在投影后就不平行了。透视投影图广泛用于工艺美术及宣传广告图样。　点的投影 物体是由点、线和面组成，其中点是最基本的几何元素，下面从点开始来说明正投影法的建立及其基本原理。一、点在两投影面体系中投影（1）点的两个投影能唯一地确定该点的空间位置 首先建立两个互相垂直的投影面H及V，其间有一空间点A，它向投影平面H投影后得投影a，向投影平面V投影后得投影a&，投射线Aa及Aa&是一对相交线，故处于同一平面内，如图2.9所示。图2.9点的两面投影图2.10两个投影能唯一确定空间点 从图2.9可知，若移去空间点A，由点的两个投影a、a&就能确定该点的空间位置。另外，由于两个投影平面是相互垂直的，可在其上建立笛卡尔坐标体系，如图2.10所示。已知a，即已知x、y两个坐标。已知a&，即已知x、z两个坐标。因此，已知空间点A的两个投影a及a&，即确定了空间点A的x、y及z三个坐标，也就唯一地确定该点的空间位置。（2）术语及规定1.术语 如图2.11（a）所示： 水平位置的投影面称水平投影面，用H表示。 与水平投影面垂直的投影面称正立投影面，用V表示。 两投影面的交线称投影轴，用OX表示。 空间点用大写字母（如A、B、&）表示。 在水平投影面上的投影称水平投影，用相应小写字母（如a、b、&）表示。 在正立投影面上的投影称正面投影，用相应小写字母加一撇（如a&、b&、&）表示。2.规定 图2.11（a）所示为一直观图。 为使两个投影a和a&画在同一平面（图纸）上，规定将H面绕OX轴按图示箭头方向旋转90&，使它与V面重合，这样就得到如图2.11（b）所示点A的两面投影图。投影面可以认为是任意大的，通常在投影图上不画它们的范围，如图2.11（c）所示。投影图上细实线aa&称为投影连线。由于图纸的图框可以不用画出，所以今后常常利用图2.11（c）所示的两面投影图来表示空间的几何原形。(a)两投影面体系（b）两面投影图（c）不画投影面的范围图2.11两面投影图的画法（3）两面投影图的性质1.一点的两个投影连线垂直于投影轴（aa&&OXa&到点O因为投射线Aaa&构成了一个平面Aaaxa&，如图2.11（a）所示。它垂直于H面，也垂直于V面，则必垂直于H面和V面的交线OX。所以处于平面Aaaxa&上的直线aaxa&ax必垂直于OXa&ax&OXax、a&三点共线，且a&ax&OX。。当a跟着H面旋转而和V面重合时，则aax&OX的关系不变。因此投影图上的a、，即aax&OX和和和A2.一点的水平投影到OXa&），都反映ya&=y）；其正面投影到OXa&ax)等于该点到Ha&ax=Aa=z）。面的距离(Aa)，都反映z坐标（轴的距离(坐标（aax=A轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（A二、点在三投影面体系中的投影图2.12需用三面投影图表示的几何体 点的两个投影已能确定该点的空间位置。但为更清楚地表达某些几何体，有时需采用三面投影图。例如图2.12所示的几何体投影，相同的正面和水平投影，只有确定了其第三面投影，才能清楚地表示出该几何体的形状。 由于三投影面体系是在两投影面体系基础上发展而成，因此两投影面体系中的术语及规定、投影图的性质，在三投影体系中仍适用。此外，它还有一些本身的术语及规定、投影图的性质。（1）术语及规定 与正立投影面及水平投影面同时垂直的投影面称侧立投影面，用W表示，如图2.13所示。 在侧立投影面上的投影称侧面投影，用小写字母加两撇（如a&P、b&P、&）表示。 规定W面绕OZ轴按图示箭头方向转90&和V面重合，得到三个投影的投影图。投影图中OY轴一分为二，随H面转动的以OYH表示，随W面转动的以OYw表示。（2）三面投影图的性质1.一点的侧面投影与正面投影连线垂直于OZ轴（a&a&P&OZ）。因侧立投影面与正立投影面也构成一个两投影面体系，故由上面内容可知，此性质成立。2.点的水平投影a到OX轴的距离（aax）和侧面投影a&P到OZ轴的距离（a&Paz）均等于A到V面的距离（Aa&）都反映y坐标(aax=a&Paz=Aa&=y)。为作图方便，也可自点O作45&辅助线，以实现这个关系，如图2.13（b）所示。以上的性质是画点的投影图必须遵守的重要依据。(a)(b)图2.13三面投影图性质和画法三、特殊位置点的投影 特殊情况下，点有可能处于投影面上、投影轴上。（1）在投影面上的点（a）（b）图2.14投影面及投影轴上的点 如图2.14(a)所示，点A、B、C分别处于V面、H面、W面上,它们的投影如图2.14(b)所示，由此得出处于投影面上的点的投影性质：1.点的一个投影与空间点本身重合2.点的另外两个投影，分别处于不同的投影轴上（2）在投影轴上的点 如图2.14所示，当点D在OY轴上时，点D和它的水平投影、侧面投影重合于OY轴上，点D的正面投影位于原点。 据此可以得出在投影轴上的点的投影性质。四、两点的相对位置及重影点（1）两点相对位置的确定 立体上两点间相对位置，是指在三面投影体系中，一个点处于另一个点的上、下、左、右、前、后的问题。两点相对位置可用坐标的大小来判断，Z坐标大者在上，反之在下；Y坐标大者在前，反之在后；X坐标大者在左，反之在右。图2.15中，A、C两点的相对位置 ：ZAZC,因此点A在点C之上；YAYC，点A在点C之前；XAXC，点A在点C之右，结果是点在点C的右前上方。图2.15两点的相对位置及重影点（2）重影点 当空间两点的某两个坐标相同，即位于同一条投射线上时，它们在该投射线垂直的投影面上的投影重合于一点，此空间两点称为对该投影面的重影点。如图2.15中，A、B两点位于垂直于V面的同一条投射线上（XA=XB，ZA=ZB），正面投影a&和b&重合于一点。由水平投影（或侧面投影）可知YAYB，即点A在点B的前方。因此点B的正面投影b&被点A的正面投影a&遮挡，是不可见的，规定在b&上加圆括号以示区别。 总之，某投影面上出现重影点，判别哪个点可见，应根据它们相应的第三个坐标的大小来确定，坐标大的点是重影点中的可见点。【例2.1】已知点B的正面投影b&及侧面投影b&P，试求其水平投影b。 分析：根据点的三面投影的性质，可以利用点B的正面投影和侧面投影求出点B的水平投影b。 作图：由于b与b&的连线垂直于OX轴，所以b一定在过b&而垂直于OX轴的直线上。又由于b至OX轴的距离必等于b&P至OZ轴的距离，使bbx等于b&Pbz，便定出了b的位置，如图2.16（b）所示。(a)(b)图2.16求第三投影【例2.2】已知A（28，0，20）、B（24，12，12）、C（24，24，12）、D（0，0，28）四点，试在三投影面体系中作出直观图，并画出投影图。 分析：由于把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。 作图：作直观图，如图2.17（a）所示，以B点为例，在OX轴上量取24，OY轴上量取12，OZ轴上量取12，在三个轴上分别得到相应的截取点bx、by和bz，过各截点作对应轴的平行线，则在V面上得到正面投影b&，在H面上得到水平投影b，在W面上得到了侧面投影b&P。 同样的方法，可作出点A、C、D的直观图。其中A点在V面上（因为YA=0），其正面投影a&与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a&P在OZ轴上。D点在OZ轴上（XD=YD=0），其正面投影d&、侧面投影d&P与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。 点B和点C有两个坐标相同（XB=XC，ZB=ZC），所以它们是对V面的重影点。它们的第三个坐标YBYC，正面投影c&可见，b&不可见加上圆括号。根据各点的坐标作出投影图，如图2.17（b）。(a)(b)图2.17由点的坐标作直观图和投影图　直线的投影一、直线的投影 一般情况下，直线的投影仍是直线。两点确定唯一一条直线，只要作出属于直线上任意两点的投影，连线即可。二、各种位置直线及其投影特性 有三种情况：投影面的平行线;投影面的垂直线;一般位置直线。前两种直线又称为特殊位置直线。1、投影面平行线仅与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面的平行线。分为三种：正平面，水平面，侧平面投影面平行线的投影特性 l）、直线在所平行的投影面上的投影，反映线段的实长，它与两投影轴的夹角反映空间直线与另两个投影面的真实倾角。 2）、其余两个投影分别平行于相应的投影轴且均小于实长。 2、投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行的直线称为投影面的垂直线。分三种；正垂线，铅垂线，侧垂线投影面垂直线的投影特性 l）、直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2）、直线在其余两个投影面上的投影均反映线段的实长，且垂直于相应的投影轴。 3、一般位置直线与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置直线一般位置直线的投影特性： l）、直线三个投影均与投影轴倾斜，且小于实长。 2）、直线各投影与投影轴的夹角不反映空间直线与投影面的倾角。三、点、直线从属关系 点属于直线，则点的投影必属于直线的同面投影，并且点分线段之比等于其投影之比。四、二直线相对位置及投影特性 二直线在空间相对位置有平行、相交、交叉（异面）三种情况。1、平行二直线 投影规律：中间两直线相互平行，它们的同面投影一定平行；反之，两直线的各同面投影平行，则二直线在空间必然平行。 注意：当空间二直线同时是某个投影面的平行线时，则要看它们在所平行的那个投影面上的投影是否平行，才能判断其是否平行。2、相交二直线 投影规律：空间相交两直线，其同面投影均相交，且交点符合点的投影规律。反之，若二直线的同面投影均相交，其交点同属于两直线，则它们在空间也一定是相交的。3、交叉二直线 投影规律：交叉二直线的投影可能有一组、二组或三组同面投影相交，但投影的交点个会符合点的投影规律。也可能出现一组或两组同面投影相互平行，但不可能三组同面投影都平行。平面的投影一、平面的投影表示法1、用几何元素的投影表示平面 不属于一直线的三点的投影；一直线和不属于此直线一点的投影；两平行线或两相交直线的投影；平面图形的投影等可以用来表示平面的投影。2、用迹线表示平面二、各种位置平面及其投影特性 分为三类：投影面平行面；投影面垂直面；一般位置平面1、投影面平行面与一个投影面平行（与另外两个投影面垂直）的平面，称为投影面平行面。平行面分三种：水平面，正平面，侧平面。 平行面的投影特性：①、在平面所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。②、另外两投影都积聚成直线；目平行于相应的投影轴。2、投影面垂直面 垂直于一个投影面于其他两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。垂直面分三种：正垂面，铅垂面，侧垂面。垂直面的投影特性：①．在平面所垂直的投影面上的投影积聚成一斜线，它与投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的夹角。②、另外两个投影为小于实形的类似型。3、一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面、它的投影均不反映实形，也个会积聚为直线，而是二个小于实形的类似形。三、用迹线表示特殊位置平面四、属于平面的点、直线和圆1、点和直线属于平面的几何条件(1)若点属于某平面的一条直线，则点必属于该平面；（2）若直线通过属于平面的两个点，则直线必属于该平面；（3）若直线通过属于平面的一个点，且平行于属于平面的一条直线，则直线必属于该平面。2属于平面的点、直线作图举例（P45例1-3）　
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关于这个四维超正方体的图片 看不懂啊收藏
这是在网上收藏的
可是完全看不懂 为什么投影到三维上是这个样的
看着不像是四维的
如果说第四维度是时间
那么就是说四维里每个物体都在不停变化着？
难道说四围物体在我们三维人的眼中就是在变形？？
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在几何上，四维不是时间。因为我们立方体投射到二维中就是一个大正方形套着个小正方形，并点点相连，根据它我们推出四维立方体在三维的投影。
也就是说几何四维
嗯 方向？？？？
参考维度.数学漫步3
为什么yaoliding哥没来？
回3楼，并不是里外方向，那是一种在3维的错觉，是一种立体感，我们常说超立方体，怎么个超法，不就是比立方体更有立体感吗？其实1楼的那个图包括类似的图，它们看起来并不具有超立体感，至少就现在已有的插图来说我还没看到！有哪个大侠可以将动态的4维投影到3维的旋转过程截图的，发个贴分享一下啊！
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记得是有个电影专门讲述那个超立方体
忘了名字 谁知道拿出来下
我记得不是哦
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3Q v瑞玛驰！！
我去百度了
我想起来名字了
叫做异次元杀阵！
这是从三维投影看，一个在四维空间中绕一个平面旋转的四维超正方体。
好像就是与时空扭曲有关。
四维不是这样的，这所谓的四维体始终还是三维体。四维体不能按照三维去理解。超过三维就不是一样的概念了。
四维是什么？
上下左右里外么←_←四维生物莫非可以透视
人类很难理解四维空间就像如果有生活在二维空间的生物难以理解我们生活的三维空间举个浅显的例子这是正方体展开图如果是你，你很容易就能知道如何把他拼成一个正方体但是二维空间的生物是不能的在一个平面上不论如何平移，旋转，轴对称转换都不能使上图组合成一个正方体就像我们三维空间的生物不能把下图组合成超正方体超正方体展开图：
额，看到一直在变形就对了，想象一只趴在地上的蚂蚁，有个三维球体穿过，他能看到的只是一个圆形从小变大再变小最后消失罢了
楼主，你发的这个图形，只是一个四维图形的投影，它的真身你是看不见的。你之所以看到它在不断变化，是因为它通过我们这个三维空间不断出现的横截体。楼主你自己可以做实验，你把一个正方体穿过一张纸，你观察纸张上的投影，也是最先由一个点，一个三角形，再变成一个正方形甚至平行四边形。但你手中的正方体是没变化的不是吗？
你们好，我是来自比你们低维度世界的扁片人，我很开心能够从我悲惨的平面命运里逃离来到三维空间。近几十年我们的平面世界频繁发生神秘事件，包括一艘平面飞机离奇出现在另一个地方，一群扁片士兵作战中离奇消失，这也引发了我们对于未知世界的探索，最主要就是三维空间的探讨。目前我们有两种意见。一种是物理学家认为的第三维是时间，因为他们具有权威性，因此很多人都觉得三维时空这是不可动摇性真理；但还有一部分人士从几何学观点，认为第三维应该是一个全新的方向。这里我用了两种方法企图证实第三维客观的存在，我先画出一条横轴，在横轴上每个点都对应横轴上一个点x,由它确定一个位置，这样直线就是一维的。然后顺着原点画出一条纵轴，在这个区域的点需要依靠两个数定义位置，因此我们说平面是二维的，如果我需要对一维空间的生物们解释二维的存在，我可以说它由空间的两个点(x,y)确定。这里我在平面世界尝试从原点引第三条直线垂直横纵轴，but发现这是不可能的，但我能够从刚才的结论推导出三维实际是空间的三个点(x,y,z)确定。用画坐标轴方式无法开启三维大门，这里我尝试用类比法，先在平面上画两个点，将其连接，便形成一条直线；我接着画出三个点，将它们连接，形成了一个等边三角形，现在我尝试画出四个点，将他们连接，可以数出这个图形有六条直线，分别为ab,ac,ad,bc,bd,cd，有四个三角形，为abc,abd,acd,bcd。OK，我造出了一个三维图形，我叫它超三角形。但我们看到的只是它在平面的投影，更严重的是，线条与线条彼此之间变得非常混乱。似乎bd和ac相交，但其实它们在三维空间异面，投影破坏了其规则，是的，看一个三维图形需要经验。然后我根据我们平面图形的一些性质，我列出了三维空间的几种单形，如超三角形、超正方形、超八面形、超十二面形，超二十面形。
于是，我可以很自豪地说，第三维不是指的时间，而是一个全新的方向。由它连同长和宽组成了三维空间。我觉得你们三维人类也应该去这样的推广，会发现第四维不是时间，四维只是空间上的四个点(x,y,z,w)。
从四维空间观察，这个四维体的任意三维构成是都是全等的（之所以看上去在变化，是由于是投影，话说。。经过两次投影啊）也就是说，动态图上的每根直线都是相等的从这个角度出发，就可以理解这个四维正方超立方体了其实感觉四维物体没那么玄乎，一个四维物体可以理解成封闭统一，独立，并且各个组成部分不在同一三维空间，若干个三维部分有个公共顶点，每两个之间有封闭公共棱线和公共面。四维空间么，就是一个可以容纳无限三维空间的集合。（一个三维物体也可以组成四维物体，只要满足上述条件，就是异次元杀阵里面那个东东，各个相对面重合）四维物体在一个三维空间应该可见，但是与相邻三维部分没有相关性，只要棱线能重合，就好像一个三维物体在二维，二维物体在一维，可以知道他们的存在，以及形状，但是相邻的二维和一维面积形状长短是不可知的。至于时间，时间是用来计算运动的，似乎与空间真没神马关系，可以假设我们所在的宇宙一切运动都突然停止，甚至每个人的大脑内神经节也都没有动作，在这个状态下，时间失去意义，但是空间依然存在。
这是四维穿过三维的样子， 就像一个正三棱锥穿过二维，你会先看到一个面然后越来越小。之后变成一个点
这是 一个平行宇宙的模型吧
每一次变化中间都会出现一个小方块
假设说自己在其中的一个方块内
当我们消失的时候 另一个自己 就会开始做和自己一样的事
等于就是 后面的那个永远都是和前面那个做的一样
他会一直扩大，但也会回到原点
原谅我很肤浅的说，此图乃一个大正方体包含一个小正方体，然后八个顶点各自连接。。 = =
怎么有种穿越的赶脚
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或在平行投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子与这个图形的形状和大小是完全相同的.为什么?还有,为什么经过中心投影后,平行线可能变成相交的直线?
卤蛋尓妧混摩
在平行投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子与这个图形的形状和大小是完全相同的.这个时候,平行投影线,投影面和平面图形构成了一个柱类的形状,其上下底面平行且相等经过中心投影后,比如照片,距离人体近的宽度...
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扫描下载二维码&-&&-&&-&&-&画法几何4---轴测投影图---二维平面描述三维物体
轴测图是一种单面投影图，在一个投影面上能同时反映出物体三个坐标面的形状，并接近于人们的视觉习惯，形象、逼真，富有立体感。但是轴测图一般不能反映出物体各表面的实形，因而度量性差，同时作图较复杂。因此，在工程上常把轴测图作为辅助图样，来说明机器的结构、安装、使用等情况，在设计中，用轴测图帮助构思、想象物体的形状，以弥补正投影图的不足。
一、定义：用平行投影法将物体连同确定该物体的直角坐标系一起沿不平行于任一坐标平面的方向投射到一个投影面上,所得到的图形, 称作轴测图。
　　轴测投影属于单面平行投影, 侧面它能同时反映立体的正面、和水平面的形状，因而立体感较强，在工程设计和工业生产中常用作辅助图样。
　　工程上一般采用正投影法绘制物体的投影图。即多面正投影图，它能完整，准确地反映物体的形状和大小，且质量性好，作图简单，但立体感不强，只有具备一定读图能力的人才看得懂。有时工程上还需采用一种立体感较强的图来表达物体，即轴测图。轴测图是用轴测投影的方法画出来的富有立体感的图形，他接近人们的视觉习惯，但不能确切地反映物体真实的形状和大小，并且作图较正投影复杂，因而在生产中它作为辅助图样，用来帮助人们读懂正投影视图。
　　在绘图教学中，轴测图也是发展空间构思能力的手段之一。通过画轴测图可以帮助人们想象物体的形状，培养空间想象能力二、轴测图的种类　　轴测图根据投射线方向和轴测投影面的位置不同可分为两大类:
　　正轴测图:投射线方向垂直于轴测投影面。
　　斜轴测图:投射线方向倾斜于轴测投影面。
　　根据不同的轴向伸缩系数,每类又可分为三种:
　　1.正轴测图
　　正等轴测图(简称正等测): p1=q1=r1。
　　正二轴测图(简称正二测):p1=r1≠q1。
　　正三轴测图(简称正三测): p1≠q1≠r1。
　　2.斜轴测图
　　斜等轴测图(简称斜等测): p1=q1=r1。
　　斜二轴测图(简称斜二测): p1=r1≠q1。
　　斜三轴测图(简称斜三测): p1≠q1≠r1。
　　由于计算机绘图给轴测图的绘制带来了极大的方便,轴测图的分类已不像以前那样重要,但工程上常用的是两种轴测图:正等测和斜二测。
　　(1)相互平行的两直线,其投影仍保持平行;
　　(2)空间平行于某坐标轴的线段,其投影长度等于该坐标轴的轴向伸缩系数与线段长度的乘积。
　　由以上性质,在轴测若已知各轴向伸缩系数,图中即可画出平行于轴测轴的各线段的长度,这就是轴测图中“轴测”两字的含义。
　　正等轴测图：轴间角均为120度；轴向伸缩系数p=q=r =0.82取1 　　斜二轴测图：轴间角为90度、135度、135度；轴向伸缩系数p=r=1 q=0.5轴测图-形成　　轴测图是把空间物体和确定其空间位置的直角坐标系按平行投影法沿不平行于任何坐标面的方向投影到单一投影面上所得的图形。
　　轴测图具有平行投影的所有特性 。
&& & & 1.平行性: 物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
　　2.定比性: 物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。
　　3.实形性: 物体上平行轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映 实长和实形。
　　当投射方向 S 垂直于投影面时，形成正轴测图；当投射方向 S 倾斜于投影面时，形成斜轴测.
　　（1） 在正等轴测图中，三个轴间角相等，都是120°。其中OZ轴规定画成铅垂方向。
　　（2） 三个轴向伸缩系数相等，即 p 1 = q 1 = r 1 =0.82 。
　　为了简化作图，可以根据GB/T采用简化伸缩系数，即p 1 = q 1 = r 1 =1 。从图6.2.1-1中可以看出，采用简化伸缩系数画出的正等轴测图，三个轴向尺寸都放大了约1.22倍，但这并不影响正等轴测图的立体感以及物体各部分的比例。
　　作平面立体正等 轴 测图的最基本的方法是坐标法，对于复杂的物体，可以根据其形状特点，灵活运用叠加法、切割法等作图方法。
　　（1）坐标法
　　建根据物体的特点，立合适的坐标轴，然后按坐标法画出物体上各顶点的轴测投影，再由点连成物体的轴测图。
　　，已知正六棱柱的两视图，画其正等轴测图。
&&正六棱柱正等轴测图
正六棱柱正等轴测图
　　作图方法和步骤如下：
　　A. 在视图上确定坐标原点和坐标轴。
　　B. 作轴测轴，然后按坐标分别作出顶面各点的轴测投影，依次连接起来，即得顶面的轴测图 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ V Ⅵ。
　　C. 过顶面各点分别作 OZ 的平行线，并在其上向下量取高度 H ，得各棱的轴测投影。
　　D. 依次连接各棱端点，得底面的轴测图，擦去多余的作图线并加深，即完成了正六棱柱的正等轴测图。
　　(2) 叠加法
　　对于叠加形物体，运用形体分析法将物体分成几个简单的形体，然后根据各形体之间的相对位置依次画出各部分的轴测图，即可得到该物体的轴测图。
&&用叠加法画正等轴测图
用叠加法画正等轴测图
　　根据图所示平面立体的三视图，叠加法画其正等轴测图。
　　将物体看作由 I 、Ⅱ两部分叠加而成。
　　A. 画轴测轴，定原点位置，画 I 部分的正等测图。
　　B. 在 I 部分的正等轴测图的相应位置上画出Ⅱ部分的正等轴测图。
　　C. 在 I 、Ⅱ部分分别开槽，然后整理、加深即得这个物体的正等轴测图。
　　用叠加法绘制轴测图时，应首先进行形体分析，并注意各形体在叠.
　　用切割法画正等轴测图
　　(3)切割法
　　对于切割形物体，首先将物体看成是一定形状的整体，并画出其轴测图，然后再按照物体的形成过程，逐一切割，相继画出被切割后的形状。
&&用切割法画正等轴测图
用菱形法绘制水平圆的正等轴测图
　　3.平行于坐标面的圆的正等轴测图
　　坐标面或其平行面上的圆的正等轴测图是椭圆。三个坐标面上的圆的正等轴测图是大小相等、形状相同的椭圆，只是它们的长、短轴方向不同。用坐标法可以精确作出该椭圆，即按坐标定出椭圆上一系列的点，然后光滑连接成椭圆。但为了简化作图，工程上常采用“菱形法”绘制椭圆。
用菱形法绘制水平圆的正等轴测图
现以水平面（平行于 XOY 坐标面）上圆的正等轴测图为例，说明用菱形法近似作椭圆的方法。
　　1.斜二轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
　　(1)三个轴间角依次为 ： XOZ=90°、XOY= YOZ =135°。 其中OZ轴规定画成铅垂方向。
　　(2)三个轴向伸缩系数分别为 ： p 1 = r 1 =0.82 、q 1 = 0.5。 为了简化作图取 p 1 = r 1 =1。
　　2.平行于坐标面的圆的斜二轴测图
由平行投影的实形性可知，平行于X0Z平面的任何图形，在斜二轴测图上均反映实形。因此平行于XOZ坐标面的圆和圆弧，其斜二测投影仍是圆和圆弧。 平行于XOY、YOZ坐标面的圆，其斜二测投影均是椭圆，这些椭圆作图较繁。
　　因此，斜二轴测图主要用于表示仅在一个方向上有圆或圆弧的物体，当物体在两个或两个以上方向有圆或圆弧时，通常采用正等测的方法绘制轴测图。&
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