对函数的x进行左右求导是什么意思?
是要证明函数某点的连续性吧.
已知二次函数y=x^2-x的图像与x轴交与A、B两点,在轴上方的抛物线上有一点C,且已知二次函数y=x^2-x的图像与x轴交与A、B两点,在轴上方的抛物线上有一点C,且三角形ABC的面积等于1,则点C的坐标为__.
已知函数f(x)=2cos(x+π/3)[sin(x+π/3)-√3cos(x+π/3)]对任意x属于[0,π/6],使得m[f(x)+√3]+2=0恒成立,求实数m的取值范围.
f(x)=2cos(x+π/3)[sin(x+π/3)-√3cos(x+π/3)]=4cos(x+π/3)[1/2sin(x+π/3)-√3/2cos(x+π/3)]=4cos(x+π/3)[sin(x+π/3-π/3)]=4[cosxcos(π/3)-sinxsin(π/3)]*sinx=2(cosx-√3sinx)sinx=2cosxsinx-2√3sin?x=sin2x+√3cos2x-√3=2sin(2x+π/3)-√3,在[0,π/6]上,f(x)∈[1-√3,2-√3]m[f(x)+√3]+2=0恒成立,即[f(x)+√3]=-2/m恒成立,所以1
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
证明：延长CE交BA的延长线于点G，即交点为G，∵E是AD中点，∴AE=ED，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．
(根号6+1)^2010-2(根号6+1)^2009-5(根号6+1)^=[(根号6+1)^2009](根号6+1-2)-5(根号6+1)^=[(根号6+1)^2009](根号6-1)-5(根号6+1)^=5(根号6+1)^2008-5(根号6+1)^=2010
可以用循环生成syms A;for i=1:Mfor j=1:NA(i,j)=sym (['a',num2str(i),num2str(j)]);endend如此即可 M=N=3时 运行结果为A =[ a11,a12,a13][ a21,a22,a23][ a31,a32,a33]
其他相关问题知识点梳理
利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
【截距式】{\frac{x}{a}}+{\frac{y}{b}}=1,&a，b分别是在&x&轴，y轴上的截距，我们把此方程称之为直线的截距式方程，简称截距式．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“曲线y=log2x在点（1，0）处的切线与坐标轴所围三角形的...”，相似的试题还有：
若曲线y=x2在点(a，a2)(a＞0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于_____．
曲线y=e2x-1在点(1，e)处的切线为l，则切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____．
曲线y=x3在点(1，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____．正确教育旗下网站
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专题五 导数及其应用质检卷（B卷）
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导数及其应用
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导数及其应用
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文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M 导数及其应用&1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c, (m为有理数)，& 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．&&
导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时&&& 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念：函数y＝ 的导数 ，就是当Δ& 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比 的&&&&&&&& ，即 ＝&&&&&&&& ＝&&&&&&&& ．2．导函数：函数y＝ 在区间(a, b)内&&&&& 的导数都存在，就说 在区间( a, b )内&&&&&&&& ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 的&&&&&&&& ，记作 或 ，函数 的导函数 在 时的函数值&&&&&&&& ，就是 在 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝ 在点 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 处的&&&&&&&& .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式&＝&&&&&& ；&&&& ＝&&&&&&& ；(n∈Q) &＝&&&&&&& ，& ＝&&&&&&&&& &＝&&&&&&&& ，&& ＝&&&&&&&&&&& &＝&&&&&&&& ，& ＝&&&&&&&&& (2) 导数的四则运算&＝&&&&&&&&&&&&& ＝&&&&&&&&& &＝&&&&&&&&&&&&& ， ＝&&&&&&&&&&& (3) 复合函数的导数设 在点x处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点x处可导， 且 ＝&&&&&&&& ，即 .
例1．求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解& ∵Δy= &&& 变式训练1. 求y= 在x=x0处的导数.解&&& &例2. 求下列各函数的导数：&（1）&&&&&&&& （2） &（3）&&&& （4） & 解& (1)∵ & ∴y′ & （2）方法一&& y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.&& 方法二&& = = （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y= ∴ （4）& ，∴ 变式训练2：求y=tanx的导数.&& 解& y′ 例3. 已知曲线y= （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.&解&& （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k= |x=2=4.& ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.& （2）设曲线y= 与过点P（2，4）的切线相切于点 ，则切线的斜率k= | = .& ∴切线方程为 即&&& ∵点P（2，4）在切线上，∴4= 即 ∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=&&&&&&&& .&& 答案& 2或 例4. 设函数& (a,b∈Z)，曲线 在点 处的切线方程为y=3.（1）求 的解析式；（2）证明：曲线 上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解&& ，于是 解得 或 因为a,b Z，故 （2）证明&& 在曲线上任取一点 ．由 知，过此点的切线方程为&．令x=1，得 ，切线与直线x=1交点为 ．令y=x，得 ，切线与直线y=x的交点为 ．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为 ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解&& ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.&&&&&&&&&&&&&&& ①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.&&&&&&&&&&&&&&& ②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.&&&&&&&&&&& ③∵ =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.&&&&&&& ④由③④得a= ，c= .∴函数y=f（x）的解析式为
1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时&& 导数的概念及性质
1． 函数的单调性⑴ 函数y＝ 在某个区间内可导，若 ＞0，则 为&&&&&&& ；若 ＜0，则 为&&&&&&&& .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有 ，则&&&&& .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数 的&&&&&&& ；② 求 ，令&&&&&&& ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定 在各小开区间内的&&&&&&& ，根据 的符号判定函数 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数 在点 附近有定义，且对 附近的所有点都有&&&&&&& （或&&&&&&& ），则称 为函数的一个极大（小）值．称 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤：① 求导数 ；② 求方程 ＝0的&&&&&&& ；③ 检验 在方程 ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& .3．函数的最大值与最小值：⑴ 设y＝ 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ 在(a ,b )内有导数，则函数y＝ 在[a ,b ]上&&& 有最大值与最小值；但在开区间内&&&&& 有最大值与最小值．(2) 求最值可分两步进行：① 求y＝ 在(a ,b )内的&&&&&&& 值；② 将y＝ 的各&&&&&&& 值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递增，则 为函数的&&&&&&& ， 为函数的&&&&&&& ；若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递减，则 为函数的&&&&&&& ， 为函数的&&&&&&& .
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解： =ex-a.（1）若a≤0， =ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a&0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2）∵f（x）在R内单调递增，∴ ≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex&0，∴a≤0.（3）方法一&& 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二&& 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴ =0,即e0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解& 由已知 =3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴ =3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时， =3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解& 由 =3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1&x&1,∴3x2&3,∴只需a≥3.当a=3时， =3(x2-1),在x∈(-1,1)上， &0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明& ∵f(-1)=a-2&a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x= 时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解& （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得 =3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①当x= 时，y=f(x)有极值，则 =0,可得4a+3b+4=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴ =3x2+4x-4,令 =0,得x=-2,x= .当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x&-3&(-3,-2)&-2& &&1&y′&&+&0&-&0&+&y&8&单调递增J&13&单调递减K& 单调递增J&4&∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为 变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解& 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x&-2&(-2,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,2)&2y′&&-&0&+&0&-&0&+&y&13&K&4&J&5&K&4&J&13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.& 解&& ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴ =2xe-ax+x2•（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).&& 令 &0,即e-ax(-ax2+2x)&0,得0&x& .∴f(x)在（-∞,0), 上是减函数，在 上是增函数.①当0& &1,即a&2时,f(x）在（1，2）上是减函数,∴f（x）max=f（1）=e-a.& ②当1≤ ≤2,即1≤a≤2时，f(x)在 上是增函数，在 上是减函数，∴f(x)max=f =4a-2e-2.&&& ③当 &2时，即0&a&1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0&a&1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a&2时，f(x)的最大值为e-a.&& 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2, =-3x2+4x-1,&-12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,&=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令 =0,解得x= 或x=a.由于a≠0，以下分两种情况讨论.①若a&0，当x变化时， 的正负如下表：x&(-∞, )&( ,a)a&(a,+∞)&-&0&+&0&-f(x)&&K& J&0&K因此，函数f(x)在x= 处取得极小值f（ ），且f（ ）=- 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a&0，当x变化时， 的正负如下表：x&(-∞,a)&a&(a, )&( ,+∞)
&-&0&+&0&-f(x)&K&&&&&0&J&- K因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x= 处取得极大值f（ ）,且f（ ）=- .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解& （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.(2)& =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令 =0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ .在x=6+ a两侧L′的值由正变负.所以①当8≤6+ a＜9即3≤a＜ 时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+ a≤ ，即 ≤a≤5时，Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)［12-(6+ a)］2=4(3- a)3.所以 答& 若3≤a＜ ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=& (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19).（2） =-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),∵x&0,∴ =0时,x=12，∴当0&x&12时， &0,当x&12时， &0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.
研究可导函数 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数 的导函数 ，再找出 ＝0的x取值或 &0( &0)的x的取值范围．导数及其应用单元检测题一、选择题1.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（&& ）A. e2&&&&&&&&& B.2e2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C.e2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y= 的图象可能是 (&&& )
3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是&&&&&& （&&& ）A.(0,&&&& B.( +∞)&&&&& C.(-∞,0)&&&& D.(-∞,0)∪( ,+∞）4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则&& (&&&& )A.a&-1&&&&&&&&&&&&& B.a&-1&&&&&&&&&&&& C.a&- &&&&&&&&&&&&& D.a&- 5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为&&&&&&& （&&& ）A.6,9&&&&&&& B.9,6&&&&&&&&& C.4,2&&&&& &&D.8,66.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为&&&&& （&&& ）A.36&&&&&&&&&&&&&&&&&& &B.18&&&&&&&&&&&&&&& C.25&&&&&&&&&&& D.427.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是&& （&&& ）①f(x)&0的解集是{x|0&x&2};②f(- )是极小值，f( )是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值. A.①③&&&&&&&& B.①②③&&&&&&&&&&& C.②&&&&&&&&&&&&& D.①②8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是& (&&&& )A.0＜ ＜ ＜f(3)-f(2)B.0＜ ＜f(3)-f(2) ＜ C.0＜f(3)＜ ＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜ ＜ 9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为&&&& （&&& ）A.a≥3&&&&&& B.a=3&&&&&&&&&&& &C.a≤3&&&&&& &&&& D.0&a&310.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为&&& （&&& ）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.以上都不正确11.使函数f(x)=x+2cosx在［0， ］上取最大值的x为&&&&&&& （&&& ）A.0&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&& C.&&&&&&&&&& D. 12.若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则&&&& （&&&& ）A.0&b&1&&&&&&&&& B.b&1&&&&&&&&&& C.b&0&&&&&&
D.b& 二、填空题 13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为&&&&&& .14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x）在［-2，-1］上是增函数；②x=-1是f(x)的极小值点；③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④x=3是f(x)的极小值点.其中判断正确的是&&&&&& .15.函数f(x)的导函数y= 的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为&&&&&& .16.已知函数f(x)的导函数为 ,且满足f(x)=3x2+2x ,则 =&&&&&&&&& .三、解答题17.已知函数f(x)=x3- x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)&c2恒成立，求c的取值范围.
18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.
19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.
20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.（1）求f(x)的解析式；（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.
21.如图所示，P是抛物线C：y= x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.
22.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［ ，4］时，s(t)&3d2恒成立，求d的取值范围.
导数及其应用单元检测题答案一、选择题1.答案D2．答案A3.答案 A4.答案A5.答案A6.答案A7.答案&& D8.答案B9.答案A10.答案B11.答案B12.答案A二、填空题 13.答案& ［-1，2］14.答案& ②③15.答案& ［-1，0］和［2，+∞）16.答案& 6三、解答题17.解 （1） =3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则 ≥0.即3x2-x+b≥0,∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x= 时，g(x)max= ,∴b≥ .(2)由题意知 =0，即3-1+b=0，∴b=-2.x∈［-1,2］时，f(x)&c2恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c2即可.因 =3x2-x-2,令 =0,得x=1或x=- .∵f(1)=- +c,f(- f(2)=2+c.∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c&c2.解得c&2或c&-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,∴ =3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得 ≥0且 ≥0,即 ∴-2≤a≤2.命题q: ∵该不等式的解集为R，∴a&-1.当p正确q不正确时,-1≤a≤2;当p不正确q正确时，a&-2.∴a的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］.19.解& f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax∴ =3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需 =3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足 ≥0即可. ∵ =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x= ,∴a的取值应满足： 或 解得:a≤ .∴a的取值范围是a≤ .20.解& （1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴ =0.f(x)=-2x3+3x2+cx,& =-6x2+6x+c∴ =-6-6+c=0,c=12.∴f(x)=-2x3+3x2+12x,（2） =-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).令 =0,得x1=-1,x2=2,x&-3&(-3,-1)&-1&(-1,2)&2&（2，3）&3&&-&0&+&0&-&f(x)&45&K&-7&J&20&K&9∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，函数f(x)在［-1，2］上是增函数.21. 解& 设P（x0，y0），则y0= ,∴过点P的切线斜率k=x0,当x0=0时不合题意，∴x0≠0.∴直线l的斜率kl=- ,∴直线l的方程为y- .此式与y= 联立消去y得x2+ 设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点，∴ 消去x0，得y=x2+ +1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2&0,∴y=x2+ +1≥2 上式等号仅当x2= ,即x=± 时成立，所以点M到x轴的最短距离是 +1.22. 解&&& =3t2+2bt+c.由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值.则 =0,& =0.即 解得 ∴ =3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).当t∈［ ，1）时， &0.当t∈(1,3)时， &0.当t∈(3,4)时， &0.则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d.又s(4)=4+d，故t∈［ ，4］时，s(t)的最大值为4+d.已知s(t)&3d2在［ ，4］上恒成立，∴s(t)max&3d2.即4+d&3d2.解得d& 或d&-1.∴d的取值范围是{d|d& 或d&-1}.
五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数 的单调递增区间是&&&&(&&& )A.&&&&&& B.(0,3)&& C.(1,4)&&&& D.&&&&&& 答案& D解析&&&& ,令 ,解得 ,故选D2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线 相切，则α的值为(&&& )&&&&&&&& A.1&&&&&&&&&&&&& B. 2&&&&&&&&&&& C.-1&&&&&&&&&& D.-2答案& B解:设切点 ，则 ,又 &.故答案& 选B&&&&&&&& 3.（2009安徽卷理）已知函数 在R上满足 ，则曲线&在点 处的切线方程是 &&&&&&&&(&&& )A.&&&&&&& B.&&&& C.&&&&& D.& 答案&&&& A解析&&& 由 得几何 ，即 ，∴ ∴ ，∴切线方程 ，即 选A4.（2009江西卷文）若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于&&&&&&&&&&&&&&&&&(&&& )&&&&&&&&&& A． 或&&&&&&&&& B． 或&&&&&&&&& C． 或&&&&&&&&&& D． 或 答案&& A解析&&& 设过 的直线与 相切于点 ，所以切线方程为&即 ，又 在切线上，则 或 ，当 时，由 与 相切可得 ，当 时，由 与 相切可得 ，所以选 .5.（2009江西卷理）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为&&&&&(&&& )A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D． 答案& A解析&&& 由已知 ，而 ，所以 故选A力。6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线 在点 处的切线方程为&&&&&&&&&&&& &&&(&&& ) A.&&&&& B.&&&&& C.&&&& D.& 答案& B解&& ,故切线方程为 ,即&&&& 故选B.7.（2009湖南卷文）若函数 的导函数在区间 上是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是&&&&&&&&(&&& )&A ．&&&&&&&&&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&&&&&&& D．解析& 因为函数 的导函数 在区间 上是增函数，即在区间 上各点处的斜率 是递增的，由图易知选A.&& 注意C中 为常数噢.8.（2009辽宁卷理）若 满足2x+ =5,& 满足2x+2 (x－1)=5,& + ＝&(&&& )A.&&&&&& B.3&&&&&&& C.&&&& D.4答案& C解析&&& 由题意&&&&&&&&&&& ①&&&&& ②& 所以 , & 即2 & 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)& ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2& 于是2x1＝7－2x29.（2009天津卷理）设函数 则 &&&&(&&& )A在区间 内均有零点。&&&&&&&& B在区间 内均无零点。C在区间 内有零点，在区间 内无零点。D在区间 内无零点，在区间 内有零点。&&&& 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析 由题得 ，令 得 ；令 得 ； 得 ，故知函数 在区间 上为减函数，在区间 为增函数，在点 处有极小值 ；又&，故选择D。二、填空题10.（2009辽宁卷文）若函数 在 处取极值，则&&&&&&&&&&&& 解析&&& f’(x)＝ & f’(1)＝ ＝0& & a＝3答案& 311.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是&&&&&&& .解析& 解析&&& 由题意该函数的定义域 ，由 。因为存在垂直于 轴的切线，故此时斜率为 ，问题转化为 范围内导函数 存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点。当 不符合题意，当 时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当 如图2，此时正好有一个交点，故有 应填 或是 。&解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，显然可得 12.（2009江苏卷）函数 的单调减区间为&&&&&& .&&&&& 解析&&&& 考查利用导数判断函数的单调性。 &，由 得单调减区间为 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为&&&&& .& 解析&&&& 考查导数的几何意义和计算能力。&&&& &，又点P在第二象限内， 点P的坐标为（-2，15）答案& :&&&&&&& 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009福建卷理）若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.答案&&&& & 解析&&& 由题意可知 ，又因为存在垂直于 轴的切线，所以& 15.(2009陕西卷理)设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为&&&&&&&&&&&&&&& .&&&& 答案&&& -2&16.（2009四川卷文）设 是已知平面 上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为 。若映射 满足：对所有 及任意实数 都有 ，则 称为平面 上的线性变换。现有下列命题：①设 是平面 上的线性变换， ，则&&&&& ②若 是平面 上的单位向量，对 ，则 是平面 上的线性变换； ③对 ，则 是平面 上的线性变换； ④设 是平面 上的线性变换， ，则对任意实数 均有 。其中的真命题是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （写出所有真命题的编号）答案& ①③④解析&&& ①：令 ，则 故①是真命题同理，④：令 ，则 故④是真命题③：∵ ，则有 &是线性变换，故③是真命题②：由 ，则有 &∵ 是单位向量， ≠0，故②是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009宁夏海南卷文）曲线 在点（0,1）处的切线方程为&&&&&&&&&&&&&&& 。答案&& 解析&&&& ，斜率k＝ ＝3，所以，y－1＝3x，即 三、解答题18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数 在两个极值点 ，且 （I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域；(II)证明： 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。 由题意知方程 有两个根 & 则有 & 故有&右图中阴影部分即是满足这些条件的点 的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。解析&&&& 由题意有 ．．．．．．．．．．．．①又 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去 可得 ．又 ，且&&&&& 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数&& ．&（I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值；&（II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围．解析&&& （Ⅰ）由题意得 & 又& ，解得 ， 或 &&& （Ⅱ）函数 在区间 不单调，等价于&&&& 导函数 在 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数&&&& 即函数 在 上存在零点，根据零点存在定理，有&&&&& ，& 即： &&&& 整理得： ，解得 20.（2009北京文）（本小题共14分）设函数 .（Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点.解析&&& 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ） ,∵曲线 在点 处与直线 相切，∴ （Ⅱ）∵ ,当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 没有极值点.当 时，由 ，当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，∴此时 是 的极大值点， 是 的极小值点.21.（2009北京理）（本小题共13分）设函数 （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 的单调区间；（Ⅲ）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围.&&&&&&&&&&&&& 解析&&& 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ） ,曲线 在点 处的切线方程为 .（Ⅱ）由 ，得 ，&&& 若 ，则当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，&&& 若 ，则当 时， ，函数 单调递增，&&& 当 时， ，函数 单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 ，则当且仅当 ，即 时，函数& 内单调递增，若 ，则当且仅当 ，即 时，函数& 内单调递增，综上可知，函数& 内单调递增时， 的取值范围是 .22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）&已知函数 ,其中&&&&&& （1）当 满足什么条件时, 取得极值?（2）已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.解:& (1)由已知得 ,令 ,得 ,&要取得极值,方程 必须有解,所以△ ,即 ,&& 此时方程 的根为&, ,所以&&&&&& 当 时,x&(-∞,x1)&x 1&(x1,x2)&x2&(x2,+∞)f’(x)&＋&0&－&0&＋f (x)&增函数&极大值&减函数&极小值&增函数所以 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当 时,&&&&& x&(-∞,x2)&x 2&(x2,x1)&x1&(x1,+∞)f’(x)&－&0&＋&0&－f (x)&减函数&极小值&增函数&极大值&减函数所以 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当 满足 时,& 取得极值.&&&&& (2)要使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立.即 恒成立,& 所以 设 , ,令 得 或 (舍去),&&&&& 当 时, ,当 时 , 单调增函数;当 时 , 单调减函数,所以当 时, 取得最大,最大值为 .所以 当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间 上单调递增,当 时 最大,最大值为 ,所以 综上,当 时,& ;&&& 当 时,&&&&&&& 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数 ，其中常数a&1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)&0恒成立，求a的取值范围。&&&&& 解析&&& 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析&&&& （I）&&&&&&& &由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；当 时， ，故 在区间 是减函数；&当 时， ，故 在区间 是增函数。& 综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数。&（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。&&&由假设知&&&&& &&&&&&&&&&&&& 即&&&& 解得& 1&a&6故 的取值范围是（1，6）23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 ．设 ．（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．&&&&&&&&&&& 解析&&& （1）依题可设& ( )，则 ；& 又 的图像与直线 平行&&&&&&&&&& && ，& ，&& 设 ，则&&&&&&&&& &当且仅当 时， 取得最小值，即 取得最小值 当 时，&&& 解得& 当 时，&&& 解得 &（2）由 ( )，得&&&& 当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；当 时，方程 有二解 ，若 ， ，函数 有两个零点 ，即&；若 ， ，函数 有两个零点 ，即 ；当 时，方程 有一解 ,&&& , 函数 有一零点& 综上，当 时, 函数 有一零点 ；当 ( )，或 （ ）时，函数 有两个零点 ；当 时，函数 有一零点 .24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）&& 已知函数 ，讨论 的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解析&&&& 的定义域是(0,+ ),&&&&&&&&& 设 ,二次方程 的判别式 . 当 ，即 时，对一切 都有 ,此时 在 上是增函数。①当 ,即 时，仅对 有 ,对其余的 都有&,此时 在 上也是增函数。&&&&&&&& ①&当 ，即 时，方程 有两个不同的实根 , , .&& & & & & &&+&0&_&0&+&&单调递增 &极大&单调递减 &极小&单调递增此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, 在 上单调递增.25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）& 已知函数 ，a＞0，&&&&&&&&&&&& （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）设a=3，求 在区间{1， }上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 在 上的值域。解析&&& (1)由于 令&&&&&&&&&& ①当 ,即 时,& 恒成立.&在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当 ,即 时&&&&&&& 由 得 或&&&&&&&&&& &或 或 又由 得 综上①当 时,& 在 上都是增函数.②当 时,& 在 上是减函数,&&&&&&&& 在 上都是增函数.(2)当 时,由(1)知 在 上是减函数.在 上是增函数.又&&&&&&&&&& &函数 在 上的值域为&&&&&&&&&& 26.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数 ．&&&&&&&&&& （1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围．&&&&&&&&&& 解析&&& (1)& , & 因为 , , 即& 恒成立, & 所以& , 得 ，即 的最大值为 & (2)& 因为 当 时,& ;当 时,& ;当 时,& ;& 所以 当 时, 取极大值& ;&&&&&&&&&&& & 当 时, 取极小值& ;& 故当& 或 时, 方程 仅有一个实根. 解得& 或 .27.（2009江西卷理）（本小题满分12分）设函数 (1)求函数 的单调区间；&&&&&&&&&&& (1)若 ，求不等式 的解集．解析&&&& (1) , 由 ,得& .因为 当 时, ； 当 时, ； 当 时, ；所以 的单调增区间是: ； 单调减区间是:& .(2)由&&& ,&得： .&& 故：当& 时, 解集是： ；当& 时，解集是：& ；当& 时, 解集是： .&&&&&&&&&&&& 28.（2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数 （Ⅰ）当 曲线 处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 。若对任意的&， 恒成立，求m的取值范围。答案& （1）1（2） 在 和 内减函数，在 内增函数。函数 在 处取得极大值 ，且 = 函数 在 处取得极小值 ，且 = 解析&&& 解析&&& 当 所以曲线 处的切线斜率为1.&&&&&&&& （2）解析&&&& ，令 ，得到 因为 当x变化时， 的变化情况如下表：&& & & & & &&+&0&-&0&+&& 极小值&极大值&
&在 和 内减函数，在 内增函数。函数 在 处取得极大值 ，且 = 函数 在 处取得极小值 ，且 = （3）解析&&& 由题设，& 所以方程 =0由两个相异的实根 ，故 ，且 ，解得 因为 若 ，而 ，不合题意若 则对任意的 有 则 又 ，所以函数 在 的最小值为0，于是对任意的 ， 恒成立的充要条件是 ,解得&&&&&&&&& 综上，m的取值范围是 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）&&& 在R上定义运算 （b、c为实常数）。记 ， ， .令 .&&& &如果函数 在 处有极什 ,试确定b、c的值；&求曲线 上斜率为c的切线与该曲线的公共点；&记 的最大值为 .若 对任意的b、c恒成立，试示 的最大值。&&&&&&&&&&& 解&&&&&&&&&&&&&& 当 得对称轴x=b位于区间 之外&&&&&&& 此时 由&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①若 于是 ①若 ，则 ， 于是&综上，对任意的b、c都有 而当， 时， 在区间 上的最大值&&&&&&&&& 故 对任意的b，c恒成立的k的最大值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 31.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数 的图象在与 轴交点处的切线方程是 。（I）求函数 的解析式；（II）设函数 ，若 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 取得极值时对应的自变量 的值.解析&&& （I）由已知,切点为(2,0),故有 ,即 ……①又 ，由已知 得 ……②联立①②，解得 .所以函数的解析式为&&&& …………………………………4分（II）因为 令 当函数有极值时，则 ，方程 有实数解，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由 ，得 .①当 时， 有实数 ，在 左右两侧均有 ，故函数 无极值②当 时， 有两个实数根& 情况如下表：&& & & & & &&+&0&-&0&+&&J&极大值&K&极小值&J所以在 时，函数 有极值；当 时， 有极大值；当 时， 有极小值；& …………………………………12分32.（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数 有两个极值点 ，且 （I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；（II）证明：&&&&&&&&&&&&& 解: （I） &令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得 ⑴当 时， 在 内为增函数；&&&&&&& ⑵当 时， 在 内为减函数；⑶当 时， 在 内为增函数；（II）由（I） ， &设 ，则 ⑴当 时， 在 单调递增；⑵当 时， ， 在 单调递减。&&&&&&& &故 ．&&&&&&&&&&&&& 33.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）已知函数 的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若 在 处取得最小值，记此极小值为 ，求 的定义域和值域。解: （Ⅰ） .因为函数 的图象关于直线x=2对称，所以 ，于是&&&&& （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， .（）当c&& 12时， ，此时 无极值。&&& （ii）当c&12时， 有两个互异实根 , .不妨设 ＜ ，则 ＜2＜ .当x＜ 时， ，& 在区间 内为增函数；&&&&&&&&&&& 当 ＜x＜ 时， ， 在区间 内为减函数;当 时， ， 在区间 内为增函数.&&& 所以 在 处取极大值，在 处取极小值.因此，当且仅当 时，函数 在 处存在唯一极小值，所以 .于是 的定义域为 .由& 得 .于是&&&& .当 时， 所以函数 在区间 内是减函数，故 的值域为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 35.（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数 ,且&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1) 试用含 的代数式表示b,并求 的单调区间；（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点M ( , )，N( , )，P( ),&& ,请仔细观察曲线 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m& ( , x )，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n)), x& n& m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解法一:(Ⅰ)依题意,得 由 .从而 令&&&&&&&&& ①当a&1时,& 当x变化时， 与 的变化情况如下表：x& & & &&+&－&+&&单调递增&单调递减&单调递增由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 。②当 时， 此时有 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为R③当 时， 同理可得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为&&&&&&&&& 综上：当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；当 时，函数 的单调增区间为R；当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .(Ⅱ)由 得 令 得 由（1）得 增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在处 取得极值，故M（ ）N（ ）。观察 的图象，有如下现象：①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线 在点P处切线的斜率 之差Kmp- 的值由正连续变为负。②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－ 的m正负有着密切的关联；③Kmp－ =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－ 的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线 在点 处的切线斜率 ；线段MP的斜率Kmp 当Kmp－ =0时，解得 直线MP的方程为&&&&&&&&& 令 当 时， 在 上只有一个零点 ，可判断 函数在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。当 时， . 所以存在 使得 即当 MP与曲线 有异于M,P的公共点&&&&&&& 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：（1）同解法一.（2）由 得 ，令 ，得 由（1）得的 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数在处取得极值。故M( ).N( )&(Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线 有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数&上有零点.因为函数 为三次函数,所以 至多有三个零点,两个极值点.又 .因此,& 在 上有零点等价于 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 内有两不相等的实数根.等价于&&&&&&&&& 即 又因为 ,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）设 ，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(1)证明：当&&&&&&&&&&&& 解析&&& （Ⅰ） .有条件知，&，故 .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………2分&&&& 于是 .故当 时， ＜0；&&&&&&&&&& 当 时， ＞0.从而 在 ， 单调减少，在 单调增加.&&&&&&& ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 在 单调增加，故 在 的最大值为 ，最小值为 .&&&&&&&&&&& 从而对任意 ，& ，有 .&&&&&&&&&&& ………10分&& 而当 时，&& .&& 从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………12分37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)= x －ax+(a－1) ， 。（1）讨论函数 的单调性；&&&&&&& （2）证明：若 ，则对任意x ，x&& ，x& x ，有 。解析&&& (1) 的定义域为 。&2分（i）若 即 ,则&故 在 单调增加。(ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ;当 及 时， 故 在 单调减少，在 单调增加。(iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加.(II)考虑函数& &则 由于1&a&5,故 ，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当 时有 ，即 ，故 ，当 时，有 •••••••••12分38.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数 （1）如 ，求 的单调区间；（1）若 在 单调增加，在 单调减少，证明&＜6.&&&&&&&& （21）解析&&& （Ⅰ）当 时， ，故&&&&&& &&&&&&&& 当& 当 从而 单调减少.(Ⅱ) 由条件得： 从而&因为 所以&&将右边展开，与左边比较系数得， 故&又 由此可得&&&&&&&&& 于是&&&&&& 39.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知函数 &求 的单调区间； &若 在 处取得极值，直线y=my与 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。& 解析&&& （1） 当 时，对 ，有 当 时， 的单调增区间为 当 时，由 解得 或 ；由 解得 ，当 时， 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 。（2）因为 在 处取得极大值，所以 所以 由 解得 。由（1）中 的单调性可知， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点，又 ， ，结合 的单调性可知， 的取值范围是 。40.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数 ，其中 &若 在x=1处取得极值，求a的值；&&&&&&& &求 的单调区间；（Ⅲ）若 的最小值为1，求a的取值范围。&&& 解（Ⅰ） ∵ 在x=1处取得极值，∴ 解得 （Ⅱ） ∵&&&&& ∴ ①当 时，在区间 ∴ 的单调增区间为 ②当 时，由 ∴ （Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）①知， 当 时，由（Ⅱ）②知， 在 处取得最小值 综上可知，若 得最小值为1，则a的取值范围是 41.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数 的图象在与 轴交点处的切线方程是 。（I）求函数 的解析式；（II）设函数 ，若 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 取得极值时对应的自变量 的值.解析&&& （I）由已知,切点为(2,0),故有 ,即 ……①又 ，由已知 得 ……②联立①②，解得 .所以函数的解析式为&&&& …………………………………4分（II）因为&&&&&&&&& 令 当函数有极值时，则 ，方程 有实数解，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由 ，得 .①当 时， 有实数 ，在 左右两侧均有 ，故函数 无极值②当 时， 有两个实数根& 情况如下表：&& & & & & &&+&0&-&0&+&&J&极大值&K&极小值&J所以在 时，函数 有极值；当 时， 有极大值；当 时， 有极小值；& …………………………………12分42.（2009湖北卷文）（本小题满分14分）&&&& & 已知关于x的函数f(x)＝ ＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝Of+(x) O,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.& (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值- ，试确定b、c的值： &（Ⅱ）若ObO&1,证明对任意的c,都有M&2:&&&&& & (Ⅲ)若MRK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解析&&&& ，由 在 处有极值 可得 解得 或 若 ，则 ，此时 没有极值；若 ，则 当 变化时， ， 的变化情况如下表：&& & & &1& && &0&+&0& && &极小值 & &极大值 & &当 时， 有极大值 ，故 ， 即为所求。（Ⅱ）证法1： 当 时，函数 的对称轴 位于区间 之外。&在 上的最值在两端点处取得故 应是 和 中较大的一个&即 证法2（反证法）：因为 ，所以函数 的对称轴 位于区间 之外，&在 上的最值在两端点处取得。故 应是 和 中较大的一个假设 ，则&&&&&&&&&&&&&& 将上述两式相加得：&，导致矛盾， （Ⅲ）解法1： （1）当 时，由（Ⅱ）可知 ；（2）当 时，函数 ）的对称轴 位于区间 内，&&&& 此时 由 有 ①若 则 ，于是 ②若 ，则& 于是 综上，对任意的 、 都有 而当 时， 在区间 上的最大值 故 对任意的 、 恒成立的 的最大值为 。 解法2： （1）当 时，由（Ⅱ）可知 ；&&&& （2）当 时，函数 的对称轴 位于区间 内，此时 &&&&&& &，即 下同解法143.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）已知函数 .(1)&设 ，求函数 的极值；(2)&若 ，且当 时，& 12a恒成立，试确定 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。&&&&&&&&&& （21）解析&&& （Ⅰ）当a=1时，对函数 求导数，得&&&&&&& &&&&& 令&&&&&&&&&&&&& 列表讨论 的变化情况：&& & &（-1，3）&3& &&+&0&―&0&+&& &极大值6& &极小值-26& 所以， 的极大值是 ，极小值是 （Ⅱ） 的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若 上是增函数，从而&&&&&&&&&& &上的最小值是 最大值是 由 于是有&&&&&&&&&& &由 所以&&&&&&&&&&&& 若a&1,则 不恒成立.所以使 恒成立的a的取值范围是&&&&&&&&&&&& 44.（2009天津卷理）（本小题满分12分）& 已知函数 其中 (1)当 时，求曲线 处的切线的斜率；&&&& (2)当 时，求函数 的单调区间与极值。&&&& 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解析&&&& &（II）&&&&&& &以下分两种情况讨论。（1） ＞ ，则 ＜ .当 变化时， 的变化情况如下表：&& & & & & &+&0&―&0&+&J&极大值&K&极小值&J&&&&&&& &（2） ＜ ，则 ＞ ，当 变化时， 的变化情况如下表：&& & & & & &+&0&―&0&+&J&极大值&K&极小值&J&&&&&&& &45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）已知 函数 。（I）求函数 的定义域，并判断 的单调性；（II）若 （III）当 （ 为自然对数的底数）时，设 ，若函数 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析&&& （Ⅰ）由题意知 当 &当 当 ….（4分）（Ⅱ）因为 由函数定义域知 &0,因为n是正整数，故0&a&1.所以&&&&&&&&& （Ⅲ） 令 ①&当m=0时， 有实根 ，在 点左右两侧均有 故无极值②&当 时， 有两个实根 当x变化时， 、 的变化情况如下表所示：&& & & & & &&+&0&-&0&+&&J&极大值&K&极小值&J&的极大值为 ， 的极小值为 ③&当 时， 在定义域内有一个实根，& 同上可得 的极大值为 综上所述， 时，函数 有极值；当 时 的极大值为 ， 的极小值为 当 时， 的极大值为&&&&&& 46.（2009福建卷文）（本小题满分12分）已知函数 且 （I）试用含 的代数式表示 ；（Ⅱ）求 的单调区间；&&&&&&&&&&&&&&&&&& （Ⅲ）令 ，设函数 在 处取得极值，记点 ，证明：线段 与曲线 存在异于 、 的公共点；解法一：（I）依题意，得 由 得 （Ⅱ）由（I）得 （&故 &令 ，则 或 &①当 时， &当 变化时， 与 的变化情况如下表：&& & & &&+&―&+&&单调递增&单调递减&单调递增由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ②由 时， ，此时， 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调区间为R③当 时， ，同理可得函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 综上：&&&&&&& 当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；当 时，函数 的单调增区间为R；当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 （Ⅲ）当 时，得 & 由 ，得 & 由（Ⅱ）得 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 & 所以函数 在 处取得极值。& 故 & 所以直线 的方程为 & 由 得&&&& & 令 & 易得 ，而 的图像在 内是一条连续不断的曲线，& 故 在 内存在零点 ，这表明线段 与曲线 有异于 的公共点解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）当 时，得 ，由 ，得 由（Ⅱ）得 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在 处取得极值，&&&&&&& 故 所以直线 的方程为&&&& 由 得 解得 &所以线段 与曲线 有异于 的公共点&&&& 47.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。48.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（1）&&&& ．．．．．．16分49.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）设函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的切线垂直于直线 ．（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若函数 ，讨论 的单调性．&&&& 解（Ⅰ）因 又 在x=0处取得极限值，故 从而&&&&&&&&& 由曲线y= 在（1，f（1））处的切线与直线 相互垂直可知该切线斜率为2，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，& &令 （1）当 &（2）当& K=1时，g（x）在R上为增函数（3） 方程 有两个不相等实根&&&&&&&&& 当 函数当 时， 故 上为减函数&时， 故 上为增函数50.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）已知 为偶函数，曲线 过点 ， ．（Ⅰ）求曲线 有斜率为0的切线，求实数 的取值范围；（Ⅱ）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间．解: （Ⅰ）& 为偶函数,故 即有& 解得 又曲线 过点 ,得 有 & 从而 , 曲线 有斜率为0的切线，故有 有实数解.即 有实数解.此时有 解得&&&& &&&& 所以实数 的取值范围: （Ⅱ）因 时函数 取得极值,故有 即 ,解得 又&&&& 令 ,得 当 时,& ,故 在 上为增函数当 时,& ,故 在 上为减函数当 时,& ,故 在 上为增函数&&&&&&& 年高考题一、选择题1.（2008年全国一7）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 &&&&&&&&&&&&&&&（&&& ）A．2&&&&B． &&&&C． &&&&D． 答案&&&& D2.（2008年 湖北卷7）若 上是减函数，则 的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ） A.&&&&&&& &&&&&& B.&&&&&&&& &C.&&&&&&& &&&&&& D.& 答案&&&& C3.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是&&&&&&&&&&&&&&&（&&& ）& 答案&&&& D4.（2008年辽宁卷6）设P为曲线C： 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P横坐标的取值范围为&&&&&&& （&&&& ）A． &&&&B． &&&C． &&&D． 答案&&&& A5.（2007年福建理11文）已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时&&&&&&&&&& （&&&& ）A． &&&&&& B． C． &&&&&& D． 答案&&&& B6.（2007年海南理10）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&&& ）A． &&&&&Ｂ． &&&&& Ｃ． &&&&Ｄ． 答案&&&& D7.（2007年江苏9）已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为&&&&&& &&&&&&& （&&&& ）A．&&&&&&&&&&&&&&&&& &&B．&&&&&& &&&&&&&&&& C．&&&&& &&&&&&& D． 答案&&&& C8.（2007年江西理9）设 在 内单调递增， ，则 是 的&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （　 　）A．充分不必要条件&&&&&&&B．必要不充分条件C．充分必要条件&&&&&&&D．既不充分也不必要条件答案&&&& B9.（2007年辽宁理12）已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数值为0，且 ，那么下列情形不可能出现的是&（&&& ）A．0是 的极大值，也是 的极大值B．0是 的极小值，也是 的极小值C．0是 的极大值，但不是 的极值D．0是 的极小值，但不是 的极值答案&&&& C10.（2006年天津卷）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&& （&& 　）
A．1个&&&&&&&&&&& B．2个 &&&&C．3个&&&&&&&&&&& D． 4个答案&&&& A解析&& 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，函数 在开区间 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.二、填空题11.（2008年全国二14）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则&&&&&&&& ．答案&&&& 212.（2008年江苏卷8）直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝&&& ．答案&&&& ln2－1．14.（2008年北京卷12）如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则&2；&&&&&&& ．（用数字作答）&答案&&&& －214.（2007年广东文12）函数 的单调递增区间是＿＿＿＿．答案&&&&& 15.（2007年江苏13）已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则&&&&&&&&&& ．答案&&&& 3216.（2007年湖北文13）已知函数 的图象在点 处的切线方程是&，则&&&&&&&&& ．答案&&&& 317.（2007年湖南理13）函数 在区间 上的最小值是&&&&&&&& ．答案&&&&&
18.（2007年浙江文15）曲线 在点 处的切线方程是&&&&&&&& ．答案&&&&& 19.（2006年湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)＝ r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则 ＝2 r&&& ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②②式可以用语言叙述为：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 。答案&&&& V球＝ ，又& 故○2式可填 ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”20.(2005年重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________。答案&&&& 8/3三、解答题21.（2008年全国一19）已知函数 ， ．（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围．解析&&& （1） 求导： 当 时， ， ， 在 上递增当 ， 求得两根为 即 在 递增， 递减，&递增（2） ，且 解得： 22.（2008年北京卷18）已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间．解析&&&&& &&．令 ，得 ．当 ，即 时， 的变化情况如下表：&& & & & && &0& & 当 ，即 时， 的变化情况如下表：&& & & & && & &0& 所以，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 &上单调递减．当 ，即 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减．23.（2008年天津卷21）（本小题满分14分）已知函数 （ ），其中 ．（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；（Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解析&&&& ．当 时， ．令 ，解得 ， ， ．当 变化时， ， 的变化情况如下表：&& &0& & & &2& &&－&0&＋&0&－&0&＋&&K&极小值&J&极大值&K&极小值&J所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．（Ⅱ）解析&&&& ，显然 不是方程 的根．24.（2005年安徽卷）设函数 ，已知 是奇函数。（Ⅰ）求 、 的值。（Ⅱ）求 的单调区间与极值。解&& （Ⅰ）∵ ，∴ .从而 ＝&& 是一个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，从而 ，由此可知，&和 是函数 是单调递增区间；&是函数 是单调递减区间；&在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小值，极小值为 。25.( 2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解& 设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=(90-2x)(48-2x)x,(0&V&24)&& 5分&& =4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320……&&&& 7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x&10 时，V′&0,10&x&36时，V′&0,x&36时，V′&0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分&文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M
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