2014年高中高考数学重点：三角函数式的化简与求值【解题技巧】
2014年高中高考数学重点：三角函数式的化简与求值【解题技巧】
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[L]&&&&&&&&三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.[/L][L]●难点磁场[/L][L] [/L][L]&&&&&& 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=1/2的a值，并对此时的a值求y的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.
●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题
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高中数学复习专题讲座
三角函数式的化简与求值
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三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一
通过本节的学
习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求
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值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
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重难点归纳
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求值问题的基本类型
①给角求值，②给值求值，③给式求值，
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④求函数式的最值或值域，⑤化简求值
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技巧与方法
①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，
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熟练准确地应用公式
②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的
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变换等常规技巧的运用
③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的
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关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法
④求最值问
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题，常用配方法、换元法来解决
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典型题例示范讲解
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cos20°cos80°的值
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本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对
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计算能力的要求较高
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熟知三角公式并能灵活应用
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公式不熟，计算易出错
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技巧与方法
解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数
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问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
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20°cos80°
(1－cos40°)+
(1+cos160°)+
sin20°cos80°
sin20°cos(60°+20°)
(cos120°cos40°－sin120°sin40°)
sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
(1－cos40°)=
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sin20°cos80°
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y=cos220°+sin280°－
cos20°sin80°，则
x－y=－cos40°+cos160°+
=－2sin100°sin60°+
sin100°=0
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y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为
f(a)，试确
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值，并对此时的
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本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以
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及较强的逻辑思维能力
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二次函数在给定区间上的最值问题
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考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错
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技巧与方法
利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配
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方法、数形结合、分类讲座等
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y=2(cosx－
cosx∈［－1，1］得
a=－1?(?2,2)
此时，y=2(cosx+
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x=2kπ，k∈Z，ymax=5
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f(x)=2cosxsin(x+
sin2x+sinxcosx
f(x)的最小正周期；
f(x)的最小值及取得最小值时相应的
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］时，f(x)的反函数为
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本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还
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考查计算变形能力，综合运用知识的能力
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熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识
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(1)的值时易走弯路
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技巧与方法
等价转化，逆向思维
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(1)f(x)=2cosxsin(x+
x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos
sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+
cos2x=2sin(2x+
∴f(x)的最小正周期
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(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2
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＜β＜α＜
,cos(α－β)=
,sin(α+β)=－
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的值_________
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＜β＜α＜
,∴0＜α－β＜
π＜α+β＜
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
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∵sin(α－β)=
,cos(α+β)=－
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
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学生巩固练习
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+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均
tanα、tanβ，且
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，π)，tan(π－β)=
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2β)=______
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)，β∈(0，
)，cos(α－
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sin(α+β)=_________
sin100?(1?
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不查表求值:
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α≠kπ(k∈Z)
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的最大值及最大值时的条件
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如右图，扇形
是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点
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的位置，并求此最大面积
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cosα+sinβ=
，sinα+cosβ
的取值范围是
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D，x∈D，求函数
的最小值，并求取得最小值时
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∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0
tanα+tanβ=3a+1＞0,
α、β∈(－
)∴α、β∈(－
tan(α+β)=
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,π),∴cosα=－
tan(π－β)=
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) ? ,??(0,
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? ?) ? ? .
?sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ]
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? ?cos(? ?
) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? .
即sin(? ? ?) ?
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5.解 :Q cos( ? x) ? ,?sin2x ? ?cos2( ? x) ?
? x ? ? ,?
? x ? ? 2? ,?sin(x ? ) ? ?
sin2x ? 2sin2 x 2sin xcos x ? 2sin2 x 2sin x(sin x ? cos x)cos x
cos x ? sin x
sin2xsin( ? x)
1 ? cos(? ? ?)
? 4sin 2 ( ? )
(1 ? cos?) 1 ? cos( ? )
? sin ) ? 2 ? 4sin
Q ? ? ? ? ?,?
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?) ? (? ) ? 2 ? ?2sin( ? ) ? 2
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（k∈Z）,?
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（k∈Z）时,
的最小值为－1
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O 为原点，建立平面直角坐标系，
的坐标为(cosθ,sinθ)，则
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｜PS｜=sinθ
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sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－
SPQRS=sinθ(cosθ－
sinθcosθ－sin2θ)=
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＜sin(2θ+
∴sin(2θ+
面积最大，且最大面积是
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的中点，P(
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u=sinα+cosβ
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=(sinα+cosβ)
+(cosα+sinβ)
=2+2sin(α+β)≤4
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≤1,－1≤u≤1
D=［－1,1］,
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,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤
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一道三角函数的分类化简
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＞＞＞若，三角函数式的化简结果为（）A．B．C．D．-高一数学-魔方格
若，三角函数式的化简结果为（&&&&）A．B．C．D．
题型：单选题难度：偏易来源：不详
D试题分析：因为，，所以，。由三角函数的倍半公式，=，故选D。点评：简单题，利用三角函数倍半公式化简，要注意角的范围，准确确定正负号。
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据魔方格专家权威分析，试题“若，三角函数式的化简结果为（）A．B．C．D．-高一数学-魔方格”主要考查你对&&同角三角函数的基本关系式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的关系式：
（1）； （2）商数关系：； （3）平方关系：。同角三角函数的基本关系的应用：&
已知一个角的一种三角函数值，根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系，可以求出这个角的其他三角函数值．
同角三角函数的基本关系的理解：
(1)在公式中，要求是同一个角，如不一定成立．(2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的，如：基本三角关系式。对一切α∈R成立；&Z)时成立．(3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛，它们还有如下等价形式：&
(4)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取．&间的基本变形&三者通过&，可知一求二，有关 等化简都与此基本变形有广泛的联系，要熟练掌握。
发现相似题
与“若，三角函数式的化简结果为（）A．B．C．D．-高一数学-魔方格”考查相似的试题有：
405916816653823490860340820682566505