精彩花絮 高二数学选修2-1 椭圆的简单几何性质-...
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＞＞＞求经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程．-高二数..
求经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
把9x2+4y2=36转化为标准方程，得x24+y29=1，∵c=9-4=5，∴其焦点坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)，∵所求椭圆的焦点坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)，∴设所求椭圆方程为x2a2-5+y2a2=1，把（2，-3）代入，得4a2-5+9a2=1，解得a2=15，或a2=3（舍）∴所求的椭圆方程为x210+y215=1．
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据魔方格专家权威分析，试题“求经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程．-高二数..”主要考查你对&&椭圆的标准方程及图象&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
椭圆的标准方程及图象
椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，
发现相似题
与“求经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程．-高二数..”考查相似的试题有：
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高二数学知识点：椭圆、双曲线、抛物线所有公式总结
责任编辑：高分网小编
椭圆、双曲线、抛物线的学习过程中有很多公式需要理解和记忆，否则无法解答这类题型。下面小编为大家提供椭圆、双曲线、抛物线所有公式总结，供大家参考。
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a&|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0&2a&|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e&1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
─a?x?a，─b?y?b
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
原点O（0，0）
(a,0),& (─a,0),& (0,b) , (0,─b)
(a,0), &(─a,0)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
实轴长2a, 虚轴长2b.
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
2c& （c=）
2c& （c=）
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学年高二数学学案：2.2.3 椭圆的几何性质（1）（苏教版选修2-1）
学年高二数学学案：2.2.3 椭圆的几何性质（1）（苏教版选修2-1）
资料类别：
所属学科：
适用地区：全国
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第4课时　椭圆的几何性质(1)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?
解　方案1　列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.
方案2　求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.
方案3　只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]
问题2　与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点?[2]
解　①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;
②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;
③方程中x2和y2的系数不相等.
二、 数学建构
1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.
方案1　+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.
方案2　椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.
来源：方案3　还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).
2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]
在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.
因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.
问题3　在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?
解　c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在Rt△OB2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.
△OB2F2称为椭圆的特征三角形.
4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?
方案1　用几何画板演示.
方案2　可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.
方案3　还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.
一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.
离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.
因为a>c>0,所以0<eb>0) +=1(a>b>0)
范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
对称性 关于x轴、y轴成轴对称;
关于原点成中心对称 关于x轴、y轴成轴对称;
关于原点成中心对称
顶点坐标 中华资源库(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)
焦点坐标 (c,0),(-c,0) (0,c),(0,-c)
半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b
离心率 e= e=
来源：a,b,c
的关系 a2=b2+c2 a2=b2+c2
三、 数学运用
【例1】　(教材第35页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4] (见学生用书P21)
[处理建议]　由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.
[规范板书]　解　根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,
所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
　　先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).
[题后反思]　本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
来源：(1) 经过点P(-3,0),Q(0,-2);
(2) 焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;
(3) 焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0). (见学生用书P22)
[处理建议]　根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.
[规范板书]　解　(1) 由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由题意知2a=20,e=.
所以a=10,c=8,所以b=6.
又因为焦点在x轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(3) 由题意知焦点在y轴上,所以b=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,
所以椭圆的标准方程为+=1.
[题后反思]　运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.
变式　在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何?[5]
来源：[处理建议]　当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论.
[规范板书]　解　(2) 由题意知2a=20,e=,所以a=10,c=8,所以b=6.
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(3) 当焦点在x轴上时,a=3,
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1;
当焦点在y轴上时,b=3,
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,
所以椭圆的标准方程为+=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
[题后反思]　焦点位置发生变化时,a,b对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值.
*【例3】　已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值.
[处理建议]　首先应将椭圆方程化为标准方程形式,然后根据方程的特征求解.
[规范板书]　解　将椭圆方程化为x2+=1.
若焦点在x轴上,则a2=1,b2=,==1-,得m=4;
若焦点在y轴上,则b2=1,a2=,=m=1-=,得m=.
综上,m=4或.
[题后反思]　已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦点的位置.
四、 课堂练习
1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:
(1) 25x2+4y2-100=0;
(2) x2+4y2-4=0.
解　(1) 椭圆方程可化为+=1,所以a=5,b=2,c=.
所以长轴长为10,短轴长为4,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±5),焦点坐标为(0,±).
(2) 椭圆方程可化为+y2=1,所以a=2,b=1,c=.
所以长轴长为4,短轴长为2,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±1),焦点坐标为(±,0).
2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?
(1) +=1与25x2+16y2=400;
(2) 3x2+4y2=12与+=1.
解　(1) 椭圆+=1的离心率为,椭圆25x2+16y2=400的离心率为,故第二个椭圆更接近于圆.
(2) 椭圆3x2+4y2=12的离心率为,椭圆+=1的离心率为,故第一个椭圆更接近于圆.
3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是 　.
提示　=1-e2,所以e=.
4.根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) 中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为10和8;
(2) 中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为10;
(3) 对称轴都在坐标轴上,短半轴长为8,离心率为.
解　(1) +=1;
(3) +=1或+=1.
五、 课堂小结
1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).
2.通常用椭圆的离心率e刻画椭圆的“圆扁”程度,其中0<e<1.
(1) 当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;
(2) 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.
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提问者采纳
x1+x2=-b/a
应该是(x1+x2)&#47;2=“……=2”。因为x1+x2就是等于AB中点的横坐标即为2
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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