解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决，这句话对吗？为什么？_百度作业帮
解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决，这句话对吗？为什么？
解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决，这句话对吗？为什么？
都可以，将每一条线段都用向量表示即可视频: 1002用向量解决直线与平面垂直问题 点评
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1002用向量解决直线与平面垂直问题 点评
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药品服务许可证(京)-经营-用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面、则这两条直线平行_百度作业帮
用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面、则这两条直线平行
用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面、则这两条直线平行
假设这两条直线不平行则两条直线相交那么过这个交点向第三条直线作垂线可以作两条,这与过直线外一点向已知直线作垂线有且只能作一条向矛盾故假设不成立 所以同一平面内如果两条直线都和第三条直线垂直,那么--
已知直线a⊥α,b⊥α,求证:a∥b.证明:设两直线的方向向量分别为a、b，l是平面α内的任意一条直线,其方向向量设为i,则有a⊥i, b⊥i,从而有它们与i的数量积都为零,故两个数量积相等,可得a-b与i垂直,假设a与b不平行,则两方向向量也不平行则a、b、a-b都与i垂直，而a、b、a-b构成三角形，可确定一个平面，则i与该平面垂直，而i是平面内的任意向量，故不可能，所以假设不真，原命题成立....您的位置：&&
&&2013高考数学命题角度《用空间向量法解决立体几何问题》
2013高考数学命题角度《用空间向量法解决立体几何问题》
地区：全国
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版本：通用
类型：专题资料
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2013高考数学命题角度《用空间向量法解决立体几何问题》
阅 卷 老 师 叮 咛
利用向量法求空间角要破“四关”
利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．
【试一试】 (2012·东北三校模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D为AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面DCA1；
(2)求二面角DCA1C1的平面角的余弦值．
用空间向量法求二面角的大小是高考的热点．考查空间向量的应用以及运算能力，题目难度为中等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用向量法求二面角
【例3】? (2012·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD； (2)求二面角APCD的正弦值．
借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法．求解过程中应注意以下几个方面：
(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；
(2)求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法．
探索性问题
此类问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用向量法解决立体几何中的 【例4】? 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由． 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 返回 上页 下页 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛 必考问题14　用空间向量法解决立体几何问题 (2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角F - BD- C的余弦值． 对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题． 空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性． 必 备 知 识 方 法 必备知识 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． 2．用向量法证明平行、垂直问题的步骤：
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题． 热 点 命 题 角 度 多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证(解)的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果． 　　　　　　　　　　　　　　
向量法证明垂直与平行
多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键． 用向量法求线线角、线面角
返回 上页 下页 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛
(1)证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°，
所以ADC＝BCD＝120°.又CB＝CD，所以CDB＝30°，
因此ADB＝90°，ADBD，又AEBD，且AE∩AD＝A，
AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解　连接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF
所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设CB＝1，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，
D，F(0,0,1)，
因此＝，＝(0，－1,1)．
设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z，
取z＝1，则m＝(，1,1)．
由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，
则cos〈m，〉＝＝＝，
所以二面角FBDC的余弦值为.
(1)线面平行
lα?a⊥μ?a·μ＝0a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.
(2)线面垂直
lα?a∥μ?a＝kμa1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.
(3)面面平行
αβ?μ∥v?μ＝λva3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4.
(4)面面垂直
αβ?μ⊥ν?μ·v＝0a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则
cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.
(3)二面角的求法
利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．
如图所示，二面角αlβ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有αlβ的大小为θ或πθ.
空间距离的计算
直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．
点P到平面α的距离，d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．
1．空间角的范围
(1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤；
(2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤；
(3)二面角(θ)：0≤θ≤π.
3．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；
(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．
【例1】 如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
[审题视点] 建系后，(1)在平面ABC内寻找一向量与共线；(2)在平面AEF内寻找两个不共线的向量与垂直．[听课记录]
证明　如图建立空间直角坐标系Axyz，
令AB＝AA1＝4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，
B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，连接CN，
则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，
＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，
∴DE∥NC，又NC?平面ABC，
DE平面ABC.故DE平面ABC.
(2)＝(－2,2，－4)，
＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
⊥，，即B1FEF，B1FAF，
又AF∩FE＝F，B1F⊥平面AEF.
(1)要证明线面平行，只需证明与平面ABC的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与相等．
(2)要证明线面垂直，只要证明与平面AEF的法向量平行即可；也可根据线面垂直的判定定理证明，.
【】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．
(1)求证：D1F平面ADE；
(2)设正方形ADD1A1的中心为M，B1C1的中点为N，求证：MN平面ADE.
证明　(1)如图，不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，
F0，，0，E1,1，，
＝(－1,0,0)，＝0，，－1，
·＝(－1,0,0)·0，，－1＝0.
∴AD⊥D1F.
又＝0,1，，＝0，，－1，
·＝0,1，·（0，，－1＝－＝0.
又AE∩AD＝A，D1F平面ADE，
D1F⊥平面ADE.
(2)M（，0，，N，1,1，＝0,1，.
由(1)知，＝0，，－1是平面ADE的法向量．
又·＝0＋－＝0，MN⊥D1F.
∵MN?平面ADE，MN∥平面ADE.
【例2】 (2012·全国理)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC平面BED；
(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
[审题视点] (1)由＝可得FCE∽△PCA，则FEC＝90°，易得PCEF、PCBD.
(2)作AGPB于G，由二面角APBC为90°，易得底面ABCD为正方形，可得AD面PBC，则点D到平面PCB的距离d＝AG，找出线面角求解即可．也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大．[听课记录]
法一　(1)证明　因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.
设AC∩BD＝F，连接EF.因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2，EC＝，FC＝，从而＝，＝.
因为＝，FCE＝PCA，所以FCE∽△PCA，FEC＝PAC＝90°，由此知PCEF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.
(2)解　在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足．因为二面角APBC为90°，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
法二　(1)证明　以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
C(2，0,0)，设D(，b,0)，其中b＞0，则P(0,0,2)，
E，0，，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，
＝，－b，，
从而·＝0，·＝0，
故PCBE，PCDE.
又BE∩DE＝E，所以PC平面BDE.
(2)解　＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则
m·＝0，m·＝0，即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝1，－，.
因为面PAB面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)．
cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论．
(2)求直线与平面所成的角θ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得，即sin θ＝|cos α|.
【突破训练2】 (2011·陕西)如图，在ABC中，ABC＝60°，BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
(1)证明　折起前AD是BC边上的高，
当ABD折起后，ADDC，ADDB.
又DB∩DC＝D，AD⊥平面BDC.
AD?平面ABD，
平面ADB平面BDC.
(2)解　由BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以D，D，D所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得
D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，
A(0,0，)，E，
A＝，D＝(1,0,0)，A与D夹角的余弦值为cos〈A，D〉＝＝＝.
[审题视点] 建立空间坐标系，应用向量法求解．
解　如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，
C(0,1,0)，B－，，0，P(0,0,2)．
(1)证明：易得＝(0,1，－2)，
＝(2,0,0)．
于是·＝0，所以PCAD.
(2)＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
则即不妨令z＝1，
可得n＝(1,2,1)．
可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝.
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角APCD的正弦值为.
【】 (2012·唐山一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，底面是边长为2的正三角形，M，N分别是棱CC1、AB的中点．
(1)求证：CN平面AMB1；
(2)若二面角AMB1C-为45°，求CC1的长．
(1)证明　设AB1的中点为P，连接NP、MP.
CM綉AA1，NP綉AA1，CM綉NP，
CNPM是平行四边形，CN∥MP.
∵CN?平面AMB1，MP平面AMB1，
CN∥平面AMB1.
(2)解　如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，使x轴、y轴、z轴分别与、、同向．
则C(0,0,0)，A(1，，0)，
B(－1，，0)，设M(0,0，a)(a＞0)，
则B1(－1，，2a)，
＝(1，，－a)，＝(－1，，a)，＝(0,0，a)，
设平面AMB1的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
则y＝0，令x＝a，则z＝1，即n＝(a,0,1)．
设平面MB1C的一个法向量是m＝(u，v，w)，
则m·＝0，m·＝0，
即则y＝0，令x＝a，则z＝1，即n＝(a,0,1)．
设平面MB1C的一个法向量是m＝(u，v，w)，
则m·＝0，m·＝0，
则w＝0，令v＝1，则u＝，即m＝(，1,0)．
所以cos〈m，n〉＝，
依题意，〈m，n〉＝45°，则＝，解得a＝，所以CC1的长为2.
[审题视点] 建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中设＝λ，由ES平面AMN可得λ值．[听课记录]
解　(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，
M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，
N(1,1,1)，E，1,0.
＝－，0，－1，
＝(－1,0,1)．
∵cos〈，〉＝＝＝－，
异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.
＝(0,1,1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)，
又＝，－1,0，＝＋＝，λ－1，λ.
由ES平面AMN，得即
故λ＝，此时＝0，，，||＝.
经检验，当AS＝时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS＝.
【突破训练4】 如图1，ACB＝45°，BC＝3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC＝90°(如图2所示)．
(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；
(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
解　(1)法一　在如题图1所示的ABC中，设BD＝x(0＜x＜3)，则CD＝3－x.由ADBC，ACB＝45°知，ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.
由折起前ADBC知，折起后(如题图2)，ADDC，ADBD，且BD∩DC＝D，
所以AD平面BCD.又BDC＝90°，所以SBCD＝BD·CD＝x(3－x)，于是VABCD＝AD·SBCD＝(3－x)·x(3－x)＝·2x(3－x)(3－x)≤3＝，
当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，等号成立，
故当x＝1，即BD＝1时，三棱锥ABCD的体积最大．
法二　同法一，得
VABCD＝AD·SBCD＝(3－x)·x(3－x)
＝(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝(x3－6x2＋9x)，
由f′(x)＝(x－1)(x－3)＝0，且0＜x＜3，解得x＝1.
当x(0,1)时，f′(x)＞0；当x(1,3)时，f′(x)＜0.
所以当x＝1时，f(x)取得最大值．
故当BD＝1时，三棱锥ABCD的体积最大．
(2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2.
于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，
C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，
E，1,0，且＝(－1,1,1)．
设N(0，λ，0)，则＝－，λ－1,0.
因为ENBM等价于·＝0，
即－，λ－1,0·(－1,1,1)＝＋λ－1＝0，
故λ＝，N0，，0.
所以当DN＝(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM. 设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由及＝－1，，0，得可取n＝(1,2，－1)．
设EN与平面BMN所成角的大小为θ，则由＝－，－，0，n＝(1,2，－1)，可得sin θ＝cos (90°－θ)＝＝＝，即θ＝60°.故EN与平面BMN所成角的大小为60°.
【示例】 (2012·佛山调研)如图所示，在三棱锥PABC中，已知PC平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
(1)求证：AB平面PBC；
(2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
(3)在(2)的条件下，求二面角CPAB的余弦值．
[满分解答]　(1)PC⊥平面ABC，AB平面ABC，
AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
CD⊥平面PAB.
又AB?平面PBA，AB⊥CD.
又CD∩PC＝C，AB⊥平面PBC.(4分)
(2)PC⊥平面ABC，
PAC为直线PA与平面ABC所成的角．
于是PAC＝45°，设AB＝BC＝1，则PC＝AC＝，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，
＝(1，－1，)，＝(1,0,0)，
cos〈，〉＝＝，
异面直线AP与BC所成的角为60°.(8分)
(3)取AC的中点E，连接BE，则＝，，0，
AB＝BC，BE⊥AC.又平面PCA平面ABC，
BE⊥平面PAC.是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，得
n＝(－，0,1)．
于是cos〈n，〉＝＝＝－.
又二面角CPAB为锐角，
所求二面角的余弦值为.(12分)
老师叮咛：?1?解决此类问题，一定要先分析已知条件中，是否直接说出此三条直线是两两垂直，否则，要先证明以后才能建立坐标系，另外，要在作图时画出每条坐标轴的方向.?2?有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.如本例中求得cos ＝－，不少考生回答为：二面角的余弦值为－，这是错误的，原因是忽视了对二面角CPAB的大小的判断.
(1)证明　如图所示，以BC的中点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设AB＝BC＝CA＝AA1＝2.
设n＝(x，y，z)是平面DCA1的一个法向量，则
又＝，0，，＝(1,2，)，
所以令x＝1，z＝－，y＝1，
所以n＝(1,1，－)．因为＝(－2,2,0)，
所以n·＝－2＋2＋0＝0.
又BC1平面DCA1，所以BC1平面DCA1.(2)解　设m＝(x1，y1，z1)是平面CA1C1的一个法向量，
则又＝(0,2,0)，＝(1,2，)，
所以令z1＝1，x1＝－，
所以m＝(－，0,1)．所以cos〈m，n〉＝＝－.
所以所求二面角的余弦值为－.巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题21
上亿文档资料，等你来发现
巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题21
第25卷第3期Vol??25??No??3；长春师范学院学报(自然科学版)；JournalofChangchunNormal；2006年6月Jun??2006；巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题；张唯春；(辽宁省交通高等专科学校基础部,辽宁沈阳??11；[摘??要]本文以向量为工具,巧用平面的法向量与；[文献标识码]A??????；[文章编号]1008
第25卷第3期Vol??25??No??3长春师范学院学报(自然科学版)JournalofChangchunNormalUniversity(NaturalScience)2006年6月Jun??2006巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题张唯春(辽宁省交通高等专科学校基础部,辽宁沈阳??110122)[摘??要]本文以向量为工具,巧用平面的法向量与直线的方向量,讨论了空间平面及直线方程的求法。一题多解,解决有关空间平面及直线的问题。[关键词]空间平面;空间直线;法向量;方向量[中图分类号]O182??2??????[文献标识码]A??????[文章编号]06)03-0102??031??有关平面的问题任何平面总可以用x,y,z间的一次方程来表示;反之,每一个一次方程Ax+By+Cz+D=0总表示一个平面。此结论也适用于所谓不完全方程,即常数A、B、C、D中可以有一个或几个为零,但A、B、C同时为零的情形除外。在平面解析几何中,直线与一次方程Ax+By+C=0有密切的关系,在空间解析几何中,空间的平面与一次方程Ax+By+Cz+D=0也有密切的关系。正是由于这样的原因,空间平面的问题与平面解析几何中直线的问题便有很多类似之处。因此,如果能够把双方对照起来,将对学习有帮助。在考虑有关平面问题时,平面的法向量n往往起着重要的作用。如果一平面由方程Ax+By+Cz+D=0给定,则以x,y,z的系数A,B,C为坐标的向量就是该平面的一个法向量:n={A,B,C}。平面方程中的系数的这一几何意义必须重视。求平面方程有两条基本思路:(1)分析所求平面的法向量与已给条件的关系,从而得到所求平面的法向量,再找平面通过的一个定点,由点法式建立平面的方程。例1??求过一点P(-1,2,-1)的平面方程。2x+5y-z+4=0??x-y+z=0解??在直线上任找一点M(0,-1,-1),则MP{-1,3,0}与所求平面??平行,又直线L的方i向向量L=12j-15k1-1in=L MP=-41j3k7={21,7,9}={-4,3,7},也与平面??平行,所以平面的法向量n??L,n??取-30??的方程为:21(x+1)+7(y-2)+9(z+1)=0,即21x+7y+9z+16=0。[收稿日期][作者简介]张唯春(1955-),女,天津人,辽宁省交通高等专科学校基础部副教授,从事高等数学现代教育改革与发展探索研究。????(2)设所求方程为一般式:Ax+By+Cz+D=0,A,B,C不全为0,例如A?0,则方程可写为x+BCD,C#=,D#=。分析所给条件建立关于B#,C#和D#的三个方程。解此AAAB#y+C#z+D#=0,其中B#=联立方程组求得B#,C#和D#,从而得到所求平面的方程。如果平面过一点P(x0,y0,z0),则可用点法式,设平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,由已给条件去建立有关A,B,C的方程组。例2??已知平面经过点P(1,1,1)且垂直于平面x+2z=0和x+y+z=0,求这个平面的方程。解法一??设所求平面的法向量为n={A,B,C},因为所求平面通过点P(1,1,1),根据点法式方程得:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,再用两平面互相垂直的条件:1!A+2!C=0,1!A+1!B+1!C=0,即A=-2C,B=C,代入所设平面方程并除以C(C?0),求得平面议程为2x-y-z=0。解法二??因为所求平面的法线平行于两平面。设已知平面的法向量n1={1,0,2},n2={1,1,1},i则所求平面法向量为n=n1 n2=jk102=-2i+j+k={-2,1,1},由点法式方程得-2(x-1)+111(y-1)+(z-1)=0即2x-y-z=0为所求平面方程。2??有关直线的问题考虑有关空间直线的问题时,直线的方向量S起着重要的作用。如果一直线由对称式方程给定,则以分母中的数m,n,p为坐标的向量就是所给直线的方向向量,因此,S={m,n,p}。直线的对称式方程的形式在应用上比较方便的原因也就在此。要判断直线在空间的位置,一般是看直线的方向向量L及所经过的点。需要掌握直线的标准式方程中各种系数的几何意义。求直线方程有两条基本思路:(1)分析已给条件与所求直线的方向向量的关系,求出方向向量,从而求出直线的方程。(2)找到直线所在的两个平面,那么这两个平面方程联立就是所求的直线的方程。例3??求经过点M(1,-1,1),且与两直线L1?==和L2?==均相交的直线1-21-111方程。分析:设所求直线为L,则L与L1相交,L与L2相交,所以L必在L与L1,L与L2所确定的两个平面上,这两个平面方程的联立即为L的方程。解??L1过点M1(0,-2,3),则L1与点M所确定的平面??1的法向量为n1=MM1 L1,其中L1为直i线L1的方向向量。即L1=i-2j+k,易得n1=-11j-1-2k2=3i+3j+3k,所以??1的方程为:x+y+z1x+y+z-1=0。2x+z-3=0-1=0。同理可得过点M及L2的平面??2的方程2x+z-3=0,即所求之L3??有关平面、直线的位置关系在两平面的夹角、两直线的夹角及直线与平面的夹角这几个问题中可以明显地看出,平面的法向量n与直线的方向量S起着重要的作用。事实上,只要掌握这两个向量,则所有这些问题都可归结到两向量间的夹角问题,及两向量互相平行或互相垂直的问题。x+2y-z+1=02x-y+z=0例4??求过点(1,2,1)平行的平面方程。x-y+z-1=0x-y+z=0i解??两直线的方向量为S1=in=S1 S2=jk11j2-1k-1={1,-2,-3},S2=1i21jk-11={0,-1,-1}则-111-2-3={-1,1,-1},过点(1,2,1)并以n为法向量的平面方程为-1!(x-1)0-1-1+1!(y-2)-1!(x-1)=0,即x-y+z=0为所求的平面方程。例5??设直线L过点P(-3,5,9)且与直线L1:x-2y+z=0垂直且相交,求直线L的方程。2x-y-z=0分析??找到L1与L2的垂直且相交点M即可,M为点P在L1上的垂足点,而垂足点必在以L1为法向量且过点P的平面??上。因而,点M必为直线L1与平面??的交点,为此需要先求出平面??。i解??先求过点P且以L1为法向量的平面??的方程,有L1=jk1=3(i+j+k)(1)(2)-204164i+j+k=(-5i+j33331-22-1-1代入点法式方程,点为p(-3,5,9)得平面??的方程为x+y+z-11=0x=t再求??与L1的交点:为此将L1化为参数式方程。易得L1y=tz=t(L1上的定点取(0,0,0))。解(1)和(2)的联立方程,得L=+4k)。可取L=-5i+j+4k。即过点p(-3,5,9),M,,的方程为:==。333-514综上所述,两平面间的位置完全由其法向量决定,因此两平面平行(垂直)的充要条件是法向量互相平行(垂直);同样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定,因此,两直线平行(垂直)的充要条件是其方向向量互相平行(垂直)。只有掌握空间平面法向量及直线方向量的概念及求法,才能巧用法向量与方向量,熟练解决空间平面及直线的问题。[参考文献][1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2004.[2]陈小注,陈敬佳.高等数学习题全解[M].大连:大连理工大学出版社,1998.[3]韩??松.高等数学习题集[M].北京:科学技术文献出版社,2001.[4]盛祥耀.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]侯文波.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2000.NormalVectorandDirectionalVectorareUsedforSolvingSpaceProblemsorLinearProblemsZHANGWei-chun(TheBasicdepartmentoftheprovinceofLiao-ningCommunicationCollege,Shenyang110122,China)Abstract:Inthispaper,vectorsuchasnormalvectoranddirectionalvectoroftheplaneareused,thesolutionofSpaceequationandLinearequationarediscussed.Usingthismethod,therecanbemorethanonesolutionforonequestion,andspaceproblemsorlinearproblemsaresolved.Keywords:directionalvector包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、高等教育、中学教育、巧用法向量与方向量解决空间平面及直线问题21等内容。
　发现巧用平面法向量处理空间角和空间距离等问题,可以...可以转化为直线的方向向量 PA 与平面的法向量 n 的...0) 量 n = ( x, y , z ) ,则 ? z C1... 　三、教学用具准备 运用多媒体展示相关例题及图形 四、教学过程设计 (一)问题引入 1、复习:平面直线的方向向量是如何定义的?唯一吗? 2、思考:如何表示空间直线的... 　巧用平面法向量求空间角和... 4页 5财富值 巧用...一、 距离问题 1、求异面直线间的距离 用向量法...A1C1 和 B1E 设的公垂线的一个方向向量,则 n ?... 　巧用法向量 妙解立体几何题平面的法向量是空间向量的一个重要概念,它在解决立体...的法向量, a 为直线 a 的方向向量,要证 存在一个非零常数 ? ,使 a ? ... 　难点27 高考数学重点难点复习:求空间的角空间的角是...面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角...技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形... 　巧用空间向量解空间问题举例广西蒙山中学 刘立新用向量...了平面的法向量,可遗 憾的是课本对“用空间向量求...直线 A1C1 和 B1E 的公垂线的一个方向向量,则 n... 　《点,直线,平面之间的位置关系》《空间向量与立体...旨在考查考生的对解题技 试题解析】 巧的把握和抽象...(Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC, , 的方向分别为 x... 　第五节 利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间...用平面法向量求空间距离 19页 免费 巧用平面法向量...