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（1）已知函数f(x)=ax-1ax+1 （a＞0且a≠1）．（Ⅰ） 求f（x）的定义域和值域；（Ⅱ） 讨论f（x）的单调性．（2）已知f（x）=2+log3x（x∈[1，9]），求函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值与最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）（Ⅰ）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=ax-1ax+1，解得ax=-y+1y-1①∵ax＞0当且仅当-y+1y-1＞0时，方程①有解．解-y+1y-1＞0，求得-1＜y＜1．∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．（Ⅱ）f（x）=(ax+1-2)ax+1=1-2ax+1．1°当a＞1时，∵ax+1为增函数，且ax+1＞0．∴2ax+1为减函数，从而f（x）=1-2ax+1=ax-1ax+1为增函数．2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）=ax-1ax+1&为减函数．（2）∵1≤x≤9，可得 0≤log3x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f2（x）≤16．∵1≤x≤9，可得 1≤x2≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x2）=2+log3x2≤6．故函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为16+6=22，最小值为 4+2=6．
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据魔方格专家权威分析，试题“（1）已知函数f(x)=ax-1ax+1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值对数函数的图象与性质
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
发现相似题
与“（1）已知函数f(x)=ax-1ax+1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；..”考查相似的试题有：
245734446072620656560596454260402277当前位置：
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设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f(12)的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）一个各项均为正数的数列{an}，它的前n项和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使2noa1oa2…an≥Mo2n+3o(2a1-1)o(2a2-1)…(2an-1)对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x=2，y=12，得f(12)=-1（2分）y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：任取0＜x1＜x2，则x2x1＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(x2x1)＞0在已知式中令x=x1，y=x2x1，得f(x2)-f(x1)=f(x2x1)＞0，即证．（4分）（2）当n≥2时，∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1∴f（Sn）+1=f（an）+f（an+1），即f（2Sn）=f（an（an+1））∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴2Sn=an（an+1）（6分）∴2Sn+1=an+1（an+1+1）两式相减得：2an+1=a2n+1+an+1-a2n-an，即（an+1+an）（an+1-an-1）=0∵an＞0，∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起，是以1为公差的等差数列…（7分）又在2Sn=an（an+1）中令n=2可得：a2=3综上，an=3，n=1n+1，n≥2．（8分）（3）n=1时，2×3≥Mo5o5，M≤6525（9分）n≥2时，2no3o3o4…(n+1)≥M2n+3o5o5o7…(2n+1)∴M≤2no3o3o4…(n+1)2n+3o5o5o7…(2n+1)令bn=2no3o3o4…(n+1)2n+3o5o5o7…(2n+1)，则bn+1bn=2(n+2)2n+3(2n+3)2n+5=4n2+16n+164n2+16n+15＞1∴{bn}是递增数列∴M≤b2=36725×7＜6525∴M≤367175（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（x..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值分段函数与抽象函数
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（x..”考查相似的试题有：
247632457191565542756376446072485341已知函数y=f(x)的定义域是[0,2]，那么g（x）=f(x²）/x+1 的定义域为____. 过程~~_百度作业帮
已知函数y=f(x)的定义域是[0,2]，那么g（x）=f(x²）/x+1 的定义域为____. 过程~~
已知函数y=f(x)的定义域是[0,2]，那么g（x）=f(x²）/x+1 的定义域为____. 过程~~
分析，f(x)的定义域是[0,2]首先确定f(x²)的定义域0≦x²≦2∴-√2≦x≦√2∴f(x²)的定义域为[-√2,√2]g(x)=f(x²)/(x+1)∴x+1≠0，x≠-1综上可得，g(x)的定义域为：[-√2,-1)∪(-1,√2]。已知函数y=fx的定义域为【0,2】,求fx=f(x+1)/x-1 的定义域_百度作业帮
已知函数y=fx的定义域为【0,2】,求fx=f(x+1)/x-1 的定义域
已知函数y=fx的定义域为【0,2】,求fx=f(x+1)/x-1 的定义域
函数y=fx的定义域为【0,2】,fx=f(x+1)/x-1 的定义域x+1属于【0,2】,x属于【-1,1】但是x-1不能为0所以fx=f(x+1)/x-1 的定义域【-1,1）